2.3.3　点到直线的距离公式2.3.4　两条平行直线间的距离 导学案正文

2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离【学习目标】1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.◆知识点一点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.

证明点到直线的距离公式的方法1.定义法根据定义,点P到直线l的距离,就是点P到直线l的垂线段的长度.如图,过点P(x0,y0)作直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为,∴l'的方程为y-y0=BA(x-x0),与l的方程联立,得交点为QB2x0-可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.2.向量法如图,已知P(x0,y0),设与直线l:Ax+By+C=0的一个方向向量P1P2垂直的向量为n=(A,B),M(x,y)为直线l上任意一点,则PM=(x-x0,y-y0),从而点P到直线l的距离d==|A(x-x0)+B(y-y0【诊断分析】1.已知点P(-1,0),直线l:x+y-4=0.(1)直线l的一个方向向量为n=,与直线l垂直的一个向量为m=;

(2)Q(1,3)是直线l上一点,利用PQ与向量m求得点P到直线l的距离为.

2.点P(x0,y0)到直线y=a的距离为.

◆知识点二两条平行直线间的距离1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的的长.

2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离. ()(2)若直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,则点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ()(3)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|. ()(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为|C1-C◆探究点一点到直线的距离公式的应用例1(1)点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是.

(2)点P(0,2)到直线y=3的距离是.

(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为.

变式(1)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等,则l的方程为 ()A.4x-y-2=0B.4x+y-6=0C.4x-y-2=0或x=1D.4x+y-6=0或x=1(2)已知直线l:y=k(x-2)+2,当k变化时,点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是 ()A.[0,+∞) B.[0,2]C.[0,3] D.[0,3)[素养小结]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.拓展已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为 ()A.23 B.10C.14 D.215◆探究点二平行线间距离公式的应用例2(1)已知直线l1:y=2x+1,直线l2:4x-2y+7=0,则l1与l2之间的距离为 ()A.52 B.54 C.102(2)若直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为.

(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为.

变式(1)已知点A(1,0),B(3,1),C为直线l:x-2y+4=0上的一个动点,则△ABC的面积为()A.5 B.5 C.52 D.(2)若直线12x-5y+c=0与直线y=125x+1间的距离不小于3,则c的取值范围是[素养小结]求两平行线间的距离一般有两种方法(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.(2)公式法:直接利用公式d=|C1-C2|A◆探究点三距离公式的综合应用例3已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.变式若点P到直线5x-12y+13=0的距离与到直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P所在直线的方程是 ()A.32x-56y+65=0或7x+4y=0B.x-4y+4=0或4