第二讲 基本不等式讲义 高三数学一轮复习

第二讲基本不等式知识点1.基本不等式及其推广（1），当且仅当时取“=”.（2），当且仅当时取“=”.（3），当且仅当时取“=”；（4）当且仅当时取“=”.2.用途：求某类表达式的最值、常用于比较大小、证明不等式等.一、过关练习1.已知，求证：.2.已知，且，求的最小值.3.已知，，求的最小值.4.已知，求的最大值.5.已知，求的最小值，以及取得最小值时的值.6.已知，求的最小值，以及取得最小值时的值.7.已知，求的最大值，以及取得最大值时的值.8.求的最大值，以及取得最大值时的值.9.已知，求的最大值.二、模拟试题1.(多选)若，且满足，则的值可以为（）A.B.C.D.2.(多选)已知实数满足，则（）A.B.C.D.3.已知则的最大值为.4.已知，写出使得“”恒成立的一个充分不必要条件：.5.若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为.6.已知实数，且满足，则的最小值为.7.已知点是的中线上的一点（不包括端点）.若,则的最小值为.8.已知正为正实数，且，则的最小值为.三、高考真题1.(多选)(2020·新高考全国卷II，12)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A.a2＋b2≥eq\f(1,2) B.2a－b>eq\f(1,2)C.log2a＋log2b≥－2 D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)2.(2021·浙江卷，8)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于eq\f(1,2)的个数的最大值是()A.0B.1C.2D.33.（2022·上海卷，14）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.4.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷，12)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥15.(2023·北京卷，8)若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.(2024·北京卷，9)已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A. B.C. D.7.(2020·江苏卷，12)已知5x2y2＋y4＝1(x，y)，则x2＋y2的最小值是________．8.(2020·天津卷，14)已知a>0，b>0，且ab＝1，则eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值为________.9.(2021·天津卷，13)若a>0，b>0，则eq\f(1,a)＋eq\f(a,b2)＋b的最小值为________．答案一、过关练习1.已知，求证：.证明：，，，根据同向不等式相加：化简得：，原式得证.2.已知，且，求的最小值.解：当且仅当即时取等号，因为，.故的最小值为.3.已知，，求的最小值.解：.当且仅当即时取等号，因为，.故的最小值为4.已知，求的最大值.解：又当且仅当时取等号.即的最大值为，此时相应.5.已知，求的最小值，以及取得最小值时的值.解：.当且仅当时取等号.即的最小值为，此时相应.6.已知，求的最小值，以及取得最小值时的值.解：，又，，当且仅当取等号，解出.故的最小值为，相应.7.已知，求的最大值，以及取得最大值时的值.解：.且.根据基本不等式：，当且仅当时取等号.故的最大值为，相应.8.求的最大值，以及取得最大值时的值.解：由题意可知，分两类情况如下：①当时，；②当时，（分子分母同时除以），根据基本不等式.当且仅当取等号.即，即.综上所述：，故最大值，相应.9.已知，求的最大值.解：，分两类情况如下：①当或时，；②当，即，根据基本不等式，当且仅当取等号，即.综合①②可得：，故最大值，相应.二、模拟试题1.CD2.BCD3.4