3.2.2第1课时　双曲线的简单几何性质 导学案正文

3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质【学习目标】1.能类比椭圆几何性质的研究方法得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质及其代数表达.2.能认识双曲线特征量的几何意义.◆知识点一双曲线的几何性质标准方程x2a2-y2b2y2a2-(a>0,b>0)图形性质焦点

焦距

范围

对称性

顶点

a,b,c的关系

离心率,e∈(1,+∞)

实轴线段A1A2,长等于2a,a叫作双曲线的实半轴长虚轴线段B1B2,长等于2b,b叫作双曲线的虚半轴长渐近线方程

【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)双曲线x22-y24=1的焦点在y轴上(2)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)与双曲线y2a2-x2b2=1(a>(3)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔. ()2.(1)双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗?(2)椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同?◆知识点二等轴双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率为.

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)等轴双曲线的离心率是2. ()(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. ()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.()◆探究点一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线4x2-9y2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.变式(1)曲线x225+y29=1与曲线x225-k-yA.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等(2)已知双曲线my2-x2=1(m∈R)与椭圆y25+x2=1有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为 (A.y=±3x B.y=±33C.y=±13x D.y=±3[素养小结]由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤:(1)把双曲线的方程化为标准形式;(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.◆探究点二由双曲线的简单几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)与椭圆x29+y24=1有公共焦点,(2)与双曲线x216-y29=1有共同的渐近线,并且经过点A(2(3)过点(2,0),且与双曲线y264-x216变式求下列双曲线的标准方程.(1)过点(5,3)且为等轴双曲线;(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32[素养小结]由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法,当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可,当焦点位置不明确时,应注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0).当双曲线的渐近线方程为y=±bax时,可以将双曲线方程设为x2a2-y2◆探究点三求双曲线的离心率的值或取值范围例3(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-3)2+y2=(2)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,P为双曲线右支上异于右顶点的点,若∠OPF的平分线垂直于x轴变式(1)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±4A.53 B.C.43 D.(2)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P,若|F1P|=|F1F2|,且直线l倾斜角的余弦值为7[素养小结]求双曲线的离心率时建立方程的一般方法:(1)利用双曲线的几何性质得到关于a,b,c的等式;(2)利用焦点三角形,借助图形特点得到关于a,b,c的等式;(3)将已知条件采用代数法转化得到关于a,b,c的等式.由a,b,c的等式运用解方程的方法得到离心率的值,解题时要注意离心率的取值范围.拓展已知点F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b