3.3.1　抛物线及其标准方程 导学案正文

3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程【学习目标】1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出标准方程中一次项系数的意义.4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.◆知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,直线l叫作抛物线的.

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的焦点到准线的距离是p(p>0). ()(2)抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1. ()(3)抛物线的焦点可以在准线上. ()(4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线. ()◆知识点二抛物线的标准方程标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标

准线方程

p的几何意义焦点到准线的距离【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的方程都是二次函数. ()(2)抛物线的原点到准线的距离是p(p>0).()(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定. ()(4)方程y=ax2(a≠0)是抛物线的标准方程. ()◆探究点一抛物线的定义及应用例1(1)一动圆过点A(1,0)且与直线:x=-1相切,则该动圆圆心的轨迹为 ()A.抛物线 B.椭圆C.直线 D.圆(2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则点P的坐标为.

变式(1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0= (A.1 B.2C.4 D.8(2)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为 ()A.22 B.4C.2 D.322[素养小结]利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:(1)点的轨迹问题:利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.(2)抛物线的焦半径问题:利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化,解决与抛物线有关的最大(小)值问题,解题时要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.拓展(1)已知点P是抛物线y2=-4x上的一个动点,则点P到点M(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ()A.3 B.17C.5 D.9(2)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为,取得最小值时点P的坐标为.

◆探究点二求抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是4;(2)焦点在y轴上,且经过点(-1,-3);(3)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.变式(1)焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为 ()A.y2=10x或x2=4yB.y2=-10x或x2=-4yC.y2=20x或x2=8yD.y2=-20x或x2=-8y(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,x0)(x0≠0)满足|MF|=5,则抛物线C的方程为.

[素养小结](1)求抛物线的标准方程要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.(2)求抛物线的标准方程的方法:①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求p,然后写出标准方程;③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.◆探究点三抛物线的实际应用问题例3如图,某河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9m,拱圈内水面宽30m,一条船在水面以上部分高7m,船顶部宽6m.(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程.(2)近日水位暴涨了2.46m,为此,必须加重船载,降低船身,才能安全通过桥洞,则船身至少应降低多少(精确到0.1m)?变式青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖内部的轴截面均近似为抛物线的一部分,碗盖深为3cm,碗盖口直径为8cm,碗体口直径为10cm,碗体深6.25cm,则盖上碗盖后,碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)()A.5cm B.6cmC.7cm D.8.25cm[素养小