函数与方程10类常考压轴小题（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学函数与方程10类常考压轴小题模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】分段函数零点个数问题【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）【题型3】嵌套（复合）函数求值问题本号资*料全部来源于微信公众号：数学第#六感【题型4】反函数对称性的应用【题型5】不等式恒成立与能成立问题【题型6】存在，任意双变量问题【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题【题型9】2个函数存在对称点问题【题型10】隐零点问题初步模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】分段函数零点个数问题先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，首先要准确绘制分段函数的图像，确保每个分段的图像都正确无误。在绘制过程中，特别注意分段连接点处的图像变化已知函数，若实数，则函数的零点个数为（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3（2024·高三·北京通州·期末）已知函数（1）若，则的零点是.（2）若无零点，则实数的取值范围是.【巩固练习1】（2024·北京西城·一模）设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（

）本号资料全部来源于微信公众号：*数学第六感A． B．C． D．【巩固练习2】已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习4】（2024·山西·模拟预测）已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习5】已知函数，令，则下列说法正确的（

）A．函数的单调递增区间为 B．当时，可能有3个零点C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）解决分段函数等高线（方程根之间的数量关系）问题，首先要明确分段函数的定义和各分段上的表达式。接着，对于每个分段，分别令函数值等于某个常数，以构造等高线方程。然后，解这些等高线方程，找出它们的根，并关注这些根之间的数量关系。特别地，要注意分段连接点处等高线的行为，以及可能存在的多重根情况。最后，综合所有分段的信息，得出等高线方程根之间的数量关系。在解题过程中，数形结合的方法往往能提供直观的帮助。已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．（23-24高三上·广东·阶段练习）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为.【巩固练习1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（

）A． B．C． D．【巩固练习2】（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【巩固练习3】已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（23-24高三上·湖北·开学考试）（多选）设函数，若，且，则的值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．【巩固练习4】已知函数，函数有四个不同的零点，，，且，，则实数的取值范围是．【巩固练习5】（22-23高三上·四川内江·阶段练习）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为.【题型3】嵌套（复合）函数求值问题嵌套（复合）函数求值问题的解题思路主要在于分层求解和逐步代入。首先，需要明确嵌套函数的构成，即确定内层函数和外层函数。其次，根据题目给定的自变量值，先求解内层函数的值，这个值将作为外层函数的输入。接着，将内层函数的输出值代入外层函数，进行求解，得到最终的函数值。在求解过程中，需要注意函数的定义域，确保每一步的求解都在函数的定义域内进行。最后，根据求解结果，给出问题的答案。已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为________.【巩固练习1】任意时，恒成立，且函数y＝f(t)单调，则_________.【巩固练习2】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______.【题型4】反函数对称性的应用反函数对称性在高三题型中主要体现在其图像关于直线y=x对称的性质。分析这类题型时，首先要明确反函数与原函数图像的这种对称性。其次，通过观察或计算原函数的图像，可以推断出其反函数的图像特征，如增减性、极值点等。再者，利用对称性，可以解决一些涉及反函数图像的问题，如求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题等。最后，结合具体题目，灵活运用反函数的对称性，可以有效简化解题过程，提高解题效率。（2024·云南昆明·模拟预测）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（

）A．1012 B．2024 C．4048 D．8096已知函数，，的零点分别为a，b，c，则．若满足，满足,则______.（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数，令则a，b，c的大小关系为.【巩固练习1】已知分别是方程与的根，则的值为.【巩固练习2】（2024·湖南怀化·二模）（多选）已知函数的零点为的零点为，则（

）A． B．C． D．【巩固练习3】(多选)已知函数的零点为,函数的零点为b,则（）A.B.C.D.【巩固练习4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数方程有两个不同的根，分别是则（

）A． B．3 C．6 D．9【巩固练习5】（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（

）A． B．C． D．【巩固练习5】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型5】不等式恒成立与能成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则本号资料全部来源于微信公众号：数学第六#感不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是.【巩固练习1】已知函数，若在上有解，实数的取值范围为________．【巩固练习2】已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是________．【巩固练习3】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是.【巩固练习4】已知函数满足，若关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为________．【巩固练习5】（2024高三下·全国·专题练习）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为．【题型6】存在，任意双变量问题存在任意双变量问题（1），成立（2），成立（3），恒成立（4），恒成立（5）成立（6）成立（7）若，的值域分别为A，B，则有：=1\*GB3①，，使得成立，则；=2\*GB3②，，使得成立，则.已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是．【巩固练习1】已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习2】已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【巩固练习3】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是．【巩固练习4】（2024·山东泰安·二模）已知函数.(1)若的极大值为，求的值；(2)当时，若使得，求的取值范围.【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．（2024·高三·河南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题在高考数学命题中，嵌套函数问题常以考察数学思维能力的题型出现，常出现在选择或填空的压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高频热门考点。这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会。主打就是一个数学逻辑推理。

这类题要做对，必须对函数有深刻的理解。函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下的对应关系。只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式（当然转化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是.（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（）A．-3 B．-2 C．0 D．2【巩固练习1】（23-24高三上·山东滨州·期末）设函数若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是．本号资料全部*#来源于微信公众号：数学第六感【巩固练习2】设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【题型9】2个函数存在对称点问题已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习1】（2024·四川内江·一模）已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图像上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”（点对与可看作一个“兄弟点对”．已知函数，则的“兄弟点对”的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【巩固练习3】）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型10】隐零点问题初步1、解题感悟隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题隐零点问题本质上还是函数的零点问题，只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来表示而已，也就是说我们明知道这个函数有一个零点，但就是没办法给出这个零点的具体数值，不可描述，这时候我们