直线与圆的位置关系2课时高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系Simple&Creative引言

前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系，本节课我们类比用直线的方程研究两直线位置关系的方法，运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系.问题1：在平面中，直线与圆的位置关系有几种？相交相切相离直线与圆的位置关系直线与圆公共点的个数相交相切相离210直线与圆的交点个数问题2：还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗？

圆心到直线的距离ddd直线与圆的位置关系圆心到直线距离与半径比较相交d<r相切d=r相离d>r直线与圆公共点的个数210思考：如何利用方程判断直线与圆的位置关系？直线与圆的方程代数运算直线与圆的位置关系转化为研究平面直角坐标系直线与圆的位置关系联立直线与圆的方程方程组解的情况直线与圆的方程的公共解个数直线与圆位置关系的判定直线与圆的位置关系相交相切相离图示直线与圆的交点个数2个1个0个几何法：圆心到直线的距离代数法：联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负)

圆心(a,b),半径r

实数解个数d

与

r直线与圆的位置关系思路1思路2问题3:如何求直线l与圆C的交点坐标？①几何法：计算量小；代数法：可求交点坐标.例2

过点P(2,1)作圆O：

的切线l，求切线

l方程.

追问1：过一点作圆的切线，能做出几条？P(2,1)P(2,1)过圆外一点可以作圆的两条切线.追问2：如何刻画直线与圆相切？追问3：直线方程选择什么形式？公共点的个数；圆心到直线的距离.点斜式；两点式.

点+斜率

法1法2点斜式d=r斜率是否存在？例2

过点P(2,1)作圆O：

的切线l，求切线

l方程.直线与圆的位置关系的实际应用（一）

图中是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度

m,拱高m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱

的高度（精确到0.01m）.APOBABPO（10，b）（2，b）（0，b）

如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).坐标系的选择建立平面直角坐标系应遵循的原则①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.②常选特殊点作为直角坐标系的原点.③尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系，可以简化运算过程.

如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上，设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.由题意，点P,B的坐标分别为（0,4),(10,0),因为P,B两点都在圆上，所以其坐标都满足圆的方程.于是，得到方程组：所以,圆的方程是解得(m).答：支柱的高度约为3.86m.建系代数化，解代数问题还原成实际问题

如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).坐标法思考量小，计算量略大POAC在Rt△AOC中,设圆拱所在圆的半径为r,则有过C

作于M,在Rt△中,(m).解得r=14.5.综合法B

如图，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).思考量大，需做辅助线，多次计算两种方法有何内在联系？NC坐标法综合法直线与圆的位置关系的实际应用（二）

一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？解：以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立直角坐标系，则港口B所在位置坐标（0，3）,船所在位置坐标A（4，0）.

一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方程为,其圆心坐标（0，0），半径为2；轮船航线所在直线l方程为

一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？方法一：联立直线l与圆O的方程，得

消去y，得轮船沿直线返航不会有触礁危险.方程组无解.所以直线l与圆O相离，由可知

一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？轮船沿直线返航不会有触礁危险.所以直线l与圆O相离，圆心C(0,0)到直线l的距离方法二：圆心的坐标为（0，0），半径为2；直线l方程为d所以直线l与圆O相离，圆心C(0,0)到直线l的距离方法二：圆心的坐标为（0，0），半径为2；直线l方程为d

一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？方法三：

所以轮船沿直线返航不会有触礁危险.因为过O

作于H,在Rt△AOB中,追问：你能比较三个方法各自的特点吗？d小结直线与圆的位置关系代数问题2问题2代数方法判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？实数解的个数d

与

r直线方程：,圆心,半径r.判断直线与圆的位置关系课后作业（P93）

2.已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系：课后作业（P95）