2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2024·广东深圳中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应当每天从报社买进报纸()。A.215份 B.350份C.400份 D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,详细状况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x260x卖出20x+10×250360x+7500退回10(x-250)0.88x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。故选C。2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发觉,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满意一次函数:m=162-3x。若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。A.40元/件 B.42元/件C.54元/件 D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。A.2000双 B.4000双C.6000双 D.8000双答案：D解析：由5x+40000≤10x,得x≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。4.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么()。A.人可在7s内追上汽车B.人可在10s内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5mD.人追不上汽车,其间距最少为7m答案：D解析：设汽车经过ts行驶的路程为sm,则s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7,5.(2024·河北冀州中学高一期中)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元。又知总收入K是单位产品数Q的函数,且K(Q)=40Q-1答案：2500解析：L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500,当Q=300时,L(Q)取得最大值,6.某化工厂准备投入一条新的生产线,但须要经环保部门审批后方可投入生产。已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=12n(n+1)(2n+1)吨,但假如年产量超过150吨,将会给环境造成危害。为爱护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_________答案：7解析：由题意知,第一年产量为a1=12×1×2×3=3;以后各年产量分别为an=f(n)-f(n-1)=12n(n+1)(2n+1)-12n·(n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*,n≥2)。令3n2≤150,得2≤n≤52,又n∈N*,得2≤n≤7,7.(2024·山东烟台一中高一月考)如图3-4-1所示,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,某炮位于坐标原点,已知炮弹放射后的轨迹在函数y=kx-120(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与放射方向有关,图3-4-1(1)求炮的最大射程。答案：令y=0,得kx-120(1+k2)x2由实际意义和题设条件,知x>0,k>0,故x=20k1+k2=20k当且仅当k=1时取等号。所以炮的最大射程为10km。(2)设在第一象限内有一飞行物(忽视其大小),其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。答案：因为a>0,所以炮弹可击中目标等价于存在k>0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立,即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0所以Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6。所以当它的横坐标a不超过6km时,可击中目标。8.已知A,B两城市相距100km,两地之间距离A城市xkm的D处修建一垃圾处理厂来解决A,B两城市的生活垃圾和工业垃圾,且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10km。已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比,比例系数为0.25。若A城市每天产生的垃圾量为20t,B城市每天产生的垃圾量为10t。(1)求x的取值范围;答案：x的取值范围为[10,90]。(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数;答案：由题意,得y=0.25[20x2+10(100-x)2],即y=152x2-500x+25000(10≤x≤90)(3)垃圾处理厂建在距离A城市多远处,才能使每天的垃圾处理费用最少?答案：y=152x2-500x+25000=152x-10032+500003(10≤x≤90),则当x=1003时,考点2幂函数模型的应用9.(2024·湖北鄂州二中期末)某家庭进行理财投资,依据长期收益率市场预料,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数表达式;答案：设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2x(x≥0),结合已知得f(1)=18=k1,g(1)=12=k所以f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么安排资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元?答案：设投资稳健型产品x万元,则投资风险型产品(20-x)万元,依题意得获得收益为y=f(x)+g(20-x)=x8+1220-x(0≤x≤20),令t=20-x(0≤t≤25),则x=20-t2,所以y=20-t28+t2=-18(t-2)2+3,所以当t故当投资稳健型产品16万元,风险型产品4万元时,可使投资获得最大收益,最大收益是3万元。10.(2024·东北师大附中单元检测)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R与管道半径r的四次方成正比。(1)写出函数解析式;答案：由题意,得R=kr4(k是大于0的常数)。(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s,求该气体通过半径为rcm的管道时,其流量R的函数解析式;答案：由r=3cm,R=400cm3/s,得k·34=400,∴k=40081,∴通过半径为rcm的管道时,流量R的函数解析式为R=40081·r(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量。答案：∵R=40081·r4∴当r=5cm时,R=40081×54≈3086(cm3/s)故该气体的流量约为3086cm3/s。考点3分段函数模型的应用11.(2024·湖北黄石模块统考)提高过江大桥的车辆通行实力可改善整个城市的交通状况。在一般状况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时。探讨表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数。(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;答案：由题意知当0≤x≤20时,v(x)=60;当20<x≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得200a+故当0≤x≤200时,函数v(x)的表达式为v(x)=60(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时)。答案：依题意及(1)可得f(x)=60当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200(辆/小时);当20<x≤200时,f(x)=13x(200-x)=-13(x2-200x)=-13(x-100)2由此易知,x=100时取最大值100003即当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值100003综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333>1200,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/12.(2024·湖南岳阳一中高一期中考试)某地发生地质灾难,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,确定在水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为m(mg)的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L-1)满意y=mf(x),其中f(x)=x216+2,0<x≤4,x+142x-2,x>4(1)假如投放的药剂质量为4mg,问自来水达到有效净化一共可持续几天?答案：由题意,得当药剂质量m=4mg时,y=x24+8,0<x≤4,2x+28x-1,x>4,当0<x≤4时,x24+8≥得4<x≤16。综上,0<x≤16。所以自来水达到有效净化