高考数学一轮复习 第10章 概率 第3讲 几何概型学案-人教版高三全册数学学案

第3讲几何概型

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值2019年预计考查：①与长度有关：涉及

以理解几何概型的概念、几

函数、向量、不等式；②与面积有关：涉及导

2017几何概型4何概型概率公式为主，会求一些

数、线性规划；③与体积有关：涉及几何体的

简单的几何概型的概率，常与平

体积；④几何概型与解答题的结合.

几何概型面几何、线性规划、不等式的解

2016II解题时关犍是找到引起变化的变量，一个

集、方程的根的存在区间、定积

变量用长度；两个变量用面积；三个变量用体

分等知识交汇考查.

2015积.

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1几何概型

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，那么称这样

的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2.几何概型的两个基本特点

考点2几何概型的概率公式

p（.构成事件4的区域长度（面积或体积）

"”一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

［必会结论］

几种常见的几何概型

（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；

（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，

可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区

域，即可借助平面区域解决问题；

（3）与体积有关的儿何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题.

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.（正确的打“，错误的打“X”）

（1）在一个正方形区域内任取一点的概率是零.（）

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域

中的每一点被取到的机会相等.()

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()

(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()

(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()

(6)从区间［1,10］内任取一个数，取到1的概率是「去()

答案⑴V(2)V(3)V(4)V(5)X(6)X

2.［2017•全国卷I］如图，正方形力腼内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切

圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点

取自黑色部分的概率是()

11JI

AB.­C.~

oZD-T

答案B

解析不妨设正方形48切的边长为2,则正方形内切圆的半径为1,5正方彩=4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得5*=$百=*=5,

JT

、.S?2Ji

所以由几何概型知所求概率尸=「=7=k.故选B.

》正方形4o

3.［2018•重庆一中模拟］在［-2,3］上随机取一个数x,则(x+l)(x—3)W0的概率为

)

2、1八3、4

AB.TC.三D.7

-5455

答案D

4

解析由(x+l)(x—3)W0,得一1WXW3.由几何概型得所求概率为

□

4.［2018•衡水中学调研］已知正方体46必一48G以内有一个内切球0,则在正方体4谶

—45G〃内任取点M点"在球。内的概率是()

JTJinJT

ABC

-T-T-TD.适

答案c

解析设正方体棱长为a,则正方体的体积为内切球的体积为等义图=制,

H

故必在球。内的概6-

5.［2016•全国卷II］从区间［0,1］随机抽取2〃个数X，如…，为，yi,及，…，力，

构成刀个数对（乱为，（如㈤，…，（照，％）,其中两数的平方和小于1的数对共有勿个,

则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为（）

4/72/74/772m

A.—B.—C.—D.一

1nml1n

答案C

0Wx〃〈l

解析设由I1，构成的正方形的面积为S,北+/Q构成的图形的面积为£,

OWyW1

1

-JI

S4m4m［…

所以y=-=-，所以”=一.故选C.

Sinn

板块二典例探究•考向突破

考向”与长度有关的几何概型

例1（1）［2016•全国卷H］某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持

续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率

为（）

7533

A—R-「一D—

108810

答案B

解析行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,

根据几何概型的概率公式知所求事件的概率々/=：.故选B.

勺Uo

（2）［2017•江苏高考］记函数f（x）=N6+x-x?的定义域为〃在区间［-4,5］上随机取

一个数x,则xd〃的概率是.

答案j

解析由6+x—才220,解得—2WxW3,，〃=［—2,3］.如图，区间［—4,5］的长度为

5

9,定义域〃的长度为5,••./』不.

<----------------［-4,5］----------------->

-----------D------------->

__________111111111M.

-4-3-2-1012345久

触类旁通

求解与长度有关的几何概型应注意的问题

(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；

(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的

长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.

【变式训练i］(1)［2018•辽宁模拟］在长为12cm的线段4?上任取一点C,现作一

矩形，邻边长分别等于线段4Gb的长，则该矩形面积小于32cm?的概率为()

1124

A-6B,3C,3D'5

答案C

解析设47=xcm(0〈;r<12),

则贬=(12—x)cm,则矩形面积S=x(12—x)=12x—x、32,即(x—8)(x—4)>0,解得

0<x<4或8<K12,在数轴上表示为

04812X

o9

由几何概型概率公式，得概率为石=彳.故选C.

•1.乙J

(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间

不超过3分钟的概率是.

田自3

答案5

解析本题可以看成向区间［0,5］内均匀投点，设4=｛某乘客候车时间不超过3分钟｝,

区间［2,5］的长度3

人nJlPCl4)l一区间［0,5］的长度一号

考向图与面积有关的几何概型

?余题免度」…与史面图彩面积有关的问题

例2[2015•陕西高考]设复数z=(x—1)+yi(x,yeR),若|z|WL则的概

率为()

3,11.1

A.TOB.~+—

4+2-冗2n

1111

C.7---D.-----

42n2n

答案C

解析.•.(*-1)2+/W1,表示以为圆心，1为半径的圆及其内部，

该圆的面积为n.易知直线y=x与圆(x—1y+/=1相交于0(0,0),川1,1)两点，作图如

右：

JT1JI1

〃例=90°,；・S阴影=彳一,X1X1=彳一万.

n1

故所求的概率々等=二2=;一/.

D0,v兀42n

?命题免度2…与线性规划交汇的问题

例3[2018•湖北联考]在区间[0,4]上随机取两个实数x,y,使得x+2^8的概率

为()

1363

A.-B.-C,—D.T

416194

答案D

解析如图所示,八一-表示的平面区域为正方形。筋及其内部，x+2j<8(x,

[0WZ4

1

4X4--X4X2

ye[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P=—————=%故选D.

?能题角.度3…随机模拟估算

例4如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的

黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为（）

A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32

答案C

解析由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为一^一=0.68.由几何概

«JVV

型的概率计算公式，可

得产=0.68,而S矩彩=6X4=24,贝ijS«w=0.68X24=16.32.

触类旁通

落在椭圆内的黄豆数—椭圆的面积

用落在矩形内的黄豆数一矩形的面积.

考向国与体积有关的几何概型

例5有一个底面半径为1,高为2的圆柱，点。为这个圆柱底面圆的圆心，在这个

圆柱内随机抽取一点P,则点一到点。的距离大于1的概率为.

解析圆柱的体积%=兀应?=2n,

1A。2

半球的体积/半球"=可弘.

乙JO

，圆柱内一点尸到点。的距离小于等于1的概率为1.•.点一到点。的距离大于1的概率

O

触类旁通

与体积有关的几何概型求法的关键点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积

（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.

【变式训练2】已知正三棱锥4%的底面边长为4,高为3,则在正三棱锥内任取

一点P,则点尸满足V:核侏〜做＜夕，tos-w的概率是一

7

答案8

解析设三棱锥46c的高为力.由Ji姚〜枫〈“淞维s-戚，得与8处•/）§•：心械3,

31

解得从5,即点尸在三棱锥的中截面以下的空间.，点尸满足，：斓一展,/淞叱-.的概率

考向目与角度有关的几何概型

例6[2017•鞍山模拟]过等腰RtZVWC的直角顶点。在内部随机作一条射线,

设射线与45相交于点D,求4X4。的概率.

解在46上取一点反使AE=AC,连接四（如图），则当射线位落在N4◎'内部时,1次月C

675°

易知N4T=67.5°,.•"ZK/C的概率—go：=0.75.

触类旁通

与角度有关的几何概型的求解方法

（1）若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为

_构成事件/的区域角度

"划一试验的全部结果所构成区域的角度.

(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区

域，然后再利用公式计算.

【变式训练3】如图所示，在△49C中，/6=60°,/。=45°,高4?=小，在NBAC

内作射线4"交8c于点、M,求8帐1的概率.

解因为N6=60°,NU45°,所以/物。=75°,在RtZU勿中，AD=木,NB=

An

60°,所以应亦。=1，NBAD=30°.

tanoO

记事件A‘为"在/胡C内作射线4V交比1于点M使6放1”，则可得/胡状/胡〃时事

件"发生.由几何概型的概率公式，得尸(加=30祟°-=12.

755

/---------------------------1怎幺师'爸记•领悟I-----------------------------------

IMINGSHiniJIC^^GUTNAUNGWll

二:核心规律

几何概型中的转化思想

(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴

上即可.

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它

的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型.

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表

示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.

。满分策略

几何概型求解中的注意事项

(1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何

概型问题.

(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

(3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”“角度”“面积”“体

积”等，但要注意求概率时作比的上下“测度”要一致.

板块三启智培优•破译高考

数学思想系列11一一转化与化归思想解决几何概型的应用问题

[2018•珠海模拟]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30〜

7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分

钟到校的概率为.(用数字作答)

解题视点先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系

中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率.

解析设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出

图形，如图所示.则总事件所占的面积为(50—30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表

示的事件/={(x,y)lr-x25,30〈xW50,30Wj<50},如图中阴影部分所示，阴影部分所

225

12252Q

占的面积为5义15X15=寸，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为/(4=诉=言.

乙4UUJ/

9

答案记

答题启示本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量X,必将已知转化为X,

y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x,力的相关约束条件，从而把时间这个长

度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解.若题中涉

及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.

/跟踪训练

[2018•海口调研]张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30~7：30之间把报

纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00〜8：00之间，则张先生在离开家之

前能拿到报纸的概率是.

7

答案0

解析以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角

坐标系，如图.因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条

件.根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件/

11

XX

1X12-一

发生，所以？(/)=——

板块四模拟演练•提能增分

[A级基础达标]

1.在长为6m的木棒上任取一点P,使点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是

()

1112

A.~B.~C.-D.-

q。乙j

答案B

2

解析将木棒三等分，当户位于中间一段时，到两端儿6的距离都大于2m,，户=鼻=

1

3,

2.如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心。为起点作射线。G则使得N4必和

/皮&都不小于15°的概率为()

1112

A.-B.-C.$D."

’1j乙j

答案D

解析依题意可知,75°],/6a石[15°,75°],故3活动区域为与

0A,如构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°-30°)=60°.0(4)

_位活动区域的圆心角度数_60°_2

的度数=90^=?

3.[2018•山东师大附中模拟]设xG[0,句，则sinxg的概率为()

1111

A-6B-4C-3D-2

答案c

1「n「5n

解析由sinx</且xG[0,Jt],借助于正弦曲线可得xG0,—U—,n，，片

n-03-

4.[2018•湖南长沙联考]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底

圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在

向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是()

JIJIJIJI

A1——B—C—D1——

八.14D.]254u-112

答案A

解析鱼缸底面正方形的面积为于=4,圆锥底面圆的面积为九所以“鱼食能被鱼缸

内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1一？.故选A.

5.[2018•福建莆田质检]从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则

所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是()

答案B

解析任取的两个数记为X,y,所在区域是正方形如比内部，而符合题意的X,y位

n2

—XI

471

于阴影区域内（不包括*,y轴），故所求概率尸=不丁=7.

1A14

6.在棱长为2的正方体45G4中，点0为底面4腼的中心，在正方体ABCD-

484。内随机取一点R则点尸到点。的距离大于1的概率为（）

itJIJIjr

A•适B.一访C-D.1--

答案B

解析正方体的体积为：2X2X2=8,以。为球心，1为半径且在正方体内部的半球的

2H

体积为："”"=袅等'['=4,则点—到点0的距离大于1的概率为：1--^-=1—

ZJZJJoJL/

7.[2018•铁岭模拟]已知中，N/%=60°,48=2,BC=6,在优'上任取一点〃,

则使△/劭为钝角三角形的概率为（）

1112

A.-B.-C-D.-

o323

答案C

解析如图，当班'=1时，N4所为直角，则点〃在线段/（不包含6、£点）上时，△

4®为钝角三角形；当郎'=4时，/胡?为直角，则点〃在线段。不包含尸点）上时，XABD

1+21

为钝角三角形.所以△/切为钝角三角形的概率为一二=5.

bL

8.［2018•绵阳模拟］在面积为S的的边46上任取一点P,则的面积大于a

的概率是.

答案；

解析如图所示，在边18上任取一点?，因为△/回与△总是等高的，所以事件“△

物"的面积大于:'等价于事件U\BP\：\AB\^.即《△阳C的面积大于胃=詈=.

B

5

9.在区间［—2,4］上随机地取一个数x,若x满足|x|W/的概率为〜则必=.

答案3

解析由题意知力0,当0〈冰2时，一腕疟m,此时所求概率为一：?=］解得m

74—!(—2)6

=,舍去)；当2W成4时，所求概率为:解得片3；当G4时，概率为1,不

合题意，故加=3.

10.［2018•保定调研］在区间［—1,1］内随机取两个实数x,y,则满足1的概率

是________.

7

答案8-

解析点(X,力分布在如图所示的正方形区域内，画出x—y-lW0表示的区域，可知

1

27

所求的概率为1-彳=鼻

4o

[B级知能提升]

1.[2018•郑州模拟]分别以正方形4阅9的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴

影区域所示,若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）

4—JiJI—24—nJI—2

A.——B"204D-4

答案B

2n—4叮—2

解析设16=2,则Sw凰=2n-4.，所求概率,故选B项.

2

2.已知P是所在平面内一点，闲+元+2取=0,现将一粒黑芝麻随机撒在△48C

内，则该粒黑芝麻落在△联内的概率是（）

1121

AqB,-C,-D.-

答案D

解析由丽+元+2取=0,得我+我=一2后,设园边中点为。，连接加，则2班=一

2汤，P为/〃中点，所以所求概率—2=4，即该粒黑芝麻落在△皈内的概率是4.故选

J△攸'乙乙

D.

3.［2018•山东模拟］在区间［0,2］上随机地取一个数x