空间向量的应用训练卷(含解析)

空间向量的应用专题训练卷

一、单选题

1.（2020•江苏如东❷高一期末）在长方体ABCD—中，AB=BC=2,知=1,则直线BG

与平面3片。，所成角的正弦值为（）

,V6RVwr715nVio

3255

2.（2020•河北新华。石家庄二中高一期末）在正方体A3CD—44G。中，M,N分别为A。，的

中点，。为侧面BCG4的中心，则异面直线与。2所成角的余弦值为（）

1111

A.一B.一C.---D.---

6464

3.（2020•辽宁高三其他（文））如图，在长方体力8办46K〃中，AB=B（=2,AAt=l,则8G与平面隔〃，

所成角的正弦值为（）

.V6276「厉A/10

A.-------DR.---------L.---------NL).----------

3555

4.（2020•黑龙江道里❷哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD中，AB,BC,两两垂直,

BC=BD=e，A3与平面ACD所成角的正切值为;，则点5到平面ACO的距离为（）

2百C.6

A

-T亍5

5.（2020•山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体A3CD-4gGA中，点〃为棱CG

的中点，则直线用"与平面ARA/所成角的正弦值是（）

2

5

6.（2018•浙江高三其他）如图，在长方体4耳。］。一432c之。？中，44=24耳=2耳G，A,B,C

分别是A4，42，的中点，记直线3c与A。所成的角为a,平面A5CN与平面所

成二面角为£，则（）

A.cosa=cos/3B.sina=sin/?

C.costz>cost/3D.sintz<sin/?

7.（2020•浙江镇海中学高三三模）在三棱柱ABC-4与G中，。是棱8C上的点（不包括端点），记直

线耳。与直线AC所成的角为4,直线耳。与平面A4cl所成的角为名，二面角G-44-。的平面角

为。3,则（）

A.4＜%＜。3B.。2＜仇＜。3c.03＜02＜01D.为＜名＜4

8.（2020•浙江衢州❷高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC-4gC中，。是棱的中点，

记直线BXD

与直线AC所成角为4,直线耳。与平面A与G所成角为。2,二面角G-44-。的平面角为名，则

（）

A.02<OX,O2<6*3B.02>OVO2<03C,02<0^02>03D,02>0V02>03

9.（2020•浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC,A3,BD±AB,且AC:AB:8D=1:3:1,

设CD与AB所成的角为&，CD与面ABC所成的角为£,二面角C—A3—O的平面角为7,则（）

A.§&a工^^B./3工^^&aC.a〈尸W；D.■〈夕

10.（2020•四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径比‘=4,

2

=AC,/的C=90°,2为半圆弧的中点，若异面直线做和/区所成角的余弦值为一，则该几何体的体积为

3

（）

A.16+80B.32+16nC.32+8万D.16+16n

二、多选题

11.（2019•江苏徐州。高二期末）下列命题中正确的是（）

A.A5,M,N是空间中的四点，若3ABM,3N不能构成空间基底，则A,5,M,N共面

B.已知｛a,。,c｝为空间的一个基底，^m=d+c,贝叶。,儿机｝也是空间的基底

2

C.若直线/的方向向量为6=（1,0,3）,平面a的法向量为〃=（—2,0,§）,则直线///a

D.若直线/的方向向量为6=（1,。,3）,平面a的法向量为〃=（-2,0,2）,则直线/与平面a所成角的正弦

值为好

5

12.（2020•山东平邑❷高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体A3CD-AgGR，其中，以

顶点/为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是（）

A.（A^+AB+AD^=2（AC）2B.AD）=0

D.BA与/C所成角的余弦值为逅

c.向量4c与A4,的夹角是60。

3

13.（2020•福建厦门❷高二期末）正方体A3CD-4gGR中，£、F、G、〃分别为CQ、BC、CD、BB、BB{

的中点，则下列结论正确的是（）

平面尸）平面

A.BXG±BCB.AE920=42

兀

c.面/必D.二面角E—”—C的大小为一

4

14.正三棱柱ABC—A与G中，的=国8,贝U（）

A.AG与底面ABC的成角的正弦值为:

B.AG与底面ABC的成角的正弦值为走

2

AQ与侧面AA.B.B的成角的正弦值为B

C.

4

D.AG与侧面照片5的成角的正弦值为史

4

三、单空题

15.（2020•四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面a的一个法向量”=10,一万,一，2j,Aea,

.（1*

P史a,且PA=-^,-,72,则直线R4与平面a所成的角为_____.

（22J

16.（2019•河南高二竞赛）等边三角形ABC与正方形A5DE有一公共边AB，二面角C—A3—。的余

弦值为且，M,N分别是AC,BC的中点，则EM,AN所成角的余弦值等于.

3

17.（2019•安徽埔桥。北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面a,夕的法向量分别为M=（4,0,3）,

v=（-1,1,0）,则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为.

四、双空题

18.（2020•浙江宁波。高二期末）在正四面体ABCD中，M.N分别为棱5C、AB的中点，设A3=a，

UUUL1

AC=6，AO=c，用。，b，c表示向量。，异面直线DM与CN所成角的余弦值为.

19.（2018•北京海淀。高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD,。为A在底面3CD上的正射

影，如图建立空间直角坐标系，M为线段A5的中点，则"点坐标是，直线DM与平面

所成角的正弦值是.

20.（2020•山东德州。高二期末）如图，在直三棱柱ABC—A4G中，ZACB=9Q°,A&=AC=BC=1,

则异面直线BG与4与所成角为；二面角A-BQ-C的余弦值是.

jr

21.如图，在三棱锥S—ABC中，SA=SB=SC,且/458=/85。=/。54=—,M、"分别是和

2

SC的中点，则异面直线皿与m所成的角的余弦值为,二面角A-SC-M大小为.

五、解答题

22.（2020•上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体ABC。-A与G。中，E是棱4。的中点,

“为平面A41A。内的点.

（2）求点G到平面或处的距离.

23.（2020•全国高二课时练习）在直三棱柱中，=AB=BC=3,AC=2,。是AC的中点.

（1）求证：用。〃平面ABD；

（2）求直线用。到平面的距离.

24.（2019•天津南开。崇化中学高二期中）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面

PCD,底面ABCD,且PC=PD=2,M，N分别为棱尸C,A£＞的中点.

（1）求证：BC工PD；

（2）求异面直线3M与尸N所成角的余弦值；

（3）求点N到平面MBD的距离.

25.（2020•河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多

年，在《九章算术》中,将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵⑦聆〃血）；阳马指底面为

矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈（反e〃ao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵

ABC—4用。1中，AB±AC.

当

AC

⑴求证：四棱锥B-4ACG为阳马；

（2）若=2,当鳖膈G-A5C体积最大时,求锐二面角C-A.B-C,的余弦值.

26.（2019•浙江衢州❷高二期中）四棱锥尸—ABCD中，AP=AC,底面ABC。为等腰梯形，CD//AB,

AB=2CD=2BC=2,E为线段PC的中点，PCLCB.

（1）证明：AE_L平面PC8；

（2）若尸5=2,求直线。尸与平面APC所成角正弦值.

27.（2020•武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥尸-A3CD的底面为直角梯形，BCHAD,

440=90。，AD=PD=2AB=2BC=2,M为E4的中点.

（I）求证：BMHPCD

（II）若平面A3CD，平面上4。，异面直线6C与所成角为60°,且△RU）是钝角三角形，求二

面角8-PC-D的正弦值

一、单选题

1.（2020•江苏如东高一期末）在长方体A3CD—44G2中，AB=BC=2,A4=1,则直线BQ与

平面3月。。］所成角的正弦值为（

A.亚B.姬「岳D.半

325

【答案】D

【解析】

以。点为坐标原点，以所在的直线为x轴、V轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),Q(0,2,1),

.-.BQ=(—2,0,l),AC=(—2,2,0),47为平面3与2。的一个法向量.

•cos<BCAC>—彳_

..COS<J,/ILxx>——j=—---------.

16把5

直线BCi与平面BB［DD［所成角的正弦值为半.

故选：D.

2.（2020•河北新华石家庄二中高一期末）在正方体ABC。—A耳£。中，M,N分别为AQ,G。的

中点，。为侧面3CC］用的中心，则异面直线与。2所成角的余弦值为（）

【答案】A

【解析】

如图，以。为坐标原点，分别以。4。。,。2所在直线为羽％2轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长

为2，则M(1,0,0),N(0,1,2),0(1,2,1),口(0,0,2),：.MN=(-1,1,2),ODX=(-1,-2,1).则

屋八1MNOD\111

cos(W,啊=।]=后几=%..♦.异面直线MN与ODi所成角的余弦值为彳，故选A.

3.（2020•辽宁高三其他（文））如图，在长方体48c£）-48601中，A8=8C=2,AAi=l,则8cl与平面8囱。1。

所成角的正弦值为（）

.孚

、V6R2任「V15

D.--------

355

【答案】D

【解析】

以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2,0,

0),B(2,2,0),C(0,2,0),G(0,2,1)

:.BG=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),AC且为平面BB1D1D的一个法向量.

/.cos(BC,AC)=/广=眄.：.BCi与平面BBiDiD所成角的正弦值为叵

16提55

4.(2020•黑龙江道里哈尔滨三中高三二模(理))己知四面体ABCD中，AB，BC,3D两两垂直,

BC=BD=0A3与平面ACD所成角的正切值为;，则点3到平面ACD的距离为()

AV3R2/RA/5N2A/5

2355

【答案】D

【解析】

以B为原点、,BC,BD，B4分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设54=1,/>0,5(0,0,0),C(、历,0,0),0(0,、历,0),A(0,0,。.

AB=(0,0,-t),CA=(-V2,0j),CD=(-72,72,0).

设平面ACD的法向量〃=(x,y,z),

n.CA--y]2x+tz=O令X=l,得y=l,z=@

则《

n-CD=-y[lx+>Jly=0

因为直线AB与平面AC。所成角的正切值为上,

2

所以直线AB与平面AC£＞所成角的正弦值为好.

5

A/2_V5

I2-5，角吊得t—2.

"Hfl[1+1+3一

所以平面AC。的法向量〃=

园72_2指

故B到平面ACD的距离为d=j；1=I-

故选：D

5.（2020.山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体ABCD-4gGA中，点M为棱CQ

的中点，则直线耳/与平面ARA/所成角的正弦值是（）

4

D.

5

【答案】B

【解析】

tO,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,1),2(0,0,l),M(0,l,|),Bx(1,1,1)

-----11

4。二(-1,。,。)，。阳=(0,1,-5),.=(1,0,])

设平面ARV的法向量为根二（X,y,z）

-x=0

\Di-m=0

则《<1c令y=i可得z=2,所以根=(0,1,2)

DM-m=0y——z=0

XI2

设直线BXM与平面所成角为夕，

,八\m-MB]i2

SHI夕=j1—

\m|-H亚文男5

2

故选：B

6.（2018•浙江高三其他）如图，在长方体44GA—中，44=24月=2月。1，A，区，c分

别是44，B&2,GG的中点，记直线02c与A2所成的角为a,平面与平面ABG2所成

二面角为夕，则（）

A.cosa=cos(3B.sin。=sinf3

C.cos(z>costj3D.sin。<sin/?

【答案】B

【解析】

连接A环用2,如图,

Di

在长方体内知A4//3C

所以为异面直线。2c与A2所成的角为a,

易知人耳。为等边三角形，

所以a=60°，

因为43-L平面ABB24,AB2u平面ABB^,

所以A3,AB?

又AB2-LA,B,4Z）"AyB=A,

所以AB?_L平面

同理可得B1C1平面ABCXD},

则AB2-BXC可分别视为平面A.BCD,,平面ABCR的一个法向量，

又因为在长方体内易知而

AD2IIBXC,ND2AB2=60°

故应2与片"的夹角为60°，

所以，=60°或£=120°,

即sin。=sin£,

故选：B

7.（2020•浙江镇海中学高三三模）在三棱柱ABC-中，。是棱8C上的点（不包括端点），记直线与。

与直线AC所成的角为4,直线用。与平面A与G所成的角为。2,二面角G—A与-。的平面角为打，

则（）

A.4＜。2＜。3B.。2＜，＜。3C.。3＜。2＜4D.为＜名＜，

【答案】D

【解析】

设三棱柱ABC-G是棱长为2的正三棱柱，。是棱的中点，

以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，

AC为丁轴，A4为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0,0,2）,4（8,1,2）,C（0,2,0）,A（0,0,0）,

'I22J

rjojA

AC=（0,2,0）,B]D=——,—,—2,耳耳=（6,1,0）,

I22J

直线BXD与直线AC所成的角为4,

.\BXD-AC\!

-8S]飞》国「26，

---直线耳。与平面4与。1所成的角为4，

平面44G的法向量〃=（0,0,1）,

.0_2

,2—^^一声

21

/.COS%=Jl-

飞'

设平面A^D的法向量）=（a,b,c）,

m•A耳=6a+Z?=0

取a=6，得根=［百，-3,一5

则<g1

mBD=----a+—b—2c=0

I1}22

二面角G—4耳—。的平面角为％,

cos32>cos4>cos4,

%<a<a

故选：D

8.（2020•浙江衢州高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC-4与C中，。是棱的中点，记

直线耳。与直线AC所成角为q,直线耳。与平面45cl所成角为名,二面角。1-4用-。的平面角为

仇，则（）

A.0-,<0X,02<^3B.&<夕3C,。2<%&〉83D,0-,>0V02>03

【答案】A

【解析】

由题可知，直三棱柱A3C-43IG的底面为锐角三角形，。是棱5C的中点，

设三棱柱ABC—A4G是棱长为2的正三棱柱，

以4为原点，在平面ABC中，过4作AC的垂线为X轴,

AC为V轴，A/为z轴，建立空间直角坐标系,

则A（0,0,2）,4（6,1,2）,C（0,2,0）,A（0,0,0）,

I22J

.（百]）.

AC=（0,2,0）＞B[D=—--,-,-2,A4=（G,l,0）,

直线用。与直线AC所成的角为4，4e]o,光，

B[DAC1

cosa=---------=—产,

B；D.AC2非

7T

一直线用。与平面AdiG所成的角为名,%£0,y,

平面44G的法向量〃=（o,o,i），

.I3■

sin0?—1------：—।-r=—产,

设平面AXBXD的法向量m=(a,b,c)，

m.4片=6〃+6=0

则《J31

mB,D=-----a+—b—2c=0

122

取〃=百，得加=]g,—3,一/

二面角G—Ag—。的平面角为名，

由图可知，为为锐角，即qe[。,/）,

cos32>cos4>cos0x,

由于y=cos。在区间（0,»）上单调递减，

%<。3<4，则％<4,。2<。3.

故选：A.

9.（2020•浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC，AB,BD±AB,且AC:AB:BD=1:3:1,设

8与■所成的角为。，CD与面ABC所成的角为夕，二面角C—A5—。的平面角为/,则（）

A.旌。gB.旌亨。C.cc<f3<^D.£

【答案】A

【解析】

因为空间线段ACLA5,BD工AB，

所以可将其放在矩形中进行研究，

如图，绘出一个矩形，并以A点为原点构建空间直角坐标系：

因为AC:AB:BD=1:3:1,

所以可设AC=x,AB—3x,BD=x,

则A(0,0,0),5(0,3%,0),C(O,O,x),£>(x,3x,0),

CD=(x,3x,-x),AB=(0,3x,0),CB=(0,3x,-x),

CDxAB9x23血

故CD与A5所成的角戊的余弦值cosa=।,」।=…八二一二

CDNABVtllx><3x11

因为根据矩形的性质易知平面ABD_L平面ABC,瓦>，平面ABC,

所以二面角C—AB—D的平面角为7=90,£=45,cos^=乎，

所以N3CD即CD与面ABC所成的角夕，

CDxCBVlTo

故cosp=

|CD|>^CB|11

因为巫＞也＞把

11112

所以尸

故选：A.

10.（2020.四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径8C=4,AB

2

=AC,NBAC=90。，。为半圆弧的中点，若异面直线2。和AH所成角的余弦值为一，则该几何体的体积

3

为（）

A.16+8兀B.32+16%C.32+8〃D.16+16TT

【答案】A

【解析】

设。在底面半圆上的射影为A，连接交于。，设ADc4G=0.

依题意半圆柱体底面直径BC=4,A5=AC,ZBAC=90。，D为半圆弧的中点，

所以A。LBCAQLBiG且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接。。1,

则0a与上下底面垂直，所以。口，OB,OOX±OA,OA±OB,

以OB,Q4,Oq为x，%z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为则

5（2,0,0）,。（0,-2㈤,A（0,2,0）,耳（2,0,叫,

所以BD=（-2,-2,h）,AB,=（2,-2,h）,

2

由于异面直线和A片所成的角的余弦值为

BDAB,2

所以

3

/?2,

即=_,/=16,/7=4.

8+/?23

191

所以几何体的体积为一x»x2~义4+—x4x2x4=16+8TT.

22

故选：A

二、多选题

11.(2019•江苏徐州高二期末)下列命题中正确的是()

A.是空间中的四点，若BARMIN不能构成空间基底，则共面

B.已知｛a,b,c｝为空间的一个基底，若加=a+C,则｛a,机｝也是空间的基底

2

C.若直线/的方向向量为e=(1,0,3),平面&的法向量为〃=(—2,0,§),则直线///a

D.若直线/的方向向量为e=(1,0,3),平面c的法向量为”=(—2,0,2),则直线/与平面a所成角的正弦

值为更

5

【答案】ABD

【解析】

对于A,A5,MN是空间中的四点，若不能构成空间基底，则BARMIN共面，贝U

共面，故A对；

对于B,已知｛a,仇4｝为空间的一个基底，则a,b,c不共面，若加=a+c,则a,b,m也不共面，则｛。也加｝

也是空间的基底，故2对；

2

对于C,因为e-〃=lx(—2)+0><0+3><§=0,则e_L”，若则〃/a,但选项中没有条件/(za，

有可能会出现/ua,故C错；

2+6

对于。，Vcos｛e,n)==-=,则则直线/与平面&所成角的正弦值为立，故。对；

\e\\n\710x27255

故选：ABD.

12.(2020•山东平邑高二期末)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABC。-A4GR，其中，以顶点

A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是()

------------%

A.(A^+AB+AD)2=2(AC)2B.AC,（AB-AD）=0

D.BA与AC所成角的余弦值为逅

C.向量4c与A4的夹角是60°

3

【答案】AB

【解析】

以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°,

可设棱长为1,则A、AB=A4j-AD=AD-AB=lxlxcos60°=g

(A4+AB+AD)=A4]+AB+AD+2AAX-AB+2AB-AD+2AAl-AD

=l+l+l+3x2x-=6

2

而=2(AB+AD『=2(届+而+2,回

=211+1+2xg]=2x3=6,所以A正确.

AG•(AB-AD)=(A4j+AB+AD).(AB-AD)

.22

=AAlAB-AAlAD+AB-AB-AD+AD-AB-AD=0,所以B正确.

向量4。=A。,

显然△44Q为等边三角形，则NAAD=60°.

所以向量与你的夹角是120。，向量4c与A&的夹角是120。厕C不正确

又打。产的+明―AB,AC=AB+AD

则|BDJ={(AD+AA,-时=6，\AC\=J(AB+AD『二g

BD『AC=(AD+AAl-AB^-(AB+AD)=1

所以cos（8£>i，AC）=''=厂1厂=¥，所以D不正确.

\/\BDt\-\AC\V2xV36

故选：AB

13.（2020•福建厦门高二期末）正方体ABC。—4旦G。中，E、F、G、H分别为CQ、BC、CD、BB、

5区的中点，则下列结论正确的是（）

A.Bfi±BCB.平面AEF平面AAlDiD=ADX

兀

C.A〃//面AEBD.二面角E—”—C的大小为一

4

【答案】BC

【解析】

由题可知，31G在底面上的射影为BG，而5c不垂直BG,

则BQ不垂直于,则选项A不正确;

连接AD1和BC】，E、F、G、H分别为CG、BC、CD、BB、8耳的中点,

可知EF//BCXIIADX,所以AAEFu平面AD*F,

则平面A砂平面所以选项3正确;

由题知，可设正方体的棱长为2,

以。为原点，ZM为x轴，。。为y轴，为z轴，

则各点坐标如下：

A（2,0,0）,C（0,2,0）,E（0,2,l），4（2,0,2）,//（2,2,l）,F（l,2,0）

4〃=（0,2,-1）,AT=（-1,2,0）,跖=（1,0,-1）,A4,=（0,0,2）,

设平面AEE的法向量为"=（九,y,z）,

则《，即｛令y=l,得尤=2,Z=2,

n-EF=0x-z=O

得平面的法向量为〃=（2,1,2）,

所以A8%=0,所以A"“平面则C选项正确；

由图可知，至，平面AFC,所以A4是平面AFC的法向量,

…AA・n2

则cos<AAvn>=II，|==-.

|M|-|«|3

兀

得知二面角—C的大小不是一，所以。不正确.

4

故选：BC.

14.正三棱柱ABC—A31cl中，AAi=sj3AB,贝U（）

A.AG与底面ABC的成角的正弦值为:

B.AG与底面ABC的成角的正弦值为正

2

C.AG与侧面相用3的成角的正弦值为走

4

D.AC与侧面44用5的成角的正弦值为史

4

【答案】BC

【解析】

如图，取AG中点E,AC中点P，并连接所，

则£与，EG，EE三条直线两两垂直，

则分别以这三条直线为了轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

设AB=2；

则反=；

.•.4（0,-1，0）,G（0,I,0）,4（0,-1，2®,C（o,1,2a4（G0,0）,

AG=（0,2,-273）.

底面ABC的其中一■个法向量为：质=（0,0,2百），

AQ与底面ABC的成角的正弦值为|cos<m,AC[>|=।2731=¥'；

A错3对.

A及的中点K的坐标为（孝，—；，0）

='d，*o]；

•••侧面AA^B的其中一个法向量为：KCI

122J

I”片「|AQKG36

与侧面A&与3的成角的正弦值为：1111

\AQ\x\KC]4X734，

故。对。错；

故选：BC.

X

三、单空题

15.（2020•四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面a的一个法向量〃=0,一万,,Aecr,

P出a,且。A=当,;Q,则直线K4与平面&所成的角为______

I22J

TT

【答案】-

3

【解析】

设直线Q4与平面a所成的角为氏

In-PAl

则sin8=|cosq=kd

«-PA

jr

・•・直线与平面。所成的角为一.

3

TT

故答案为：—.

3

16.（2019•河南高二竞赛）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边A5,二面角C-AB-D的余弦

值为走，M,N分别是AC,5c的中点，则EM,AN所成角的余弦值等于

3

【答案】|

【解析】

设A2=2,作COL^ABDE

OHLAB,则SLW,NCHO为二面角C-ABV＞的平面角,

CH=6,OH=CHcosZCHO=l,

结合等边三角形ABC与正方形ABOE可知此四棱锥为正四棱锥，

AN=EM=CH=6,AN

=^AC+AB\EM=^AC-AE

:.AN-EM=~

2

£

故EM,AN所成角的余弦值3=J_o

6由一%

17.（2019•安徽埔桥北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面e,夕的法向量分别为M=（4,0,3）,

v=（-1,1,0）,则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为.

【答案】竽

【解析】

两个平面a，£的法向量分别为:=（4,0,3），；=（一1,1,0），

则这两个平面所成的锐二面角的大小是弘

这两个平面所成的锐二面角的余弦值为逑.

5

故答案为：巫.

5

四、双空题

18.（2020•浙江宁波高二期末）在正四面体ABC。中，M,N分别为棱BC、A6的中点，设A3=a，

UUU1

AC=b，AO=c，用。，b，c表示向量立0=，异面直线DM与CN所成角的余弦值为.

【答案】—（i+B-2c）.—.

2、>6

【解析】

画出对应的正四面体，设棱长均为1则

(1)DM=DA+AM=_c+；(〃+Z?)=；(〃+/?_2c).

(2)由(1)DM——+Z?—2c),

又a・b=a・c=b・c=L.

2

\2DM-2CN\[a+b-2c)•(a—2b)

设异面直线皿与。V所成角为夕则cos0=J------n——L

20M.2CN8忑

2..».,2j.

a-la-b+a-b-lb-2a-c+4b-c1-1+--2-1+21

-3—36

故答案为：⑴.—^a+b—2c^.(2).—

19.（2018•北京海淀高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD,。为A在底面58上的正射影,

如图建立空间直角坐标系，4为线段A5的中点，则〃点坐标是，直线DM与平面5CD所成

角的正弦值是

【解析】

由题意易得:

"1

M

3*想,*一子12

5CD的法向量为(0,0,1),

20.(2020.山东德州高二期末)如图，在直三棱柱43。一4月£中，NACB=90°,AA=AC=BC=1,

则异面直线BC］与4旦所成角为；二面角A-BQ-C的余弦值是

【答案】|vB

【解析】

直三棱柱ABC—A4cl中，NAC8=90°，

CQ±BC,CQ1AC,AC±BC

如图以C为坐标原点，分别以C4,CB,CG为X、y、Z轴建立空间直角坐标系,

则a。,0,0),B(O,1,0),c(o,o,o),q(0,0,1),4(o,i,i),4(i,o,i)

BC]=(0,-1,1)，4^1=(-1,1,0),AB=(-1,1,0)

品；•曜|1

二.cos<BC,AR>=------1=—

M-n^lr2

所以异面直线BC,与4片所成角为g；

设平面ABC,的法向量为"=(%,y,z)

n-BC.=0-x+y=0

则1即《令y=l,则〃=(1,1,1)

n-AB=0-y+z=0

显然平面CBC1的一个法向量为m=(1,0,0)

n-m1A/3

cos<n,m>=

|n|-|m|A/3xl3

故二面角A-BQ-C的余弦值是显

3

y

TT

21.如图，在三棱锥S—ABC中，SA=SB=SC,且NASB=N8SC=NCS4=—,M、N分别是AB和

2

SC的中点，则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为,二面角A—SC—M大小为.

【答案】叵兀

54

【解析】

因为==所以以S为坐标原点，SA,SB,SC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，设&4=5B=SC=1,则SM=(g,g,0),3N=(0,—l,g)

C°S<SM网〉上:?:《

优

所以异面直线SM与所成的角的余弦值为®,

5

平面&1C的一个法向量为勺=(0,1,0),

设平面SCM的一个法向量为巧=(x,y,z),

则由巧•SC=0,4-SM=0,得z=0,；x+；y=0.1可取巧=(1,—1,0),

-1V231

cos<