函数的应用-(人教A版2019必修第一册)

函数的应用

知识剖析

1函数模型

一次函数y=ax+b(a*0)

2

二次函数y=ax+bx+c(QH0)

指数函数y=ax(a>0且aH1)

指数型函数y=k-ax(a>0月.a丰1)

对数函数

y=logax(a>0且Q*1)

对数型函数

y=k-logax(a>0且QH1)

塞函数y=xn(nEN。)

累函数型y=kxn(nGN*)

2增长快慢比较

n

1/(梦)>y(r)>V(logaX'),V(kx)>V(logax)

常见函数图象

3函数的零点

①函数零点的概念

对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数》叫做函数的零点.

②方程根与函数零点的关系

方程外幻=o有实数根必

=函数y=/(%)有零点的

Q函数y=/(%)的图象与％轴有交点，且交点横坐标为

如方程24-4=。的实数根是x=2,「/

函数/(%)=2X-4与％轴的交点横坐标是2,:/

函数/(x)=2X-4的零点是2,而不是(2,0).

拓展

方程/(%)=g(x)有实数根aO函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为沏.

解惑若让你求解产-2*=0?可能知道％=2,那是否只有一个实数根呢？

而方程/-2、=0的实数根Q函数f(%)=/与函数gQ)=2%的交点横坐标

如图就较容易得到，方程/-2、=0实数根有3个%1G(-1,0),乃=2,心=4.

③求函数零点方法

(1)(代数法)求方程f(乃=。的实数根.

(2)(几何法)利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.

4函数零点定理

如果函数y=f(%)在［a,b］上的图象是连续不断的，且/'(a)f(b)<0,那么函数y=/'(%)在(a,b)至少有一个

零点c,即存在cw(a,b),使得/■((?)=(),这个c也就是方程/(%)=0的解.

5二分法

①二分法的概念

对于在区间［a，切上连续不断且/•(a)f(b)<0的函数y=/(>),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，

使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

②用二分法求方程近似解的步骤

(1)确定区间［a，句，验证f(a)f(b)V0,给定精确度£;

(2)求区间(a,b)的中点c;

(3)计算f(c),

(i)若/'(c)=0,则c就是函数的零点；

(ii)若f(a)f(c)<0,则令b=c(此时零点%0W(a,c))

(iii)若<0,则令a=c(此时零点&G(r,b))

(4)判断是否达到精确度於即若|a-W<£,则得到零点近似值为a(或b)；否则重复⑵〜⑷

经典例题

【题型一】不同函数模型的认识

【典题1】惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所求：

t1.993.04.05.16.12

v1.54.047.51218.01

用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()

A.v-log21B.v=logitC.v-D..v=2t—2

【解析】方法1由表可知：u是关于£的增函数：且增幅随£的增大而增大，故只有C满足要求.故选C.

方法2作出散点图，如图，九

1J-,

由函数拟合可知只有C满足要求.故选C.16-

14-

方法3由表可知：口是关于£的增函数；故B不适合；①

对于&log21.99«2,Iog23«0.3,log24=2；故4不接近；成

兰二a12.5,空匚*18.2.故C接近：-------」»

22Q5x

对于D：2X1.99—2=1.98,2X3-2=4,2X4-2=6,2X5.1-2=8.2,

2X6.12-2=10.24,故。不接近.

故选C.

【点拨】

判断最佳函数模型，方法如下

①根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数；

②根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断；

③代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除.

【典题2】假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.如表给出了两种价格增长方式，其

中P1是按直线上升的房价,P2是按指数增长的房价，「是2002年以来经过的年数.

t05101520

Pl/万元2040

/万元2040

(1)求函数B=/«)的解析式；

(2)求函数P2=g(t)的解析式；

(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种

【解析】(1)由题意可设Pi=/(t)=mt+几(mH0),

•・•当匕=0时，Pi=20；当匕=10时，Pt=40,

(n=20解得I771=2

"ll0m+n=40解付L=20

•••Pi=f(t)=2t+20；

c

(2)由题意可设P2=g(£)=k-af

•••当t=0时，P2=20；当C=10时，「2=40，

MJ萨S解瞰"?，

Ucdu=40J=2io

P2=g(t)=20x2io；

(3)表中数据如下：

t05101520

Pi/万元2030405060

P2/万元2020V24040V280

在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示:

有图象可知，Pi=/(t)=2t+20呈直线通长，增长速度较慢；P2=g(t)=20x2而呈指数型增长，增长速

度较快.

【点拨】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法

【题型二】不同函数模型的应用

【典题1】某地为践行绿水青山就是金山果山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩,

计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.

(1)求森林面积的年增长率；

(2)到今年为止，森林面积为原来的鱼倍，则该地已经植树造林多少年？

(3)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？

(参考数据：lg2=0.3010J^3=0.4771)

【解析】⑴设森林面积的年增长率为x,则a(l+x)】°=2a,解得》=24一1,

・••森林面积的年增长率为2春-1；

(2)设已经植树造林n年，则由题意可知Q(1+%严=V2a,

n

•••ax2io=V2a,•••n=5,

,已经植树造林5年；

(3)设为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林m年，则a(l+工尸>6a,

m

•••2io>6,

故为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林26年.

【典题2]新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业4公司扩大生产提供6

。10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.4公司在收到政府%(万元)补贴后,

防护服产量将增加到yk•(6-缶)(万传其中々为工厂工人的复工率(々G[0,5.1]).4公司生产历件防护

服还需投入成本(20+8x+50t)(万元).

⑴将4公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴封万元)的函数；

(2)对任意的工6[0,10](万元)，当复工率々达到多少时，力公司才能不产生亏损？(精确到0.01).

【解析】(l)y=80t-(20+8x+50t)=30t-20-8x

=30&(6-焉-20-8%=180k-翳-8%-20,xG[0,10].

(2)若对任意的％G[0,10],公司都不产生亏损，

则180k-翳-8%-20N0在％E[0,10]恒成立，

即上之於生噜且，分离参数法

45X+2

记t=%+2,则tW[2,12],

此时(升4)(2.5)="皿里2=2亡+2+5,

x+2tt

由于函数/■«)=2t+：+5在£W[2,12]单调递增，(对勾函数)

所以当£e[2,12]时，fmax(t)=f(12)=29+«29.167,

•••k>^x29.167«0.648,

45

即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的文€[0,10],公司都不产生亏损.

【点拨】

①根据题意求出函数的解析式，在实际问题中，特别注意自变量的取值范围;

②求函数y=咒+：AC最值问题中,注意基本不等式和对勾函数的应用.

aiX^+b^x+Ci

巩固练习

1(★)有一组实验数据如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

则体现这些数据的最佳函数模型是()

11]

X2

A.y=X2B.y=log2xC.y=-2D.y--x

【答案】C

1

【解析】把Q,y)的值分别代入y=M中，不成立，故A不能最佳体现这些数据关系;

把(%,y)的值分别代入y=log2%中，不成立，故B不能最佳体现这些数据关系;

把(x,y)的值分别代入y=表2、中，基本成立，故C能最佳体现这些数据关系；

把(％y)的值分别代入y=*产中，不成立，故。不能最佳体现这些数据关系.

故选：C.

2(*)设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为々(k>0),通过%块这样的玻璃以后强度

为y,My=k•0.9YxGV),那么光线强度减弱到原来的g以下时，至少通过这样的玻璃块数为()(参

考数据：1g3ao.477)

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】设通过这样的玻璃块,则由题意得〃-0.9X4(4>0),化得

1

两边同时取常用对数，可得加0.9<%，

因为皿.9<°，所以%>黑=翱-霹*10.37,

则至少通过11块玻璃，

故选：C.

3(**)某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42,48,52.为了预测以后各月的患病人数，

甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数，%为月份数，a,b,c,p,q,r

都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54,57,58.

(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好.

【答案】⑴a=—1,b=9,c=34,p=-27,q=r=60(2)乙模型

【解析】(1)由甲模型：令y=/(%)=a/+匕％+c,

可得：a+b+c=42,4Q+28+C=48,9a+3b+c=52,

解得a=-1,b=9,c=34.

由乙模型：设y=pq*+r,

可得：g(l)=pq+r=42,g(Z)=pq2+r=48»^(3)=pq3+r=52,

解得p=-27,q=可,r=60.

⑵由(I)可得：/(x)=—x24-9%4-34,

/(4)=-42+9x4+34=54,

/(5)=-S2+9x5+34=54<57,

/(6)=-62+9x6+34=52<58：

由乙模型可得：g(x)=-27•(纤+60,

2417

•••0(4)=54+可*54,g(5)=56+@*56,g(6)=57+行k57.

可得:g(4)、g⑸、g(6)比f(4)、/(5)、f(6)更接近真实值.

4(★★)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之

间的关系满足如图所示的曲线.当tW(0,14］时，曲线是二次函数图象的一部分，当tW［14,40］时，曲线是

函数y=loga(£-5)+83(a>0,且aH1)图象的一部分•根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课

效果最佳.

(1)试求p=f(t)的函数关系式；

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.

--(t-12)2+82,t6(0,14］

【答案】⑴f(£)=%短_5)+83/W(14,40］

3

(2)教师能够合理安排时间讲完题目

2

【解析】⑴当tW(0,14］时，设p=f(t)=c(L12)+82(c<0),

将点(14,81)代入得c=0,

,当tG(0,14］时，p=/(t)=-1(t-12)2+82；

当tW(14,40］时，将点(14,81»V<y=loga(t—5)+83,得

所/P=f⑷=10呼£_5)+83,tW(14,40］；

(2)当tw(0,14］时，一］(t-12)2+82280,

解得12fh<t<12+2企，所以tE［12-2y/2,14］,

当tG（14,40］时,1。91«-5）+83>80,

解得5<tW32,所以tW(14,32],

综上[12—2a,32]时学生听课效果最佳，

此时△t=32-(12-2V2)=20+2V2>22,

所以教师能够合理安排时间讲完题目.

5(★★)培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N.己知向水中每投放1个单位的物质

N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymo，/L,y与％的函数关系可近似地表示为y=

(8一言根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mo〃L时，物质N才能有效发挥作用.

I12-x,6<x<12

(1)若在水中首次投放1个单位的物质N,计算物质N能持续有效发挥作用几天？

(2)若在水中首次投放1个单位的物质N,第8天再投放1个单位的物质N,试判断第8天至第12天，水中所

含物质N的量是否始终不超过6mo〃L,并说明理由.

【答案】(1)6(2)第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过

【解析】(1)由题意x,(单位：天)时刻后点中含有物质N的量为y=18-提，

112—x,6<x<12

解yN4,得

所以若在水中首次投放1个单位的物质N,物质N能持续有效发挥作用6天.

(2)设第x(8<%<12)天水中所含物质N的量为ymo，/L,

则+—=—%—

y=14-[(x-6)+^]<14-2j(^6)x3=6*

当且仅当％—6=1^,即％=10€[8,12]时，等号成立.即当戈=10时，ymax=6.

所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mo〃L

【题型三】求函数的零点

【典题1】下列函数中，在(-1,1)内有零点且单调递增的是()

A.y=logixB.y=3X—1C.y=x2—D.y=—x3

32

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A,y=logix,其定义域为(0,+<»),在(一1,0)上没有定义，不符合题意；

对于B,y=3x-l,在(一1,1)上有零点％=0,且在(一1,1)为增函数，符合题意;

对丁C,y=x2-1,为二次函数，在(T,0)上为减函数，不符合题意；

对于D,在(_i,1)上为减函数，不符合题意；

故选：B.

【点拨】求函数零点方法：①代数法，即解方程；②几何法，即数形结合.

【题型四】函数与方程的关系

【典题1】方程3"+4X=5”解的情况是()

4有且只有一个根2不仅有根2还有其他根

C.有根2和另一个负根。.有根2和另一个正根

【解析】方程3、+铲=5%等价为(§'+(j)X=1

设即(丁+(步

则函数f(x)在R上为减函数，

•…(l)”g

方程3"+4"=5”有且只有一个根2,故造4

【点拨】本题巧妙的把方程3*+於=5*的解转化为函数/(%)=Q)x+(3”与y=1的交点问题.

【典题2】若％1满足3*=2一％,小满足bg3%+%-2=0，则Xi+%2=.

【解析】设=g(x)=log3x,t(x)=2-x

满足3"=2-x,

••・与是函数/(%)=3”与函数£(%)=2-%交点横坐标，

%2满足log3x+X-2=0»

•••X2是函数g(X)=log3%与函数t(%)=2-％交点横坐标，

由于函数y=3。与函数y=log31互为反函数，

所以它们的图象关于直线y="轴对称，

故两图象与直线t(%)=2-％的交点(%］，yj,(x2,外)也关于y=%对称，

所以%1+%2=2，

【点拨】

①指数函数y=谟与对数函数y=log/互为反函数，它们的图象关于直线y=%对称.

②方程问题转化为函数问题时，在构造函数时，常把常见的函数模型(一次函数型、二次函数型、反比例函

数型，指数函数型、对数函数型等)分开，比如方程(％+1)2、+3=00函数y=2、与函数y=-冷，方程

ex\lnx\-k=0=函数y=|/nx|与函数y=•

【典题3】已知函数/(%)=/；??^>0,若函数/(%)=/(%)—b有四个不同的零点与，不，不，

"i1»,X十JL/X士U

X

X4(1V%2Vx3V%4)»则三■一泡竽区的取值范围是_______.

x

34

【解析】(函数/(x)=fM-b的零点等价于函数y=/(%)与y=b的交点)

作出/(%)的函数图象如图所示，

由图象知/+%2=-4，x3x4=1,0<b<1,\n

而0<-log2x3<1得］<x3<1>A-2yw

唠-*=9珞yy|

令亡=据，则:wtvl,

令g(t)=t+5

则g(t)在曰，1］上单调递减,g(i)=2,g@)=9,

即2<£+；4?,

t4

【点拨】

①函数尸(%)=f(x)—b零点的问题转化为函数y=/(%)与y=b的交点问题；

②遇到分段函数常常需要数形结合；

③求葛一妇产1的取值范围，应该根据图象找出与+必=-4,x3x4=1的关系，在利用“消元”的思想把

问题化简成“求£+蟾的取值范围”，从而想到构造函数g(t)=t+1.

【典题4】已知偶函数/(幻满足f(3+x)=f(3-x),且当x£［0,3］时,/(x)=-x2+2x4-1,若关于》的

方程严(%)-£fQ)-3=0在［-150,150］上有300个解，则实数£的取值范围是.

【解析】•••/(%)是偶函数，

：•f(3+x)=/(3-x)=f(x—3),

是以6为周期的函数.

•••关于％的方程产(%)-C/3)-3=0在［-150,150］上有300个解，

•••关于％的方程产(%)-t/(x)-3=0在(-3,3］上有6个解.

做出f(x)在一个周期(-3,3］上的函数图象如图所示：

令/Qr)=m,由函数图象可知：

当m=-2时，f(x)=m只有1解，

当一2VmV1或m=2时，/(%)=m有2解，

当?n=1时，/(%)=m有3解，

当1<mV2时，/(%)=m有4解.

•••关于m的方程皿2一《„1一3=0在｛2｝和(1,2)上各有1解或(一2,1)和(1,2)上各有1解,

若方程的一解为m=2,则方程的另一解为m=,2),不符合题意.

••・关于m的方程m2一£瓶一3=0在(-2,1)和(1,2)上各有1解，

1+2t>0

*e•—2—t<0»解得一：Vt<［.

l-2t>0

【点拨】

①由/•(3+乃="3-％)可得/(%)关于*=3对称，又由于f(%)是偶函数，可得函数的周期7=6；

②在“关于工的方程/■2(%)一tf(%)-3=0在(-3,3］上有6个解”这一步中的区间是(一3,3］,不能是［-3,3］.

巩固练习

1(*)下列函数中，是偶函数且不存在零点的是()

2

A.y=xB.y=也C.y=log2xD.y=-

【答案】D

【解析】对于4,y=/的对称轴为y轴，故y=/是偶函数，

令彳2=0得％=0,所以y=%2的零点为％=0.不符合题意.

对于B,y=近的定义域为[0,+8),不关于原点对称，

故y=正不是偶函数，不符合题意.

对于C,/=1咤2%的定义域为(0,+8),不关于原点对称，

故y=log2*不是偶函数，不符合题意.

=-(1),故y=_g)是偶函数，

令-G)㈤=0,方程无解.即y=—@国无零点.

故选：D.

!(★★)函数/(%)=(》团一/的零点个数是.

【答案】2

【解析】令/(%)=0,贝1](今四=7，

因此函数f(x)的零点个数即为函数y=刈和函数y=/的图象交点的个数，

在直角坐标系中画出函数y=(》团和函数y=M的图象如下：

由图象可得八”)有2个零点.

故选：B.

?(★★)若方程m*-x-m=0(m>0，且m工1)有两个不同实数根，则m的取值范围是.

【答案】m>l

【解析】方程m*-x-m=0有两个不同实数根，等价于函数y=与y=%+m的图象有两个不同的交点.

当m>l时，如图⑴有两个不同交点；

当Ovmvl时，如图(2)有且仅有一个交点.

故选：A.

女★★)设a、b、c依次表示函数/(x)=y一％+1,g(x)=logtx-x+1,h(x)=(5*-％+1的零点，则

a、b、c的大小关系为.

【答案】b<c<a

【解析】函数/1(%)=x^-x+1,g(x)=logix—x+1,/i(x)=《尸-x+1的零点，

2n

就是方程%2=%—1,/ogi%=X—1,(2)=%-1的解，

在坐标系中画出函数y=%2,y=1ogi%,y=(2尸，与y=%—1的图象，如图：

2N

可得b<c<a,

故选：0.

§(★★★)已知函数f(%)=log3x,函数/i(x)是最小正周期为2的偶函数，且当％e［0,1］时，九(%)=3,一1.若

函数y=k♦f(%)+九(%)有3个零点，则实数々的取值范围是.

【答案】(-2,—2log53)

【解析】•:y=k・/(X)+无@)有3个零点,

•0•y=九(%)与y=—k•log3%的函数图象有3个交点，

作出y=h(x)得函数图象如图所示：

若TcvO,即攵>0,则y=h(x)与y=—k,log3%的函数图象只有1个交点，不符合题意；

若Tc=0,即々=0,则y=与y=-k“og3%的函数图象有无数多个交点，不符合题意；

若—k>0,即kV0,若y=九(%)与、=—k•log3%的函数图象有3个交点：

则一klog33<2,且一k•log35>2,

解得：-2VkV—210g53.

故选：B.

f|5x-l|,x<l

6(***)已知函数/'(%)=I8%>］，若方程/(/(%))=Q恰有5个不同的实数根，则实数。的取值范围

为•

【答案】©,4)

|54-l|,x<1

【解析】作出函数/(%)=8的图象如图,

3彳*N1

若。<0,显然无解；

若。=0，则/(/(%))=0=/(%)=0=%=0,只有唯一解，不合题意；

若0VQW1,则/(%)在(0,log52)与(7,+8)中分别有一懈，但由于/(%)&4,

因此f(x)只在(0,log52)上有一解，此时4有二个解，不合题意；

若1VQV4,则/•(%)在(log52,l)与(1,7)中分别有一解，fCv)在(0,log52)上有一解，此时％有三个解，

因此由题意，f(x)在(1,7)中有一解需要得出工有两解，而由于f(x)W4,因此a的取值需保证f(%)在(1,7)

p8

中的解位于区间(1,4)中，计算得/(4)建，可得=<a<4；

若。=4,则/(%)=i,此时不有两解，不合题意；

若a>4,显然无解.

8

综上，-<a<4.

O

O

故答案为：(g,4).

【题型五】函数零点定理

【典题1】设函数/■(%)=含+1?«:满足/(a)f(b)f(c)v0(avbvc),若f(x)存在零点出,则下列选项中

一定错误的是()

A.xQe(a,c)B.x0e(a,b)C.x0e(b,c)D.x0e(c,+co)

【解析】函数函数/(%)=W+=2-击+In》的定义域为{%|%>0},函数是增函数，

满足/(a)f(b)/(c)VO(aVbVc),说明/(a)，/'(b)，/'(c)有1个是负数两个王数(且负数一定是/(a))或3个

负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在(a,c),在(a,b),在(c,+8),不可能在(b,c).

故选C.

【点拨】

①三二2-W利用了分离常数法•

x+lx+1

②判断函数零点所在的区间，就要注意区间上端点对应的函数值(本题中f3)、f(b)、f(c))是正数还是负

数.

【典题2］［幻表示不超过x的最大整数，例如［3.5］=3,［-0.5］=-1.已知的是方程

Inx+3x—15=0的根，贝.

【解析】a是方程》工+3x—15=0的根，

设/(%)="%+3%—15,显然/(%)单调递增，

故/(力=0只有一个根，

/(4)—Zn4—3—2ln2—3<2(Zn2-1)<0,/(5)—ln5>0,

故&G(4,5),所以［%()］=4，

【点拨】

①若f(X)在口，灯上是单调函数，则它在［Q