直线与平面平面与平面平行的判定附答案

直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标］1。理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义。2。会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3。能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题。知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行eq\b＼ｌc＼\ｒｃ＼}（\a\ｖｓ4\aｌ\cｏ１（ａ⊄α，b⊂α,a∥b）)⇒a∥α思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误。知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行eq\ｂ\ｌｃ＼＼rc\｝(\a\vs４\ａl\co１（a⊂α，ｂ⊂α,ａ∩b＝A,a∥β,ｂ∥β))⇒α∥β思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内。题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，空间四边形ABＣＤ中，E、F、G、H分别是AB、ＢＣ、ＣD、DA的中点。求证:(1)ＥH∥平面ＢＣD；(2)BD∥平面EFGH。证明(1)∵EＨ为△ABD的中位线，∴EＨ∥BD．∵EＨ⊄平面BCＤ,BＤ⊂平面BＣD,∴EH∥平面BＣＤ。(2）∵BD∥EH,ＢD⊄平面ＥFGH，EH⊂平面EFGＨ,∴BＤ∥平面ＥＦGH.跟踪训练1在四面体A-BＣD中,M，N分别是△ＡＢD和△BCD的重心，求证:MN∥平面ADC．证明如图所示,连接BＭ,BN并延长,分别交ＡＤ,ＤＣ于P，Q两点,连接ＰQ．因为Ｍ，N分别是△ABＤ和△BCD的重心,所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1。所以MN∥ＰＱ。又因为MＮ⊄平面ADC,PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ＡDＣ.题型二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ＡBC－A1Ｂ1C1中,点D，Ｅ分别是BC与B１C1的中点。求证:平面A1EB∥平面AＤC1。证明由棱柱性质知，B1C1∥ＢＣ,B1C1=BC,又D,E分别为BＣ,B1Ｃ1的中点,所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形,因此EB∥C１D，又C１Ｄ⊂平面ＡＤC1，EB⊄平面AＤC1，所以EB∥平面ＡDC1.连接DE,同理，EＢ１綊BＤ,所以四边形EDBB1为平行四边形，则ＥD綊B1B。因为B1B∥A１Ａ,B1B=Ａ1Ａ（棱柱的性质），所以ED綊A１A,则四边形EDAＡ１为平行四边形,所以A1E∥AD,又Ａ1E⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADＣ1。由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ＡDC1，A１Ｅ⊂平面A１EB，EB⊂平面A1EB，且Ａ1E∩EB=E,所以平面A１ＥB∥平面AＤＣ1．跟踪训练2已知ABＣＤ－A1Ｂ1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在ＣC1上,点G在BB1上，且ＡE=ＦＣ1＝B１Ｇ=1,H是B1C1的中点。求证:(1）Ｅ，B，F,Ｄ１四点共面；（2)平面A1GH∥平面BED1Ｆ.证明(1）∵AE=B1G＝1,∴BG＝A1E=2．又∵ＢG∥Ａ1E，∴四边形A１ＥBG是平行四边形,∴A1G∥BE。连接FG。∵C1F＝Ｂ1G,Ｃ1F∥B１Ｇ，∴四边形C1FGＢ1是平行四边形,∴FＧ=C1B１=D１A1，ＦG∥Ｃ１B1∥D1Ａ1,∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D１F∥ＥB。故E,B，F,D1四点共面.（２)∵H是B1Ｃ1的中点,∴B1H=ｅq＼f(3,2)．又∵B1G=1,∴eq\ｆ（Ｂ1G，Ｂ1H)=ｅq\ｆ（２，3）。又ｅq\f(FC，ＢC）=eq\ｆ(２,3），且∠FCB＝∠GB１H=90°,∴△B1HＧ∽△ＣＢF,∴∠B1GＨ=∠ＣFB=∠FBG，∴ＨG∥FB。又由（1)知,A1G∥ＢE，且HＧ∩A1G=G，FB∩ＢＥ＝B，∴平面A1ＧＨ∥平面ＢED1F.题型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3在正方体ABCD－A1B１Ｃ１D１中,O为底面ＡBCＤ的中心,P是DＤ1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Ｑ在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?请说明理由.解当Q为ＣC1的中点时,平面Ｄ1ＢQ∥平面PAＯ.理由如下:连接PQ.∵Ｑ为CC１的中点,P为DＤ1的中点,∴PQ∥DC∥AB,PQ＝DＣ＝AB，∴四边形ABQＰ是平行四边形,∴QB∥ＰA.又∵O为DB的中点,∴D１B∥PO．又∵PＯ∩PA＝P，D1Ｂ∩ＱＢ=B,∴平面D1BQ∥平面ＰAＯ。跟踪训练3如图，三棱柱ABC－A1Ｂ1Ｃ1的底面为正三角形，侧棱Ａ1A⊥底面AＢC,Ｅ,F分别是棱CC1,BB1上的点，ＥC=2ＦB。M是线段AC上的动点,当点M在何位置时，BM∥平面AEF？请说明理由。解当M为AC中点时，BM∥平面AEＦ。理由如下：方法一如图1，取AE的中点O,连接OF,ＯＭ.∵O，M分别是AＥ，AC的中点,∴OＭ∥EＣ，OM＝ｅq\f（1,2）EＣ。又∵ＢF∥ＣＥ，EC=2FＢ，∴ＯM∥ＢＦ,ＯM＝ＢF,∴四边形OMＢF为平行四边形,∴BM∥OF。又∵OＦ⊂面AＥＦ,BM⊄面AEＦ，∴ＢM∥平面AEＦ。方法二如图2，取EC的中点P,连接PM，PB。∵ＰＭ是△ＡCＥ的中位线,∴PM∥ＡＥ。∵ＥC＝2FＢ＝2PＥ，CC１∥BＢ1,∴PE=BF，PE∥BF,∴四边形BPEF是平行四边形,∴ＰＢ∥EF。又∵PM⊄平面AEF，PＢ⊄平面AEF,∴PM∥平面ＡEＦ,PB∥平面AEF。又∵ＰＭ∩PB=P，∴平面ＰＢM∥平面AＥF。又∵ＢＭ⊂面PBM，∴BＭ∥平面AEF。面面平行的判定例4已知在正方体ABＣD－A′B′C′Ｄ′中，Ｍ，Ｎ分别是A′D′，A′B′的中点,在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMＮ平行的平面？若存在，试作出该平面,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.分析根据题意画出正方体,根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断,并证明。解如图,与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图①为例进行证明。如图①,取B′C′的中点E，连接BＤ,BＥ，ＤE,ME,B′D′，可知四边形ABＥＭ是平行四边形,所以BE∥ＡＭ.又因为BE⊂平面ＢDE,AM⊄平面BDＥ,所以AM∥平面BDE。因为ＭＮ是△A′B′D′的中位线,所以ＭN∥B′D′。因为四边形ＢDD′B′是平行四边形，所以ＢＤ∥B′D′。所以ＭN∥BD。又因为BＤ⊂平面BＤE,ＭN⊄平面BDＥ，所以MＮ∥平面BＤＥ。又因为ＡM⊂平面AMN，MＮ⊂平面ＡMN,且AM∩MＮ＝Ｍ，所以由平面与平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.1。过直线l外两点，作与l平行的平面,则这样的平面（)A.不可能作出ﻩB。只能作出一个C。能作出无数个 D.上述三种情况都存在２。经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作(）A。１个或2个ﻩB.０个或1个C。1个 D。0个3。若线段ＡB,ＢC，ＣＤ不共面，M，N，P分别为线段AＢ,ＢC,ＣＤ的中点,则直线BD与平面MＮP的位置关系是(）A．平行 B。直线在平面内C。相交ﻩD。以上均有可能4.在正方体ＥFGH-E１F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是()A。平面E１FＧ1与平面ＥＧH1Ｂ．平面FHG１与平面F１Ｈ1GＣ。平面F1H1H与平面FＨＥ１Ｄ。平面Ｅ1HG１与平面ＥH１G5.梯形ＡBCＤ中，AB∥CD，ＡB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CＤ与平面α的位置关系是___＿_＿__。一、选择题1.下列说法正确的是（)①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行。A。①③B。②④C.②③④D.③④2。平面α与平面β平行的条件可以是（)A.α内有无穷多条直线与β平行B．直线ａ∥α,ａ∥β，且直线a不在α与β内C．直线ａ⊂α,直线b⊂β,且ｂ∥α,a∥βD。α内的任何直线都与β平行3。六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有（）A。2对B。3对C.４对D.5对４．如果直线ａ平行于平面α,那么下列命题正确的是(）A。平面α内有且只有一条直线与ａ平行B。平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与ａ平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行5。在空间四边形AＢＣD中,E,F分别为AＢ,AD上的点，且ＡE∶EB＝AF∶FＤ=1∶4,又H,G分别为ＢC，CD的中点，则()Ａ．BＤ∥平面ＥFG，且四边形EFGH是平行四边形B。EF∥平面BCＤ，且四边形ＥFGH是梯形C．HG∥平面AＢD，且四边形EＦGH是平行四边形D．ＥＨ∥平面AＤC,且四边形EFＧH是梯形6。平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为（)A。平行B。相交C。平行或相交D。可能重合7。已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是（)Ａ。l∥β,l⊂α⇒α∥βB。l∥β，m∥β，l⊂α,ｍ⊂α⇒α∥βＣ.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD。l∥β,m∥β,l⊂α，m⊂α,l∩m=M⇒α∥β二、填空题8。三棱锥SAＢＣ中,Ｇ为△ABC的重心,E在棱SＡ上,且AＥ=2ＥS，则EG与平面ＳBＣ的关系为_＿_＿＿＿_＿。9。如图是正方体的平面展开图。在这个正方体中,①BM∥平面ＤE;②CN∥平面AF；③平面BＤM∥平面AFN;④平面BDE∥平面ＮCF.以上四个命题中，正确命题的序号是＿__＿_＿＿_。１0.右图是一几何体的平面展开图,其中四边形ＡＢCＤ为正方形,Ｅ，F,Ｇ，H分别为PＡ，PD,PC,PB的中点，在此几何体中,给出下面五个结论：①平面EFＧH∥平面ABＣD；②PA∥平面ＢDG;③EF∥平面PＢC;④FH∥平面BＤG；⑤EF∥平面BDG；其中正确结论的序号是_＿___＿__。三、解答题1１。如图，在已知四棱锥P-AＢCD中,底面ABCＤ为平行四边形,点M,N，Q分别在PA,BD,PD上,且PＭ∶MＡ＝BＮ∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面ＰBC。１2.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1Ｃ1D1中,M是棱AB的中点,点N在侧面ＡA1D1D上运动，点N满足什么条件时，ＭＮ∥平面BB1D１D?当堂检测答案1.答案D解析设直线外两点为Ａ、B，若直线ＡＢ∥l,则过A、B可作无数个平面与l平行;若直线AＢ与l异面,则只能作一个平面与l平行；若直线ＡB与l相交,则过Ａ、Ｂ没有平面与l平行。2。答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时,可作出一个平面β使β∥α。②当经过两点的直线与平面α相交时,由于作出的平面又至少有一个公共点,故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面。故满足条件的平面有0个或1个。3.答案A解析连接NＰ，因为N、P分别是BC、CD的中点,M是ＡB的中点,AＢ、ＢC、CD不共面,所以直线BD不在平面ＭNＰ上。∴直线ＢD与平面ＭNP平行。4．答案A解析如图，∵EG∥E1G１,EG⊄平面E１FG1，E１G1⊂平面E1FG1,∴EG∥平面Ｅ1FＧ1,又Ｇ1F∥H１E,同理可证Ｈ１Ｅ∥平面E１ＦG1,又H１E∩EＧ=E,∴平面E１FG１∥平面EGH1。5．答案ＣＤ∥α解析因为AＢ∥ＣD,ＡB⊂平面α,CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得ＣD∥α。课时精练答案一、选择题1。答案D解析如图,长方体ABCD－A1B1C１D1中，在平面ABＣＤ内，在ＡＢ上任取一点Ｅ，过点E作EF∥AD,交CD于点F,则由线面平行的判定定理，知ＥＦ,BC都平行于平面ＡDD1A１，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行,但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行,因此①②都错；③正确,事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线＂的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确。2。答案D解析对于Ａ项，当α与β相交时,α内也有无数条直线都与交线平行,故A错误;对于B项，当a平行于α与β的交线时，也能满足,但此时α与β相交，故Ｂ错误;对于Ｃ项,当a和b都与α与β的交线平行时,也能满足,但此时α与β相交,故C错误；对于D项，α内的任何直线都与β平行,故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面,故Ｄ正确。3。答案C解析侧面中有３对，对面相互平行,上下两底面也相互平行．4。答案B解析如图，直线B1C1∥平面ＡＢCD,B１C1∥BC,B1Ｃ1∥ＡD，B1C1∥EＦ(E,F为中点）等，平面AＢCD内平行于ＢC的所有直线均与Ｂ１C1平行。但ＡB与B1C1不平行。5。答案Ｂ解析易证EF∥平面BＣD。由ＡE∶EB=AF∶FD,知EＦ∥BＤ，且EF＝ｅq\ｆ(1，5)BD.又因为H，G分别为BC，CD的中点,所以ＨG∥ＢD，且ＨG＝ｅq\ｆ(1，2)BD。综上可知,EF∥HG,ＥF≠HG，所以四边形ＥＦGH是梯形,且EF∥平面BＣＤ。6。答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.7。答案D解析如图所示，在长方体AＢCDＡ１B1C1Ｄ1中，AＢ∥ＣD，则AB∥平面ＤC1,AB⊂平面ＡC，但是平面AC与平面DC１不平行，所以A错误;取ＢB１的中点E,ＣＣ1的中点F,则可证EＦ∥平面AＣ,B１C１∥平面AＣ。EF⊂平面BＣ1，B1C1⊂平面BC1,但是平面ＡC与平面BC1不平行，所以B错误；可证ＡＤ∥B1C1,AD⊂平面AC，B1C１⊂平面ＢＣ1，又平面AC与平面BC１不平行,所以C错误;很明显D是面面平行的判定定理,所以D正确.二、填空题８。答案平行解析如图,延长ＡG交ＢC于Ｆ,连接SF,则由Ｇ为△ＡＢC的重心知AG∶ＧＦ＝2，又AE∶ES＝2,∴ＥG∥SF，又SF⊂平面ＳBC，EG⊄平面SBＣ，∴EG∥平面SBＣ。9.答案①②③④解析以ABC