2020-2021学年重庆市缙云教育联盟高二上学期期末数学试题解析版

PAGE试卷第=2页，总=sectionpages33页2021学年重庆市缙云教育联盟高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合,然后再求交集.【详解】集合由，得，所以所以故选：A2．已知实数满足关系：，记满足上述关系的的集合为，则函数的最小值为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由已知条件可得，根据基本不等式，，得到不等式，解得，，设，，当时，时，，当时，，当时，取得最小值，即恒成立，当时，那么恒成立，说明是单调递增函数，当时，函数取得最小值，，故选D.【解析】1.导数的应用；2.基本不等式的应用.【方法点睛】本题主要考察了导数与基本不等式的综合应用，属于中档题型，第一个要解决的是函数的定义域，所以根据基本不等式，得到函数的定义域，根据导数求函数的最值，涉及了二次求导的问题，一次求导后，不易得到函数的单调性，所以需要二次求导，得到一次导的最小值，再判断函数的单调性,最后求最值.3．已知双曲线的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线的垂直关系得到过F与第一象限的渐近线垂直的直线方程，分别代入两渐近线方程，得到关于M,N的纵坐标的方程，利用得到M,N的纵坐标的关系，两者联系，得到关于a,b的方程，化为a,c的方程，即可求得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为,过与此渐近线垂直的直线方程为：,联立求得,，①代入渐近线中，得到,,②，∵，∴,∴，整理得：,结合，整理可得，即离心率.故选：B.4．已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，利用，得到，再由椭圆的离心率为，设椭圆E的标准方程为，由A，B两点在椭圆上，得到求解.【详解】设，，则由，可得，解得，，即.因为椭圆的离心率为，所以可设椭圆E的标准方程为，所以，消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是由A，B两点在椭圆上，得到，进而由椭圆的范围求得m的范围而得解.5．有下列命题：①“或”是“”的必要不充分条件；②已知命题p：对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；③已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；④已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为1.其中所有真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①分别进行充分性和必要性判断即可，②根据全称量词命题否定判断即可，③根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，④由题意求出的最小值即可判断．【详解】解：①若“或”则“”的逆否命题为：若，则且；前者推不出后者，但是后者能够推出前者，所以，是且的必要不充分条件，故①是真命题，②已知命题p：对任意负实数x，都有，则是：存在负实数x，满足，故②是假命题，③若数列为等差数列，设公差为d，则当时，，为常数，则数列为等差数列，即充分性成立，若数列为等差数列，设公差为b，则时，为常数，则无法推出为常数，即无法判断数列为等差数列，即必要性不成立，即“数列为等差数列”是“数列为等差数列”充分不必要条件，故③正确，④由题意可知，b2＝1，∴.设，，，且，，令，，∴，∴的最小值为1，故④正确，①③④正确，故选：B.6．三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面的射影为的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】画出图象，做平面于，连接并延长交于，由题意可得：，所以平面，所以，又因为平面，所以，所以平面，同理，即可得解.【详解】如图：做平面于，连接并延长交于，连接并延长交于，由题意可得：，所以平面，所以，又因为平面，，所以平面，又因为平面，所以，同理：，故为的垂心.故选：D.【点睛】本题考查了空间线面关系，主要是垂直关系，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.7．设圆，直线，点，存在点，使（O为坐标原点），则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合图形可知时满足题意，代入，解不等式即可.【详解】如图，当直线与圆相切，为切点时，，取得最大值，此时当时可得所以满足题意的条件为：即，又，所以即，所以.故选：C.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8．将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】根据系统抽样的方法要求，确定分段间隔，根据随机抽的号码为003，计算出从201到352抽的人数即可得出结果.【详解】系统抽样的分段间隔为，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，故在201至352号中共抽中15人，其编号分别为：203,213,223,233,243,253,263,273,283,293,303,313,323,333,343.

故选：B.二、多选题9．下列命题正确的是（）A．已知，则“”是“”的充分不必要条件B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C．若随机变量，且，则D．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为【答案】AB【分析】由充分不必要条件的定义判断A，由线性回归直线方程判断B，由二项分页的期望与方差判断C，由函数的奇偶性单调性及对数函数性质判断D．【详解】A．，由能得出，但时，不一定成立，充分不必要条件是成立的，A正确；B．由得，B正确；C．，，，所以，C错误；D．由题意，，D错；故选：AB．【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断．解本题需掌握各个命题所涉及的知识与性质应用，充分必要条件的定义，线性回归直线一定过中心点，，则，以及，还需掌握奇偶性与单调性的关系及对数函数性质．10．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是（）A．恰好取到一件次品有不同取法B．至少取到一件次品有不同取法C．两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法D．把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式【答案】AC【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A：在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，A正确，对于B：至少取到1件次品包括两种情况：只抽到一件次品，抽到两件次品，所以共有至少取到一件次品有，B错误，对于C：两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法，C正确，对于D：有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有，D错误.故选：AC.11．已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（）A． B．若，则C．的最小正周期为4 D．在上的零点个数最少为1010个【答案】AC【分析】解：对A，根据正弦函数图象的对称性可判断；对B，令代入，以及，即可求出，进而求得；对C，根据，即可求出最小正周期；对D，由可得函数在区间上的长度恰好为个周期，令，即可判断．【详解】解：对A，的区间中点为，根据正弦曲线的对称性知，故A正确；对B，若，则，在上有最大值，无最小值，，则，，故B错误；对C，，又在上有最大值，无最小值，，(其中)，解得：，，故C正确；对D，当时，区间的长度恰好为个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至多为个零点，故D错误.故选AC.【点睛】关键点点睛：对关于三角函数命题的真假问题，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键．12．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A．曲线C过坐标原点B．曲线C关于坐标原点对称C．曲线C关于坐标轴对称D．若点在曲线C上，则的面积不大于【答案】BCD【分析】动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为，对各个选项逐一验证，即可得出结论．【详解】由题意设动点坐标为，则，即，若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被代换，y被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则，，当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.三、填空题13．已知函数，求曲线过点处的切线方程________.【答案】或【分析】先判断点不在函数图像上，设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，将点代入，得到关于的方程，解得，即可得切线方程.【详解】显然点不在曲线上，设切点为，由的导数，可得切线的斜率，切线的方程为，代入点，可得，化为，解得或，则切线的方程为或，故答案为：或.14．关于函数有如下四个命题：①是的周期；②的图象关于原点对称；③的图象关于对称；④的最大值为.其中所有真命题是___________.（填命题序号）【答案】①③④【分析】利用函数的周期性定义、奇偶性定义以及对称性逐一验证①、②、③；令，将函数化为，利用二次函数的性质判断④即可.【详解】，①是真命题；，，②是假命题；，③是真命题；令，则，故，故函数可看作，当时，，④是真命题.故答案为：①③④15．已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________.【答案】【分析】由垂直，可得点满足方程，代入椭圆得在，上有解，据此能求出椭圆的离心率的范围．其补集即为不存在点P，使AP垂直PO时的离心率，可得离心率的最大值．【详解】设点，假设AP垂直PO，

根据题意得，点P在圆上，，整理得，即解得，或（舍去）又因为，

，化简得：，，又因为，，

若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，椭圆离心率的取值范围为．

即椭圆离心率的最大值为．

故答案为：．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查满足AP垂直PO的点P的轨迹方程，一元二次方程的根，属于中档题．16．已知向量，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_______．【答案】【详解】试题分析：,．函数在区间上是增函数等价于在上恒成立．即在区间上恒成立．令,所以,令得,令得．所以函数在上单调递减;在上单调递增．所以,,所以．所以．【解析】导数求最值．四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，，的周长为12，求的面积.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）已知等式结合余弦定理，二倍角的正弦公式可求得；（2）由余弦定理及可求得，再由三角形面积公式计算．【详解】（1）由余弦定理知，，因为，所以，即.又，所以或，所以或.（2）由（1）及，得，因为，且，所以，由余弦定理知，，即，所以，所以的面积.【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查二倍角公式．解题关键是由已知条件的形式，确定先用余弦定理进行公式变形，再由三角公式求得角．18．已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列.（1）证明数列等比数列；（2）已知数列前n和为，条件①：，条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和.【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得，选条件②得利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知，即，∴，且∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴（2）条件①：，利用错位相减法:化简得条件②：利用错位相减法:化简得【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解;在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式19．已知中，，，，分别取边，的中点，，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足.（1）求证：平面；（2）试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，或.【分析】（1）首先根据题意易证，，从而得到四边形为平行四边形，即，再利用线面平行的判定即可证明平面.（2）首先根据题意易证是二面角的平面角，在面内作于，利用三棱锥等体积转化得到，从而得到到的距离，即可得到二面角的大小.【详解】（1）取中点，连接，，如图所示：∵为棱的中点，∴且，而中，，为边，的中点，则，且，∴，即.且，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面∴平面.（2）在中，，，；所以在立体图中，，，，∴是二面角的平面角，且平面，∵平面，∴平面平面在面内作于，如图所示：则平面，∴为三棱锥的高.，，∴，所以到的距离，当为锐角时，，∴，所以符合要求的的位置存在且二面角的大小为或.【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面平行的证明和二面角的求法，解决本题的关键为利用等体积转化法得到，从而得到，考查学生的空间想象能力，属于中档题.20．某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11109分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）首先设表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，由题设知事件的所有可能情况有：，或，由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率．（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【详解】（1）记表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，由题设知事件的所有可能情况有：，或，（A）．（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，则，，，，，的分布列为：99.51010.511．【点睛】易错点点睛：概率问题一般都是背景习题，所以第一步注意审题，避免因审题不清楚，造成错误，第二个错误就是写随机变量时，要做到准确，并理解每一个事件表示的意义，才能正确求概率，属于中档题．21．已知抛物线：（）焦点为，直线与抛物线交于，点.（1）若过点，抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点.记点的纵坐标为，求的值；（2）若，点在曲线上且线段，中点均在抛物线上，记线段的中点为，