84-第八章第四节(概率统计)

第八章假设检验*8.4总体分布假设检验的检验法2c

内容简介:

给出关于总体的分布类型的假设检验方法,这是非参数假设检验问题.

这些方法在解决实际问题中首先得到使用.在确定了总体服从正态分布后，才可以利用先前学习的关于均值、方差的区间估计方法和假设检验方法.第八章假设检验

*8.4

总体分布假设检验的检验法2c8.4.1

问题提出 前面我们讨论了当总体分布形式已知时,

对正态总体中未知参数的假设检验.

而当总体分布类型未知时,

则需要根据样本观察值对总体的分布进行推断,

这就是总体分布的拟合优度检验.

拟合检验法不止一种,

本书只介绍其中最常用的皮尔逊(Pearson)的检验法.皮尔逊资料8.4.2预备知识

假设检验,

检验法,频数,频率,直方图,上分位点

,最大似然估计.2c这里F0(x)是待接受的总体分布函数,

现在已知,

但其中所含的参数可以未知.

关于分布函数F0(x)中的未知参数,

可先利用最大似然法求出其估计值,

然后再接着进行总体分布的假设检验.(8.4.1)设总体X的分布函数F(x)未知,

为来自该总体的样本.

检验假设:

8.4.3

方法研究

检验法2c总体分布假设检验的检验法2c若总体为离散型,

则需检验假设:H0:

总体X的分布律为

P{X=xi}=pi,

i=1,2,…

(pi已知).

(8.4.2)

若总体为连续型,

则待检验假设是

H0:

X的概率密度为f(x)

(f(x)已知).(8.4.3)至于概率密度f(x)或分布律的具体形式,

可由经验或根据样本的观测值，利用直方图来推测.

检验法的基本思想是:

将随机试验的可能结果的全体分为k个互不相容的事件,在成立的条件下计算

,

i=1,2,…,k.

在n次试验中,事件出现的频率(其中)与常有差异,

但由伯努利大数定律可知,

如果试验次数很多,

在

成立的条件下,

的值应该比较小.

过大就应该拒绝H0

.

基于此,

皮尔逊选用检验统计量

(8.4.4)

并证明了如下定理.

定理若n充分大(一般要求n≥50),则当成立时,

不论总体X服从何种分布,

统计量(8.4.4)近似地服从自由度为k-r-1的分布.其中r是待检验分布中未知参数的个数.

若,

则拒绝

,

否则,

接受

.在H0成立时,利用样本数据可计算(8.4.4)中的观测值,对于给定的显著性水平

,查表得

注意：概率pi的确定：当待接受的总体分布律或概率密度已知时即可得到pi；当待接受的总体分布律或概率密度未知时，通过最大似然估计法计算得到pi.

检验法实施步骤是:

(1)

提出原假设:

(或:

服从某种分布);

(2)

将实数轴分为个不相交的区间其中可取至-∞,

可取至+∞,

一般取5≤k≤16;

(3)

计算观测值频数,

即个样本观测值,

…,

中落入第i个区间(,

]中的个数

(i=1,2,…,k);(4)在成立的条件下,计算X落入各区间的概率,进而得到理论频数(i=1,2,…,k);(5)将,

代入(8.4.4)求出的值;(6)查分布表得;(7)作出推断结论:若,则拒绝,否则可接受.

应注意的是,

利用检验法时一般要求

≥5(i=1,2,…,k),

否则应适当地将相邻的区间合并,

以满足此要求.

例8.4.1

检验6.2节例6.2.3中刀具寿命是否服从正态分布?取显著性水平=0.05.

解根据频率直方图的分布形状,

我们可以推断总体“可能服从正态分布”.

8.4.4方法应用

以随机变量X表示刀具寿命,需要检验原假设待检验正态总体中的两个参数μ与

都是未知的,我们先用最大似然法求其估计值:将例6.2.3中的样本观测值代入上述公式,

计算得到所以，现在需要检验假设将实数轴分为10个区间,

第一个区间是(-∞,

339.5],

最后一个区间为(363.5,+∞)

,

其它各区间保持不变

.

下面计算落入各区间的概率.i=1,2,…,10.类似地,

计算可得的

值.

结果见表8-1.

通用公式：具体计算各区间概率,得到：

表8-1

例8.4.1频率,概率与统计量值组号区间nipinpi(ni-npi)2/npi12(-∞,339.5](339.5,342.5]0.01830.0460.02883(342.5,345.5]110.109310.930.00044(345.5,348.5]180.185818.580.01815(348.5,351.5]240.227722.770.06646(351.5,354.5]200.198119.810.00187(354.5,357.5]120.129512.950.06978910(357.5,360.5](360.5,363.5](363.5,+∞]0.05970.01970.00590.0259合计1000.2111

所以，接受

,

即认为刀具寿命服从正态分布

N(350.38,5.22).合并后区间个数k=7,

这里有两个待估参数,

故r=2.

对于α=0.05,

查表得因为讲评(1)要解决的问题是“刀具寿命是否服从正态分布?”，提示我们应该进行总体分布类型的假设检验，人们常用“总体分布的假设检验法”.

(2)施行“总体分布的假设检验法”的

步骤，提示读者分解划分,

注意处理npi≥5和5≤k≤16.

(3)在理论上得到了可以接受的

结论“认为刀具寿命服从正态分布

N(350.38,5.22)”,我们就知道了正态总体的均值为350.38,其方差为5.22.

当然，也可以再对其进行假设检验，计算有关的估计可信度、估计的误差精度等问题.

(4)由于接受了结论“认为刀具寿命

服从正态分布N(350.38,5.22)”,我们完全

可以进一步分析、讨论和预测该正态总体的概率问题.

例如进一步结合第七章的区间估

计,结合第八章的假设检验,结合第九章的线性回归分析等知识进行数据统计分析.8.4.5

内容小结

(1)关于总体分布类型或者分布表达式

的确定,

常用χ2检验法;

(2)χ2检验法与直方图结合使用;

(3)F0(x)中可以含有待定参数,用最大

似然法求得;

(4)注意处理npi≥5和5≤k≤16.

8.4.6

习题布置习题8.4:1、2

.参考文献与联系方式[1]郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社，2015年8月.[2]郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社，2015年8月.[3]郑一,戚云松,陈倩华,陈健.光盘：概率论与数理

统计教案作业与试卷及答案数学实验视频.大

连理工大学出版社，2015年8月.[4]王