2024高考数学一轮复习-第5章-平面向量与复数-第4课时-复数练习-理

PAGE好教育云平台——好教育云平台——教育因你我而变呵呵复活复活复活第4课时复数1．假设(x＋i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，那么x＝()A．±1 B．2C．－1 D．1答案A解析(x＋i)2＝x2－1＋2xi，因为(x＋i)2是纯虚数，所以x＝±1.2．(2024·河北辛集中学月考)假设复数eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的实部与虚部互为相反数，那么b等于()A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2答案C解析eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(〔2－bi〕〔1－2i〕,〔1＋2i〕〔1－2i〕)＝eq\f(2－2b－〔4＋b〕i,5)，由题意得eq\f(2－2b,5)－eq\f(4＋b,5)＝0，得b＝－eq\f(2,3).3．(2024·课标全国Ⅱ，理)eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i答案D解析eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(〔3＋i〕〔1－i〕,〔1＋i〕〔1－i〕)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，选择D.4．(2024·课标全国Ⅲ，理)设复数z满足(1＋i)z＝2i，那么|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2答案C解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i〔1－i〕,〔1＋i〕〔1－i〕)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).5．(2024·山东，文)i是虚数单位，假设复数z满足zi＝1＋i，那么z2＝()A．－2i B．2iC．－2 D．2答案A解析∵zi＝1＋i，∴z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1,i)＋1＝1－i.∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.选A.6.(2024·湖北黄冈期末)复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，那么eq\o(z,\s\up6(－))2＝()A．3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4i答案B解析由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z2＝－4＋3i，eq\o(z,\s\up6(－))2＝－4－3i.7．(2024·沧州七校联考)z是纯虚数，eq\f(z＋2,1－i)是实数，那么z等于()A．2i B．iC．－i D．－2i答案D解析设纯虚数z＝bi(b≠0)，代入eq\f(z＋2,1－i)eq\r()＝eq\f(bi＋2,1－i)＝eq\f(〔bi＋2〕〔1＋i〕,〔1－i〕〔1＋i〕)＝eq\f(〔2－b〕＋〔b＋2〕i,2)，由于其为实数，∴b＝－2.8．(2024·江西，理)eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，假设z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2，(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2(i为虚数单位)，那么z＝()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案D9．设a是实数，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是实数，那么a＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)答案A解析eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a〔1－i〕,〔1＋i〕〔1－i〕)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(〔a＋1〕＋〔－a＋1〕i,2)，由于该复数为实数，故－a＋1＝0，即a＝1.10．(2024·郑州质量预测)在复平面内与复数z＝eq\f(5i,1＋2i)所对应的点关于虚轴对称的点为A，那么A对应的复数为()A．1＋2i B．1－2iC．－2＋i D．2＋i答案C解析依题意得，复数z＝eq\f(5i〔1－2i〕,〔1＋2i〕〔1－2i〕)＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(－2，1)对应的复数为－2＋i，选C.11．(2024·宜昌调研)设复数z满足eq\f(1－z,1＋z)＝i(i是虚数单位)，那么|1＋z|＝()A．0 B．1C.eq\r(2) D．2答案C解析∵eq\f(1－z,1＋z)＝i，∴z＝eq\f(1－i,1＋i)＝－i，∴|z＋1|＝|－i＋1|＝eq\r(2).12．(2024·山东，理)a∈R，i是虚数单位．假设z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝4，那么a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)答案A解析方法一：由题意可知eq\o(z,\s\up6(－))＝a－eq\r(3)i，∴z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.方法二：z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.13．下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i,p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4答案C解析∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．14．(2024·课标全国Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，那么|x＋yi|＝()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案B解析因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).应选B.15．函数f(x)＝x2，i是虚数单位，那么在复平面中复数eq\f(f〔1－i〕,2＋i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析eq\f(f〔1－i〕,2＋i)＝eq\f(〔1－i〕2〔2－i〕,〔2＋i〕〔2－i〕)＝eq\f(－2i〔2－i〕,〔2＋i〕〔2－i〕)＝eq\f(－2－4i,5)，在复平面内对应的点(－eq\f(2,5)，－eq\f(4,5))位于第三象限，应选C.16．(2024·北京，理)设a∈R，假设复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，那么a＝________．答案－1解析(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由得a＋1＝0，解得a＝－1.17．(2024·河南许昌高中联考)给出以下四个命题：①满足：z＝eq\f(1,z)的复数有±1，±i；②假设a，b∈R且a＝b，那么(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；③复数z∈R的充要条件是z＝eq\o(z,\s\up6(－))；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．其中正确的命题是________．答案③解析因为i2＝－1，所以命题①不正确；对于命题②，当a＝b＝0时，不成立，命题②不正确；由共轭复数的定义知，命题③正确；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，命题④不正确．18．i＋i2＋i3＋…＋i2019的值是________．答案－1解析原式＝eq\f(i〔1－i2019〕,1－i)＝eq\f(i〔1－i3〕,1－i)＝eq\f(i〔1＋i〕,1－i)＝i·i＝－1.19．计算：(1)eq\f(〔1＋2i〕2＋3〔1－i〕,2＋i)；(2)eq\f(1－i,〔1＋i〕2)＋eq\f(1＋i,〔1－i〕2)；(3)eq\f(1－\r(3)i,〔\r(3)＋i〕2).答案(1)eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i(2)－1(3)－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i解析(1)eq\f(〔1＋2i〕2＋3〔1－i〕,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i〔2－i〕,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(2)eq\f(1－i,〔1＋i〕2)＋eq\f(1＋i,〔1－i〕2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(3)eq\f(1－\r(3)i,〔\r(3)＋i〕2)＝eq\f(〔\r(3)＋i〕〔－i〕,〔\r(3)＋i〕2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(〔－i〕〔\r(3)－i〕,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.1．(2024·湖北八校联考)设x∈R，那么“x＝1〞是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数〞的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析由纯虚数的定义，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x＋1≠0，))所以x＝1.应选C.2．复数eq\f(i,1＋2i)(i是虚数单位)的实部是()A.eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)答案A解析eq\f(i,1＋2i)＝eq\f(2＋i,5)，实部为eq\f(2,5).3．(2024·四川，理)设i是虚数单位，那么复数i3－eq\f(2,i)＝()A．－i B．－3iC．i D．3i答案C解析i3－eq\f(2,i)＝－i－eq\f(2i,i2)＝－i＋2i＝i，选C.4．(2024·湖南)eq\f(〔1－i〕2,z)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案D解析由题意得z＝eq\f(〔1－i〕2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝－i(1－i)＝－1－i，应选D.6．(2024·课标全国Ⅰ，理)eq\f(〔1＋i〕3,〔1－i〕2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案D解析先把分子、分母分别计算，再求解，或利用结论eq\f(1＋i,1－i)＝i.方法一：eq\f(〔1＋i〕3,〔1－i〕2)＝eq\f(〔1＋i〕〔1＋i〕2,－2i)＝eq\f(〔1＋i〕〔1＋i2＋2i〕,－2i)＝eq\f(〔1＋i〕2i,－2i)＝－1－i.应选D.方法二：eq\f(〔1＋i〕3,〔1－i〕2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(2)(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．7．(2024·安徽，理)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．假设z＝1＋i，那么eq\f(z,i)＋i·z＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i答案C解析先根据z求出z及eq\f(z,i)，结合复数的运算法那么求解．∵z＝1＋i，∴z＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(i2＋i,i2)＝1－i.∴eq\f(z,i)＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)＋(1＋i)＝2.应选C.8．(2024·湖北，理)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．i B．－iC．1 D．－1答案A解析i607＝i4×151·i3＝－i，又－i的共轭复数为i，选A.9．(2024·课标全国Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，那么a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3答案A解析(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由条件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.应选A.10．(2024·课标全国Ⅱ)z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m的取值范围是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)答案A解析由可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>－3，,m<1))⇒－3<m<1.应选A.11．(2024·北京)复数eq\f(1＋2i,2－i)＝()A．i B．1＋iC．－i D．1－i答案A解析eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(〔1＋2i〕〔2＋i〕,〔2－i〕〔2＋i〕)＝eq\f(5i,5)＝i.12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，那么以下结论正确的选项是()A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|答案D解析|z|＝eq\r(x2＋y2)≤eq\r(x2＋2|xy|＋y2)＝eq\r(〔|x|＋|y|〕2)＝|x|＋|y|，D正确，易知A，B，C错误．13．(2024·天津，理)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________．答案－2解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，那么实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.14．(2024·天津)a，b∈R，i是虚数单位．假设(1＋i)(1－bi)＝a，那么eq\f(a,b)的值为________．答案2解析(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，eq\f(a,b)＝2.15．(20