【初中数学++】++角平分线+课件+北师大版数学八年级下册

§1.4.2角平分线第二课时1

定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理

在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.复习回顾2

三角形的三条边的垂直平分线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等.思考：

三角形的三个角的平分线有什么性质？思考探究3

已知：如图,在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB、BC、AC的垂线,垂足分别是D，E，F.ACBPMNDEF

例2求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.

分析：先证明BM上的点到AB与AC的距离相等，再证明CN上的点P到AC与BC的距离相等.定理求证4证明：BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.即∠A的平分线经过点P.定理求证5

定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等三角形角平分线的性质定理定理说明6内心牛刀小试课本32页第2题1.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．71.如图，△ABC的三边AB，BC,CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则

S△OAB:S△OBC:S△OAC等于（）定理应用A.1：1：1D.3：4：5C.2：3：4B.1：2：3ABCC8O比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形交点性质性质比较9交于三角形内一点交于三角形外一点交于斜边的中点到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等交于三角形内一点

例3

如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证:AB=AC+CD.EDABC

分析：（1）先证明DE=CD，再证BE=DE，最后利用勾股定理求得AC.

（2）先证明AC=AE.10例3

如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.（1）解∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E，∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°-45°=45°.∴BE=DE（等角对等边）.在等腰直角三角形BDE中，11EDABC（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）证明：由（1）的求解过程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.12EDABC（2）求证:AB=AC+CD.例3

如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.牛刀小试课本32页第1题1.已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线.

求证：BD=2CD.ABCD13牛刀小试课本32页第3题2.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．求证：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分线．14课堂小结1