2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题卷（含答案与解析）

2023黑龙江省哈尔滨市初中学业水平考试

数学试题

本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.10的绝对值是（）

D.-10

2.下列运算一定正确是（）

222326

A.（-^）=-abB.aa=aC.⑷了二苏D.从+廿=0

3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

4.七个大小相同的正方体搭成的几间体如图所示，其俯视图是（）

—//一/

正面

A45°B.50°C.65°D.75°

23

6.方程一二一的解为（）

x1

A.x=lB.x=—\C.x=2D.x=-2

7.为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平

方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是()

A.x(x-6)=720B.x(x+6)=720C.x(x-6)=360D,x(x+6)=360

8.将10枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机

取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是()

1112

A.-B.-C.-D.一

5323

9.如图，AC,80相交于点。，AB//DC,M是A8的中点，MN//AC,交BD于点N.若

DO:OB=1:2,AC=12,则MN的长为()

A.2B.4C.6D.8

10.一条小船沿直线从A码头向3码头匀速前进，到达3码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码

头.在整个过程中，这条小船与3码头的距离1(单位：m)与所用时间，(单位：min)之间的关系如

图所示，则这条小船从A码头到8码头的速度和从3码头返回A码头的速度分别为()

A.15m/min,25m/minB.25m/min,15m/minC.25m/min,30m/minD.30m/min,25m/min

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11.船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000

千克，用科学记数法表示为千克.

2

12.在函数y=——-'h自变量x的取值范围是_______.

x-8

13.已知反比例函数丁=好的图像经过点（。,7）,则。的值为.

X

14.计算病-74的结果是.

15.把多项式g2一16团分解因式的结果是.

16.抛物线y=-（％+2）2+6与y轴的交点坐标是.

x+2>3（1-x）

17.不等式组/八}，的解集是_________________.

1-2x42

18.一个扇形的圆心角是150。，弧长是2兀cm,则扇形的半径是cm.

19.矩形ABC。的对角线AC,30相交于点。，点R在矩形ABC。边上，连接。尸.若

ZA£>B=38°,NBOF=30。,则ZAOF;

20.如图在正方形A3CZ）中，点E在上，连接AE,BE,尸为8E的中点连接C尸.若

三、解答题（共60分）

DE=BF,BE=BC.

Ar\n。

B1

图①图②

(1)如图①，求证△A£D也△EFB;

(2)如图②，若AB=AD,AE不ED,过点。作CH〃4E交破于点〃，在不添加任何轴助线的情况

下，请直接写出图②中四个角(/8AE除外)，使写出的每个角都与NB4E相等.

25.佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A,4两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相

同,每套。款服装所用布料的米数相同.若1套A款服装和2套R款服装需用布料5米,3套A款服装和1

套B款服装需用布料7米.

(1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；

(2)该中学需要A,H两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套8

款服装？

26.己知一ABC内接于I。,4B为OO的直径，N为AC的中点，连接QV交AC于点凡

图③

(2)如图②,点。0。上，连接03，DO,DC，DC交OH于息E,若DB=DC,求证

OD//AC：

(3)如图③,在(2)条件下，点F在5。上，过点尸作交DO于点G.DG=CH,过

点、F作FR_LDE，垂足为R,连接£尸，E4，EF：DF=3:2,点7在3c的延长线上，连接AT,过

点T作7MlOC，交。。的延长线于点M,若FR二CM,AT=4也，求AB的长.

27.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线＞=以2+加+6君与1轴交于点人（-6,0）,5（8,0）,

与y粕交于点C.

（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE,CE,设点E的横坐标为乙△OCE1的面

积为S,求S关于，的函数解析式（不要求写出自变量，的取值范围）；

（3）如图②，在（2）条件下，当S=6JJ时，连接应:交丁轴于点R,点厂在丁轴负半轴上，连接

BF，点、D在BF上，连接EO，点L在线段用上（点L不与点5重合），过点L作酸的垂线与过点3

且平行于。的直线交于点G,"为LG的延长线上一点，连接3M，EG,使NGBM=gNBEG,p

是x轴上一点，且在点〃的右侧，NPBM-NGBM=/FRB+—DEG,过点交

8G的延长线于点N,点V在8G上，连接使8L—若4EBF=/VMN,求直线

BF的解析式.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.10的绝对值是（）

11

A.——B.10C.——D.-10

1010

【答案】A

【解析】

【分析】根据“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0,负数的绝对值是它的相反数”求解即可.

【详解】解:因为一看为负数，

所以一卡的绝对值为看，

故选A.

【点睛】本题主要考查求绝对值，掌握“正数的绝对值是它本身，。的绝对值为0,负数的绝对值是它的相

反数”是解题的关键.

2.下列运算一定正确的是（）

A.（-a/?）2=-a2b2B.a3a2=a6C.（叫4=/D.Z?2+b2=2b2

【答案】D

【解析】

【分析】根据积的乘方、同类项的定义、鼎的乘方和平方差公式逐一判断即可.

【详解】A.（-ah）:=片尸,故本选项原说法错误；

B.a3a2=a5,故本选项原说法错误；

C.故本选项原说法错误；

D.b2+b2=2b2，故本选项正确.

故选D.

【点睛】此题考查的是某的运算性质和整式的运算，掌握积的乘方、合并同类项和新的乘方是解决此题的

关键.

3由.下列图形中，既是轴对称二图形，又是中心对称图形&的是（）

3D-0

【答案】A

【解析】

【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条

直线叫做对称轴；中心对称是旋转180。后与原图重合的图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行

判断.

【详解】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意;

C.不是铀对称图形，也不是中心对称图形，故木选项不符合题意;

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了判断轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题的关键.

4.七个大小相同的正方体搭成的几间体如图所示，其俯视图是（）

正面

【解析】

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】解：这个组合体的俯视图如下:

【点睛】本题考查了画小立方块堆砌图形的一:视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是解题的关键.

5.如图，48是。。的切线，A为切点,连接04，点C在。0上，OC_LQ4,连接并延长，交

OO于点。，连接0。.若NN=65。，则ND0C的度数为（）

A.45°B.50°C.65°D.75°

【答案】B

【解析】

【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到NQ45=90。和/A00900,再利用四边形的内角和为360。

进而可求得NOCO=65。，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解.

【详解】解:QOC1OA,

/.40c=90。，

又是。。的切线，

:.OA±AB,

.•.NQ4B=90。，

又•.2=65。，

NOCB=360°-ZOAB-ZAOC—NB=115。，

ZOCD=180°-40cB=65°，

又・：OC=OD,

:,NODC=/OCD=650,

/DOC=180°-2ZODC=50°，

故选B.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是360。，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟

练掌握其基本知识是解题的关键.

23

6.方程一=—的解为（）

xx+1

A.x=\B.x=—lC.x=2D.x=—2

【答案】C

【解析】

【分析】方程两边同时乘以“（%+1）,化为整式方程即可求解.

23

【详解】解：一=—

xx+1

程两逅同时乘以X（X+1）得，2（x+l）=3x

解得：x=2

经检验，x=2是原方程的解，

故选：C.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

7.为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平

方米，设矩形空地的长为K米，根据题意，所列方程正确的是()

A.x(x-6)=720B.x(x+6)=720C.x(x-6)=360D.x(x+6)=360

【答案】A

【解析】

【分析】根据矩形面积公式，可得x(x—6)=720,即可解答.

【详解】解：根据题意可得矩形空地的宽为(工-6)米,

可列方程x(x—6)=720,

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系，列出方程是解题的关键.

8.将10枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机

取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是()

A.11

B.一D

53C7-1

【答案】D

【解析】

黑棋子黑数棋+子矗数子数'据此即可求解.

【分析】取出的棋子是黑棋子的概率:

【详解】解：由题意得：取出的棋子是黑棋子的概率为：』一二3

10+53

故选：D

【点睛】本题考查概率的计算.熟记概率公式是解题关键.

9.如图，AC，80相交于点。，AB//DC,M是A8的中点，MN//AC,交BD于点N.若

DO:OB=\:2,AC=12,则MN的长为()

【答案】B

【解析】

【分析】根据A8〃OC可得“X?0©BAO,从而得到C0=104,再根据MV〃AC得到

2

_BNMLBOA,从而得到MN=,04,最后得到MN=C。即可求解.

2

【详解】解：・「4区〃。C.

:二DCO&BAO,

.J

一而―73-5'

?.C0=-0A

2t

?.C0=-AC,

3

•.­MN//AC,

:-BNMJBOA,

.BMMN

'~BA~~OA'

M是48的中点，

•BM_MN_1

"~BA~~OA~2,

\MN=-0A

2f

:.MN=CO,

,MN」AC」xl2=4,

33

故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键.

10.一条小船沿直线从A码头向8码头匀速前进，到达8码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码

头.在整个过程中，这条小船与4码头的距离X（单位：m）与所用时间，（单位：inin）之间的关系如

图所示，则这条小船从A码头到△码头的速度和从△码头返回A码头的速度分别为（）

A.15m/min,25m/ininB.25m/min,15m/minC.25m/min30m/minD.30m/min,25m/min

【答案】D

【解析】

【分析】根据路程除以时间结合函数图象即可求解.

【详解】解：依题意，小船从A码头到8码头的速度为若=30（m/min）,

从8码头返回A码头的速度为=25（m/min）,

160—100

故选：D.

【点睛】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11.船闸是我国劳动人民智慈的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000

千克，用科学记数法表示为千克.

【答案】8.67xlO5

【解析】

【分析】把一个数写成axlO”的形式（1＜向＜10,〃是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法.根

据科学记数法的定义写出答案.

【详解】科学记数法就是把一个数写成.xlO"的形式（14时〈10,〃是整数），

.-.867000=8.67x10s,

故答案为：8.67xlO5.

【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的记数方法是解题的关键.

2

12.在函数），=—^中，自变量x的取值范围是_______.

x-8

【答窠】XW8

【解析】

【分析】根据分母不能为0求出自变量X的取值范围.

【详解】,•分式中分母不能为0，

x—800>

.,.4工8,

故答案为：x工8.

【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

13.已知反比例函数丁=好的图像经过点(。,7),则。的值为.

X

【答案】2

【解析】

【分析】将点的坐标代入函数解析式即可.

【详解】解：将(。,7)代入y=匕得：

7=—,

a

解得：。=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键.

14.计算相—7，｝的结果是.

【答案】277

【解析】

【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解.

【详解】解：/一7、1=3j7—7x且=2万，

N77

故答案为：25.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

15.把多项式/nf-166分解因式的结果是.

【答窠】w(x+4)(x-4)

【解析】

【分析】先提取公因式5,然后发现还能利用平方差公式继续分解，即可得到结果.

【详解】解：-166=加卜2-i6)=/n(x+4)(x-4)

故答案为:m(x+4)(x-4).

【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键，注意要分解彻底.

16.抛物线y=—(x+2)2+6与y轴的交点坐标是.

【答案】(0,2)

【解析】

【分析】与)'轴的交点的特点为x=o,令x=o,求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标.

【详解】令抛物线〉=一(1+2『+6中x=0,

即y=—(0+2)2+6,

解得，=2,

故与)'轴的交点坐标为(0,2),

故答案为：(。,2).

【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令x=0,求出丁的值.

x+2>3(l-x)

17.不等式组〈「1，的解集是___________________.

|l-2x<2

【答案】

4

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可求解.

x+2>3(l-x)®

【详解】解:

l—2xW2②

解①得：x>—

4

解②得：x之—

2

故该不等式组的解集为：x>-

4

故答窠为：x>—

4

【点睛】本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键.注意计

算的准确性.

18.一个扇形的圆心角是150°,弧长是■|兀5,则扇形的半径是cm.

【答案】3

【解析】

【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解.

【详解】解：设扇形的半径是R,则受空=9兀

1802

解得：R=3.

故答案为3.

【点睛】题主要考查了扇形的弧长，TF确理解公式是解题的关键.

19.矩形A3CO的对角线AC,B力相交于点。，点?在矩形A3CO边上，连接。尸.若

ZADB=38°,ZBOF=30°,则ZAOF=.

【答案】46。或106。

【解析】

【分析】根据题意画出图形，分点户在48上和BC上两种情况讨论即可求解.

【详解】解：•・•四边形ABC。是矩形，

:.OA-OD，

：.ZADO=ZOAD.

•・,ZADB=3S0,

ZADO=ZOAD=3S0

・•・ZAOB=ZADO+ZOAD=76°,

如图所示，当尸点在A8上时，

•・・N5OF=30。，

・•・ZAOF=ZAOB-ABOF=76O-30c=46°

如图所示，当点F在8c上时,

■:ZBOF=30°,

・•・ZAOF=ZAOB+NBOF=760+30°=106°,

故答案为：46。或106。.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键.

20.如图在正方形45CZ)中，点E在。。上，连接AE,BE,尸为8E的中点连接CT.若

【答案】扃

【解析】

【分析】根据正方形的性质得到4O=CZ)=8C,NO=N8AT)=NNC£>=90。，设AO=CD=NC=5〃,

根据勾股定理求出［的值，再根据勾股定理即可求出A七的长.

【详解】解：正方形ABC。

..AD=CD=BC,/D=/BAD=/BCD=90。

.F为BE的中点，CF=^~

2

BE=2CF=2、运=>/29

2

设4D=CD=3C=5a

DE_3

~EC~2

DE=3a，CE=2a

在RtZkgEC中，

BE2=BC2+CE2

即（屈）2=（5〃）2+（2°）2

解得a=l

故AD=CD=BC=5，DE=3

•••在RtAAED中

AE2=AD2+DE2=52+32=34

解得=（负值舍去）

故答案为：＞/34.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理

是解题的关键.

三、解答题（共60分）

x1品的面

21.先化简，再求代数式其中x=2cos450—l.

x2+2x+l2x+2

2

【答案】-72

X+1

【解析】

【分析】先根据分式混合运算法则代简，再将x=2cos45o-l=2x立=代入代简式计算即可.

2

X11I

【详解】解:2x+2J4x+4

、+2x+1

_x________1___x-\

（X+1）2-2（X+1）J"4x+4

2xx+1x-l

2（x+l）22（X+1）2J,4x+4

x-l4（x+l）

2（x+l）2x-}

2

x+1

当x=2cos450-l=2x^-l=&-H、j,

2

原式=正4石=2=&.

【点睛】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练基握分式混合运算法则是解题

的关键.

22.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段A3和线段CO的端点均在小正方形的顶

点上.

（1）在方格纸中画出「ABE,且=NABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）;

（2）在方格纸中将线段CO向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对

应点是点M,点。的对应点是点N）,连接EN,请直接写出线段EV的长.

【答案】（1）画图见解析

（2）画图见解析，EN=42

【解析】

【分析】（1）找到1x3的格点的E，使得比=46,且NABE〉%。，连接AE,8E,则二A6E即为所

求；

（2）根据平移画出MN,连接EN,勾股定理即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，-A5石即为所求：

【小问2详解】

E

解：如图所示，MN,EN即为所求;

EN=712+12=V2-

【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

23.军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编织课、

烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部

分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学

生人数占所调查人数的20%.

20

5

O

烹

编

园

泥

饪

织

艺

塑劳动实践课

课

课

课

课

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生?

（2）请通过计算补全条形统计图；

（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名.

【答案】⑴50

（2）见解析（3）480

【解析】

【分析】根据最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20%,用£即可求解;

20%

（2）根据总人数减去其他类型的人数，即可得出最喜欢编织课的学生人数进而补全统计图;

（3）根据最喜欢烹任课的学生的占比乘以1200,即可求解.

【小问1详解】

解：最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20%,

・♦・这次调查中，一共抽取了兽=50名学生

20%

【小问2详解】

解：最喜欢编织课的学生人数为50-15-10-20=5人,

补全统计图如图所示，

八人数

20

20-

1515

10

10-

【小问3详解】

5

编

烹

织

饪劳动实践课

课

课

解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有1200、石=480名

【点睛】本题考查了条形统计图，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键.

24.已知四边形A8CO是平行四边形，点E在对角线上，点尸在边上，连接AE，EF，

DE=BF,BE=BC.

(1)如图①，求证△AED也△EF8；

(2)如图②，若A8=AO,AEwED,过点C作CH〃4E交的于点〃，在不添加任何轴助线的情况

下，请直接写出图②中四个角(N8AE除外)，使写出的每个角都与NB4E相等.

【答案】(1)见解析；

(2)NBEA=NEFC=NDCH=NDHC=/BAE,理由见解析.

【解析】

【分析】⑴由平行四边形的性质得AO=3C=8E,BC//AD,进而有")E=NEM，从而利用S4S

即可证明结论成立；

(2)先证四边形ABC。是菱形，得AB=8C=应：=CD=A£>,又证GABEgaCO/^AAS),得

NBAE=NDCH=NBEA=NDHC,由(1)得二AED丝△4B(SAS)得ZA£D=ZEfB,根据等

角的补角相等即可证明.

【小问1详解】

证明：•・•四边形A8CO是平行四边形，BE=BC

：・AD=BC=BE,BC//AD,

••ZADE=AEBF，

•・•DE=BF,ZADE=AEBF,AD=BE

・•・，.AED00以布(SAS)；

【小问2详解】

解：NBEA=NEFC=NDCH=NDHC=NBAE，理由如下：

VAB=AD四边形ABC。是平行四边形，

，四边形48co是菱形，BC//AD,ABCD

AAB=BC=BE=CD=AD,ZADE=/EBF，NABE=NCDH,

：•ZBEA:NBAE，

-CH//AE,

:.NBEA—NDHC,

・•・^ABE^ACDH（AAS）,

/.NBAE=NDCH=NBEA=/DHC，

由（l）得一AE£>g^EFB（SAS）,

・•・ZAED=NEFB,

•・,ZAED+^BEA=NEFB+NEFC=180°,

：・NBEA=NEFC=NDCH=NDHC=NBAE.

【点睛】本题考查了平行四边形性质、菱形的判定及性质、等边对等角、

图②

全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等.熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

25.佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A,B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相

同，每套3款服装所用布料的米数相同，若1套A款服装和2套B款服装需用布料,5米，3套A款服装和1

套8款服装需用布料7米.

（1）求每套A款服装和每套8款服装需用布料各多少米；

（2）该中学需要A，A两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套8

款服装？

【答案】（1）每套A款服装用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米

（2）服装厂需要生产60套B款服装

【解析】

【分析】（1）每套A款服装用布料。米，每套8款服装需用布料b米，根据题意列出二元一次方程组，解方

程组即可求解；

（2）设服装厂需要生产工套B款服装，则生产（100-力套A款服装，根据题意列出一元一次不等式，解

不等式即可求解.

【小问1详解】

解：每套A款服装用布料。米，每套5款服装需用布料〃米，根据题意得，

a+2b=5

13。+人=7'

。=1.8

解得：i,一，

8=1.6

答：每套A款服装用布料1.8米，每套8款服装需用布料1.6米；

【小问2详解】

设服装厂需要生产x套5款服装，则生产（100-力套A款服装，根据题意得，

1.8（100-x）+1.6x<168,

解得：x>60,

・・・x为正整数，

••.X的最小值为60,

答：服装厂需要生产60套5款服装.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是

解题的关键.

26.已知-ABC内接于C。，为。。的直径,N为AC的中点，连接QV交AC于点

DD

a®

M

图①图②图③

（1）如图①，求证3。=20”；

（2）如图②，点。在。。上，连接03，DO,DC，DC交OH于点E,若DB=DC,求证

OD//AC,

（3）如图③，在（2）的条件下，点尸在BD上,过点尸作/GLOO,交D。于点G.DG=CH,过

点F作FR上DE，垂足为R，连接E尸，£4，EF：DF=3:2,点7在5c的延长线上，连接AT，过

点/作7M_LOC,交0c的延长线于点M,若FR=CM,AT=46，求A8的长.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）2小

【解析】

【分析】（1）连接0C,根据N为AC的中点，易证A"="C，再根据中位线定理得出结论；

（2）连接0C,光证7DOBmDOC得/BDO=NCDO,再根据08=。£>得NO3O=N3DO,根

据N4C£>=NA5D即可得出结论；

（3）连接4。，先证VZX出WDOC,再证四边形ADFE是矩形，过A作AS_LOE垂足为S,先证

出FR=AS,再能够证出VC4S@77TM从而C7=AC,得到等腰直角©ACT,利用三角函数求出

AC,再根据NEDF=NB4C求出8C,最后用勾股定理求出答案即可.

【小问1详解】

证明：如图，连接OC,

图①

QN为AC的中点，

\次N二^N，

ZAON=ZCON,

•t-OA=OC,

AH=HC,

、：OA=OB,

.•.07;是的中位线,

\BC=2OH；

【小问2详解】

证明：如图，连接OC,

D

图②

设NBDC=2a,

•:BD=DC,DO=DO,OB=OC,

\YDOBmDOC,

\?BDO?CDO-?BDCa,

2

・：OB=OD,

\?DBO?BDOa,

Q2ACD?ABDa,

\1CDO?ACD,

\DO//ACx

【小问3详解】

解：连接AZ），

D

图③

QFGAOD,

ZZX7F=9O°,

・：NCHE=90。,

\?DGF?CHE,

Q?FDG?ECH,DG=CH,

\NDGF尔CHE,

DF=CE,

・・・AH=CH,

\OHAC.

\CE=AE=DF,

Q?E4C?EC4a,

?AED?EAC?ECA2a,

:.ZBDC=ZAED,

:.DF//AE^

•••四边形4。正是平行四边形,

AB是。。的直径，

:.ZADB=90°,

・二四边形AO匹E是矩形，

.•.Z£TO=90°,

PPQ

\tan?EDF—

FD2

过点4作45_LOE垂足为S,

\sin?AES—,

AE

QFR八DC，

FR

\sin?FDR—,

FD

、：FD〃AE，

\?FDR?AES,

\sin?FDRsin?AES,

\FR=AS,

AB是10的直径，

ZACB=90°,

\?BCE1ACS90?,

vZA5C=90°,

\?CAS1ACS90?,

\?BCE?CAS,

Q?BCE?TCM,

\?CAS?TCM，

QTM八DC,

\?7MC90?，

\?7MC?ASC,

QFR=CM,

\AS=CM,

WCAS^VTCM,

\CT=AC,

Q?ACT180?90?90?,

\?CAT?CTA45?,

\AC=AT^nCm=4五株in45=4，

\-ZEDF=ZBAC,

3

\tan?EDFtan?BAC—,

2

、BC3

AC2

BC=6，

\AB=NAC、BC2=2而.

【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、垂径定理、三角函数、勾股

定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键.

27.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线丁二以2+&+66与x轴交于点A(-6,O),8(8,0),

与y粕交于点c.

VV

（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE,CE,设点E的横坐标为乙△OCE1的面

积为S,求S关于，的函数解析式（不要求写出自变量，的取值范围）；

（3）如图②，在（2）条件下，当S=6JJ时，连接班:交轴于点R,点厂在V轴负半轴上，连接

BF，点、D在BF上，连接EO，点L在线段用上（点L不与点b重合），过点L作8R的垂线与过点3

且平行于。的直线交于点G,”为LG的延长线上一点，连接3M，EG,使NGBM=g/BEG,p

是x轴上一点，且在点8的右侧，NPBM-NGBM=NFRB+?NDEG,过点M作肠7186,交

BG的延长线于点N,点V在3G上，连接MIZ,使8L—若/EBF=/VMN,求直线

BF的解析式.

【答案】（1）a=-2,b=2

84

⑵S=—3&

⑶尸泣尸瘦

55

【解析】

36。-66+6\/3=0

【分析】⑴把点A（-6,0）,8（8,0）代入抛物线解析式y=加+法+6相，得方程组＜

64。+昉+6石=0,

求出b的值即可;

（2）过点E作EW_Ly轴，垂足为W,由（1）知，抛物线的解析式是y=一立/+立工+66,得

,84

0C=6百，根据“E是第二象限抛物线上的一个动点，点上的横坐标为，"，得EW=T,根据

S=^-OCEW,代入整理即可得到S关于，的函数解析式；

2

（3）以BM为一边作NMBT=NMBN,的另一边87交LM的延长线于点T;作MK工BT，垂

足为K：作"_L3E,垂足为S：作轴,垂足为。；根据S=6百和S=-36f，求出耳一2,56）,

根据“ED〃BG,/GBM='/BEG,NPBM-NGBM=NFRB+工NDEG,

22

NR5O+NERT+N7BP=180。”推理出NE"=60。，ZT=30°,得至结合

2

BL-NV=坊丫,推理出NV=AT,用AAS证■由,用HL证推

理出NEM=60°,根据“8（8,0）,用一2,56）”，得出。3=8,EQ=5>/3,Q8=10,代入

lan/E5Q=qg=笠，求出OR,勾股定理算出成，根据“tanNFRB=a=变=:==辿,

BQOBRSOR463

tanZFBS=tan60°=>/3=—"，设尸S=2扇，则RS=3，〃，BS=2m,代入RS+BS=BR,算出

BS

阳，运用勾股定理计算区尸s2+S：2,计算OF=RF—OR,结合点尸在》轴负半轴上，得

竽］代入求出完整解析式即可.

,设直线所的解析式为尸丘+。，把B（8,0）,F0-

小问1详解】

・•・点4(-6,0),3(8,0)在抛物线y=加+辰+63上,

36a—6b+65/3=0

―644+8b+6G=0'

y/3

a=----

解得：J，

.B,b=2

84

【小问2详解】

由（1）知，抛物线的解析式是y=一也/+且x+66,

,84

C是抛物线与)'轴交点，

..x=0时，y=60,

.•.C(0,6@,

0C=65

如下图，过点E作轴，垂足为W,

.£1是第二象限抛物线上一点，点E的横坐标为3

:.EW=-t,

:.S=^OCEW=^x6^3\-t)=-3>/3t

【小问3详解】

如下图，以BM为一边作"BT=/MBN,NMBT的另一边交LM的延长线于点T；作

MKLBT，垂足为K；作人S_L8E,垂足为S；作EQ_Lx轴，垂足为。，

♦.・S=6G，由（2）知S=-3®，

:.-3同=65

「./=—2,

.\y=--x(-2)2+—x(-2)+66=56,

84

£(-2,573),

-ED//BG,

.•./DEB=NEBG,

.NGBM=-NBEG，即NGEB=2/GBM,

2

:"GEB=/GBT,

/./DEB+NGEB=ZEBG+/GBT,

:.ZDEG=ZEBT,

NPBM-NGBM=/FRB+-/DEG，NPBM-NGBM=NPBM-NMBT=N7BP,

2

408=90。，

:.ZFRB=900-ZRBO,

NTBP=90°-NRBO+^NEBT,

2

又•・•NRBO+ZEBT+Z.TBP=180。，

:./EBT=3,

•：LG1EB,

.•.NGLB=90。,

「.NT=30。，

..BL=-BT,

2

・・•MKtBT，MN，BG,

ZMKT=ZMNB=ZMKB=90°,

在JWNB和二A/K3中，

NMNB=NMKB

</MBN=NMBK,

MB=MB

.•一MNB^MKB(AAS),

:.NB=BK,MN=MK,

BL-NV=-BV,

2

:.2BL-2NV=BV,

.・.BT-NV=BV+NV=BN=BK,

:.BT-BK=NV=KT,

RhWVgRt_KMT（HL）,

.\ZT=ZNVM=30°,

=60°,

Y/EBF=A/MN,

,-.Z£BF=60°,

•:FS1BE,EQ_Lx轴，

ZEQB=