苏教版（2019）选择性必修第一册《3.3 抛物线》同步练习卷

苏教版（2019）选择性必修第一册《3.3抛物线》2023年同步练习卷一、选择题1．若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若|MN|＝10，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．8 B．6 C．4 D．23．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为抛物线的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若，则直线PF的方程为（）A．x﹣y﹣2＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x±y﹣2＝0 D．不确定4．如图，圆F：（x﹣1）2+y2＝1和抛物线y2＝4x，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求|AB|•|CD|的值是（）A．3 B．2 C．1 D．无法确定5．已知：M＝{（x，y）|y≥x2}，N{（x，y）|x2+（y﹣a）2≤1}，则使M∩N＝N成立的充要条件是（）A．a≥ B． C．a≥1 D．0＜a＜1二、多选题（多选）6．已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，点P为直线x＝﹣2上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则（）A．抛物线的焦点坐标为（0，1） B．抛物线的准线方程为x＝﹣1 C．直线AB一定过抛物线的焦点 D．OP⊥AB（多选）7．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（）A． B．若，则 C． D．四边形ACBD面积的最小值为16p2三、填空题8．已知倾斜角是60°的直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则弦长|AB|＝．9．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b）．原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C、F两点，且抛物线的焦点在直线y＝3x﹣6上，则b的值为．10．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为m．11．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是抛物线在x轴上方一点，以P为圆心，|PF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2，则圆P的方程为．四、解答题12．已知抛物线y2＝6x的弦AB过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），求弦AB的长．13．已知过点A（4，4）的抛物线y2＝2px的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为B，点A关于x轴的对称点为A′．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求直线A′B与x轴交点的坐标．14．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，AB∥CD，AD的延长线与抛物线E的准线的交点．（1）求抛物线E的方程；（2）证明：BD经过抛物线E的焦点．15．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于（1）求该抛物线的方程；（2）在抛物线C上求一点D，使得点D直线y＝x+3的距离最短．16．圆x2+y2＝4上一点（x0，y0）处的切线交抛物线y2＝8x于A，B两点，且满足∠AOB＝90°，其中O为坐标原点，求x0．

苏教版（2019）选择性必修第一册《3.3抛物线》2023年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0＝x0+，得出x0求得p，可得答案．【解答】解：由题意，3x0＝x0+，∴x0＝，∴＝32，∵p＞0，∴p＝8，故选：D．2．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2＝4x，∴p＝2，设经过点F的直线与抛物线相交于M，N两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，MN中点横坐标为x0＝（x1+x2）＝（|MN|﹣p）＝4，则AB中点到y轴的距离是：4．故选：C．3．【分析】利用抛物线的定义，结合，P的纵坐标为正数求出直线的斜率，即可求出直线PF的方程．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），设Q到准线l的距离为d，则|QF|＝d∵，∴||＝d，∵P的纵坐标为正数，∴直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为﹣1，∴直线的方程为x+y﹣2＝0．故选：B．4．【分析】可分两类讨论，若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标，从而|AB||CD|＝1．若直线的斜率存在，设为直线方程为y＝k（x﹣1），不妨设A（x1，y1），D（x2，y2），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|＝x1+1，|DF|＝x2+1，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，利用韦达定理及|AB|＝|AF|﹣|BF|＝x1，|CD|＝|DF|﹣|CF|＝x2，可求|AB||CD|的值．【解答】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，﹣1）（1，﹣2），所以|AB|＝1，|CD|＝1，从而|AB||CD|＝1．若直线的斜率存在，设为k，因为直线过抛物线的焦点（1，0），则直线方程为y＝k（x﹣1），不妨设A（x1，y1），D（x2，y2），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|＝x1+1，|DF|＝x2+1，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，由韦达定理有x1x2＝1而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|＝|CF|＝R＝1从而有|AB|＝|AF|﹣|BF|＝x1，|CD|＝|DF|﹣|CF|＝x2．所以|AB||CD|＝x1x2＝1故选：C．5．【分析】由题意确定E，F所表示的图形，及其几何意义：是a为何值时，动圆进入区域E，并被E所覆盖．然后根据已知条件解答即可．【解答】解：∵E为抛物线y＝x2的内部（包括周界），F为动圆x2+（y﹣a）2＝1的内部（包括周界）．该题的几何意义是a为何值时，动圆进入区域E，并被E所覆盖．∵a是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是a≥c（c∈R+），故可排除（B），（D），而当a＝1时，E∩F≠F，（可验证点（0，1）到抛物线上点的最小距离为）．故选：A．二、多选题6．【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可．【解答】解：由题意可得F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，A错误，B正确；设P（﹣2，m），显然直线PA存在斜率且不为零，设为k1，方程为y﹣m＝k1（x+2），与抛物线方程联立，得k1y2﹣4y+8k1+4m＝0，因为PA是该抛物线的切线，所以Δ＝（﹣4）2﹣4k1（8k1+4m）＝0，∴2+k1m﹣1＝0，且A的纵坐标为：﹣＝，代入抛物线方程中可得A的横坐标为：，设直线PB存在斜率且不为零，设为k2，同理可得：2+k2m﹣1＝0，且B的纵坐标为：﹣＝，横坐标为，k1、k2是方程2k2+km﹣1＝0的两个不等实根，所以k1+k2＝﹣，k1•k2＝﹣，因为kAB•kOP＝•＝•＝•＝﹣1，所以OP⊥AB，因此选项D正确：由上可知：AB的斜率为，直线AB的方程为：y﹣＝（x﹣），∴y﹣2mk1＝2x﹣2，由于2+k1m﹣1＝0，∴k1m＝1﹣2，所以有（k1﹣2）y﹣2（1﹣2）＝2x﹣2，∴（1﹣2）y＝2k1（x﹣2），所以直线AB一定过（2，0），显然该点不是抛物线的焦点，因此选项C不正确，故选：BD．7．【分析】由题意设直线AB的斜率，可得CD的斜率，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得弦长|AB|的值，同理可得|CD|的值，进而可得+的值为定值，判断出A正确，由抛物线的性质可得AF•BF的表达式，将两根之和及两根之积代入，可得k的值为，判断出B不正确；求出的数量积与斜率无关，可得的数量积与之相等，判断出C正确；求出四边形ABCD的面积，由均值不等式可得面积的最小值，判断出D不正确．【解答】解：由题意显然直线AB，CD的斜率存在且不为0设直线AB的斜率为k，因为AB⊥CD，所以直线CD的斜率为﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的方程可得焦点F（，0），则直线AB的方程为y＝k（x﹣），k＞0，联立，整理可得：k2x2﹣p（k2+2）+k2p2＝0，则x1+x2＝p•，x1x2＝p2，所以弦长|AB|＝x1+x2+p＝p•+p＝；同理可得：|CD|＝2p（1+k2），则有+＝，故A正确；B中，若，则（x1+）（x2+）＝x1x2+（x1+x2）+＝p2，所以+•+＝，解得k＝，所以B不正确；C中，＝x1x2+y1y2＝x1x2﹣2p＝﹣2p•＝﹣p2，与斜率k无关，同理可得＝﹣p2，故＝，所以C正确；S四边形ABCD＝|AB|•|CD|＝••2p（1+k2）＝2p2（k2++2）≥2p2（2+2）＝8p2，当且仅当k2＝，即k＝±1时取等号，所以D不正确；故选：AC．三、填空题8．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用抛物线的性质，求出|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，再结合韦达定理求出即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义可知|AF|＝dA＝x1+1，|BF|＝dB＝x2+1，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，由已知得抛物线的焦点为F（1，0），斜率k＝tan60°＝，所以直线AB方程为y＝（x﹣1），将y＝（x﹣1）代入方程y2＝4x，化简得3x2﹣10x+3＝0．由求根公式得x1+x2＝，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝+2＝，故答案为：．9．【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再根据抛物线的抛物线的焦点在直线y＝3x﹣6上值求出p的值，问题得以解决．【解答】解：由题可得C（，﹣a），F（+b，b），则，解得，由抛物线的焦点在直线y＝3x﹣6上，∵焦点坐标为（，0），∴0＝﹣6，解得p＝4，∴a＝4，∴b＝＝4（+1）故答案为：4（+1）10．【分析】先设出抛物线的标准方程y2＝2px（p＞0），将点（1，2.4）代入抛物线方程求得p，进而求得抛物线的焦点到顶点的距离．【解答】解：设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），点（1，2.4）在抛物线y2＝2px上，∴2.42＝2p×1．∴p＝2.88，∴＝1.44．∴该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44m．故答案为：1.44．11．【分析】推导出F（1，0），准线x＝﹣1，设圆P与y轴交于M，N，且MN＝2，圆P与准线x＝﹣1相切于点A，连结AP，交MN于O，则AP＝MP＝r（r是圆P的半径），OA＝1，OM＝，由MP2＝OP2+OM2，求出r＝3，P（2，2），由上能求出圆P的方程．【解答】解：∵F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是抛物线在x轴上方一点，∴F（1，0），准线x＝﹣1，P是抛物线在x轴上方一点，以P为圆心，|PF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2，则圆P与y轴交于M，N，且MN＝2，圆P与准线x＝﹣1相切于点A，连结AP，交MN于O，则AP＝MP＝r（r是圆P的半径），OA＝1，OM＝，∵MP2＝OP2+OM2，∴r2＝（r﹣1）2+5，解得r＝3，∴P（2，2），∴圆P的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9．四、解答题12．【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立化为一元二次方程，利用根与系数的关系结合OA⊥OB，得到x1x2+y1y2＝0从而求得k值，确定直线方程，求弦长．【解答】解：直线AB的斜率一定存在，设为k（k≠0）则AB方程为y﹣2＝k（x﹣4），y﹣2＝k（x﹣4）与y2＝6x联立消去x整理得ky2﹣6y+12﹣24k＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）∴y1y2＝，∵OA⊥OB∴＝0，即x1x2+y1y2＝0∴y1y2+（）÷36＝0∵y1y2≠0∴y1y2＝﹣36∴＝﹣36，解得k＝﹣1，∴AB所在直线的方程为y﹣2＝﹣（x﹣4），即x+y﹣6＝0，所以弦AB的长＝＝6．13．【分析】（Ⅰ）由A的坐标满足抛物线的方程，解得p；（Ⅱ）联立抛物线的方程和直线AF的方程，求得B的坐标，再求得A关于x轴的对称点A'，可得直线A'B的方程，令y＝0，可得所求交点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）把A（4，4）代入抛物线方程y2＝2px，可得16＝8p，解得p＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为y2＝4x，且焦点F（1，0），∴直线AF的方程为，即4x﹣3y﹣4＝0，与y2＝4x联立，消去x得y2﹣3y﹣4＝0，解得y＝4或﹣1，∴B点的纵坐标为﹣1，代入y2＝4x，得，∴B（，﹣1），而A（4，4）关于x轴的对称点A'（4，﹣4），∴A'B的方程为，当y＝0时，x＝﹣1，所以直线A'B与x轴交点的坐标为（﹣1，0）．14．【分析】（1）由已知可得M为抛物线E的准线与对称轴的交点，从而求得p，则抛物线方程可求；（2）分别设出A，B，D的坐标，再设出AD的方程，由抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得A，D横坐标的乘积，设BD的方程，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得BD与x轴的交点的横坐标，则结论得证．【解答】（1）解：