苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2 双曲线》同步练习卷

苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2双曲线》2023年同步练习卷一、选择题1．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．962．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．43．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以F1F2为直径的圆的位置关系是（）A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不确定4．已知点P是双曲线﹣＝1右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝x D．y＝±2x5．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P，若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1P＞F2P，线段F1P的垂直平分线过F2.若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A． B．3 C．6 D．7．双曲线的左、右焦点为F1、F2，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|的值为（）A．3 B．4 C．5 D．不确定，随P点位置变化而变化8．如图所示，F1和F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．+19．已知常数k1，k2满足0＜k1＜k2，k1k2＝1．设C1和C2分别是以y＝±k1（x﹣1）+1和y＝±k2（x﹣1）+1为渐近线且通过原点的双曲线，则C1和C2的离心率之比＝（）A． B． C．1 D．二、多选题（多选）10．已知F1，F2分别是双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且•＝0，则下列结论正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1 C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1（多选）11．P为双曲线﹣y2＝1上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下列为定值的是（）A．tanαtanβ B．tantan C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β）三、填空题12．设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（﹣m，0）满足|PA|＝|AB|，则该双曲线的渐近线方程为．13．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．14．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD，并延长分别交y轴于点M，N．若点P（﹣3a，0）在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为．四、解答题15．已知双曲线的实轴长为2，点在此双曲线上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N在圆x2+y2＝5上，求实数m的值．16．已知直线y＝ax+1与双曲线3x2﹣y2＝1交于A、B两点，（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由．17．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求实数m的值．

苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2双曲线》2023年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得||PF1|，作PF1边上的高AF2，则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：∵双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF2|＝|F1F2|，∴|PF1|＝2a+|PF2|＝6+10＝16，作PF1边上的高AF2，则AF1＝8，∴，∴△PF1F2的面积为，故选：C．2．【分析】判断P所在位置，然后利用双曲线的定义转化求解即可．【解答】解：因为|PF1|＝10＜a+c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故选：C．3．【分析】设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，根据题意可得c2＝a1a2，设|PF।|＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，根据椭圆与双曲线的定义将x，y分别用a1，a2表示，设P（m，n），m＞0，n＞0，再根据两点的距离公式将P点的坐标用a1，a2，c表示，从而可判断出点与圆的位置关系．【解答】解：设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则，所以c2＝a1a2，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，则有，所以，设P（m，n），m＞0，n＞0，F1（﹣c，0），F2（c，0），所以①，②①﹣②得，，所以，所以m＝c，将m＝c代入②得，所以n＝|a1﹣a2|，P（c，|a1﹣a2|），则点P到圆心O的距离为，所以点P在以F1F2为直径的圆外，故选：A．4．【分析】画出图形，利用已知条件，求出渐近线方程，利用中垂线的性质结合双曲线的定义转化求解即可．【解答】解：因双曲线线的渐近线为，双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，交点为M，如图所示，对于|OF1|＝c，直线PF1：，由原点O（0，0）到直线PF1：ax﹣by+ac＝0的距离得，因此|OM|＝a，|F1M|＝b，则根据几何图形的性质可得|F1P|＝2b，|F2P|＝2a，根据双曲线的定义得|F1P|﹣|F2P|＝2a＝2b﹣2a，因此可得b＝2a，则双曲线的线近线为y＝±2x．故选：D．5．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用坐标向量法表示可得x2＝，y2＝，代入双曲线可得x1＝≥，解得即可．【解答】解：根据条件可得F（﹣2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则＝（x2+2，y2），＝（x1﹣x2，y1﹣y2），因为|FQ|＝t|QP|，则（x2+2，y2）＝t（x1﹣x2，y1﹣y2），所以x2＝，y2＝，又因为P、Q都在双曲线上，所以，整理可得x1＝，易知x1≥，所以≥，又t＞0，所以0＜t≤，即实数t的取值范围是（0，），故选：A．6．【分析】根据椭圆与双曲线的定义可得|F1P|+2c＝2a1，|F1P|﹣2c＝2a2，两式相减可得a1﹣a2＝2c，可化简为，由基本不等式可求得最值．【解答】解：设椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，不妨设点P在第一象限，如图，由题意可知|F1F2|＝|F2P|＝2c，又因为|F1P|+|F2P|＝2a1，|F1P|﹣|F2P|＝2a2，所以|F1P|+2c＝2a1，①，|F1P|﹣2c＝2a2，②，两式相减得a1﹣a2＝2c，所以+＝，又因为，当且仅当，即c＝2a2时等号成立，所以的最小值为6，故选：C．7．【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ是MF1的中垂线，再利用双曲线的定义和中位线定理，数形结合即可得结果．【解答】解：过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，交PF2的延长线于M，由三角形PF1M为等腰三角形，可得Q为F1M的中点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝|F2M|＝2a＝6，由三角形的中位线定理可得|OQ|＝|F2M|＝a＝3，故选：A．8．【分析】连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B＝60°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c﹣c＝2a，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：连接AF1，则∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，∴c﹣c＝2a，∴e＝＝+1，故选：D．9．【分析】由题意可得曲线C1和C2的中心（1，1），且C1为实轴在直线x＝1上的双曲线，C2为实轴在直线y＝1上的双曲线，可用k1，k2表示离心率，进而求出离心率之比．【解答】解：由题意知双曲线C1和C2的中心为（1，1），由双曲线过原点可知C1为实轴在直线x＝1上的双曲线，所以＝，＝＝1+＝1+，C2为实轴在直线y＝1上的双曲线，所以＝，＝1+，又因为k1k2＝1，所以＝＝＝1，故选：C．二、多选题10．【分析】给出双曲线方程，可以得出abc的值，左右焦点的坐标，渐近线方程，由•＝0，得P的横纵坐标的关系，再由P在双曲线上，可求出P的坐标．进而得命题的真假．【解答】解：A中双曲线x2﹣y2＝1，可得焦点在x轴上，a2＝b2，a＞0，b＞0，a是实半轴长，b虚半轴长，所以渐近线方程为y＝±x即y＝±x，所以A正确；B中，x2﹣y2＝1，可得左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），所以以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为，所以圆的方程为x2+y2＝2，所以B不正确；C中，F1（﹣，0）到一条渐近线为x﹣y＝0的距离d＝＝1，所以C正确；D中，•＝0，设P坐标（x，y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），∴•＝（﹣﹣x）•（）+（﹣y）2＝0⇒x2+y2＝2①，又P在双曲线上，所以x2﹣y2＝1（y≠0）②，由①②得，|y|＝，∴S△PF1F2＝|F1F2|•|y|＝＝1，∴D正确；故选：ACD．11．【分析】可设P（m，n），代入双曲线的方程，求得直线PA，PB的斜率之积为定值，即可得到所求结论．【解答】解：可设P（m，n），可得﹣n2＝1，即m2﹣4＝4n2，则kPAkPB＝•＝＝＝，可得tanαtanβ＝﹣为定值，由S△PABtan（α+β）＝×4|n|•＝2|n|•（﹣）＝±•＝±，故选：AC．三、填空题12．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标，利用点P（﹣m，0）满足|PA|＝|PB|，可得＝﹣3，从而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，则与直线x﹣3y+m＝0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（﹣m，0）满足|PA|＝|AB|，∴＝﹣3，∴a＝b，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．故答案为：y＝±x．13．【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x＝c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．【解答】解：设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x＝c时代入双曲线﹣＝1得y＝±，则A（c，），B（c，﹣），则AB＝，将x＝c代入y＝±x得y＝±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|＝，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2＝c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2＝≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．14．【分析】求得M，N点的坐标，根据P在以MN为直径的圆上列方程，化简求得双曲线C的离心率．【解答】解：由得，不妨设，而D（a，0），所以直线AD的方程为，令x＝0得，则，同理可求得，所以以MN为直径的圆的方程为，将P（﹣3a，0）代入上式得：，即c2+2ac﹣8a2＝0，（c﹣2a）（c+4a）＝0，则．故答案为：2．四、解答题15．【分析】（Ⅰ）根据双曲线的性质，求出a，b即可求双曲线C的方程；（Ⅱ）根据直线与双曲线的位置关系，求出中点坐标，结合中点坐标在圆上的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意知：2a＝2，∴a＝1，又点在双曲线上，∴，∴双曲线方程为：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0）由消y有x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，∴Δ＝（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，∴，∵N为AB中点，∴，∵N在圆x2+y2＝5上即m2+（2m）2＝5，∴m＝±1，经检验，符合题意．所以，实数m的值为±1．16．【分析】（1）联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，代入直线y＝ax+1可求y1y2＝（ax1+1）（ax2+1），由题意可得，，即x1x2+y1y2＝0，代入可求a的值．（2）假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线