苏教版（2019）选择性必修第一册《4.1 数列》同步练习卷

苏教版（2019）选择性必修第一册《4.1数列》2023年同步练习卷一、选择题1．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，…，则该数列的第23项等于（）A．sin21 B．ln20 C．sin24 D．ln232．在数列{an}中，a1＝2，a2＝4，且an+1+2an+an﹣1＝0（n≥2），则a4＝（）A．22 B．﹣22 C．16 D．﹣163．已知数列{cn}的通项是cn＝，则数列{cn}中的正整数项有（）项．A．1 B．2 C．3 D．44．已知数列{an}中，且{an}单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，3]5．已知数列{an}满足，（n∈N*），则a1•a2•a3…•a2019＝（）A．﹣3 B．﹣2 C． D．﹣6．已知数列{an}的通项公式为an＝（）n﹣1﹣（）n﹣1，则数列{an}（）A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项7．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+lg（1+），则an的值为（）A．2+lgn B．2+（n﹣1）lgn C．2+nlgn D．1+nlgn8．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an﹣1+2n（n≥2），则a7＝（）A．56 B．55 C．54 D．539．已知数列{an}满足a2＞0，且对于任意正整数p，q都有apaq＝2p+q成立，则a5的值为（）A．8 B．16 C．32 D．64二、多选题（多选）10．已知n∈N*，给出4个表达式，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）A． B． C． D．三、填空题11．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图），则第2013个三角形数是．12．数列{an}满足an＝an2+n，an+1＜an，写出一个符合条件的a的值是．13．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项，如表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011＝．四、解答题14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4．（1）30是不是数列{an}中的项？70呢？（2）数列中有多少项是负数？（3）当n为何值时an有最小值？并求出这个最小值．15．写出下列数列的一个通项公式：（1）0，3，8，15，24，…；（2）1，﹣3，5，﹣7，9，…；（3），2，3，4，……；（4）1，11，111，1111，……．16．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2﹣28n．（1）写出数列{an}的第4项和第6项；（2）﹣49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．17．已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1＝（a为常数）．（1）若对于任意的x1≠﹣1，都有xn+2＝xn（n∈N*）成立，求a的值．（2）当a＝1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由．

苏教版（2019）选择性必修第一册《4.1数列》2023年同步练习卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第23项是哪个数．【解答】解：由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节；由23÷3＝7…2；所以该数列的第23项为ln23．故选：D．2．【分析】由已知结合数列递推式分别求解a3，a4的值得答案．【解答】解：由an+1+2an+an﹣1＝0（n≥2），得an+1＝﹣2an﹣an﹣1，∵a1＝2，a2＝4，∴a3＝﹣2a2﹣a1＝﹣10，从而a4＝﹣2a3﹣a2＝﹣2×（﹣10）﹣4＝16．故选：C．3．【分析】利用递推思想求出前6项，然后利用{cn}是减数列进行验证，能求出数列{cn}中的正整数项的个数．【解答】解：∵数列{cn}的通项是cn＝，∴＝35，＝13，＝，＝，＝，＝5，∵{cn}是减数列，∴假设cn＝＝4成立，则4n+31＝8n﹣4，解得n＝不成立；假设cn＝＝3成立，则4n+31＝6n﹣3，解得n＝17成立，∴＝3．假设cn＝＝2成立，则4n+31＝4n﹣2，不成立；假设cn＝＝1成立，则4n+31＝2n﹣1，解得n＝﹣16不成立．∴数列{cn}中的正整数项有4项．故选：D．4．【分析】该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．【解答】解：∵数列{an}中，且{an}单调递增∴an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）＝2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3故选：B．5．【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和数列的周期的应用求出结果．【解答】解：数列{an}满足，（n∈N*），当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，，…，故数列的周期为4．所以：a1•a2•a3•a4＝1，由于2019＝504×4+3，所以：a1•a2•a3…a2019＝1×．故选：B．6．【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况．【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而＝，所以当n＝1，即t＝1时，an取最大值，使最接近的n的值为数列{an}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选：C．7．【分析】首先根据已知条件，利用递推关系整理出多个关系式，观察规律，整理出通项公式．【解答】解：已知：an+1＝an+lg（1+）∴an＝an﹣1+lg（1+）①…a2＝a1+lg（1+）（n）①+…+（n）得：an＝a1+lg（2•••…）因为：a1＝2所以：an＝2+lgn，故选：A．8．【分析】通过an＝an﹣1+2n（n≥2）可知an﹣an﹣1＝2n（n≥2），an﹣1﹣an﹣2＝2（n﹣1），…，a2﹣a1＝2•2，利用累加法计算即得结论．【解答】解：∵an＝an﹣1+2n（n≥2），∴an﹣an﹣1＝2n（n≥2），an﹣1﹣an﹣2＝2（n﹣1），…a2﹣a1＝2•2，累加得：an﹣a1＝2[2+3+…+n]＝2•＝n2+n﹣2，∴an＝a1+n2+n﹣2＝1+n2+n﹣2＝n2+n﹣1，∴a7＝72+7﹣1＝55，故选：B．9．【分析】由已知的递推关系式求得首项以及通项公式，进而求解结论．【解答】解：∵数列{an}满足a2＞0，且对于任意正整数p，q都有apaq＝2p+q成立，∴a1•a1＝22，a1•a2＝23，∴a1＝2＞0，∴a1•an＝21+n，∴an＝2n．∴数列{an}的通项公式an＝2n．∴a5＝32，故选：C．二、多选题10．【分析】分别验证每个通项公式是否满足条件即可得到结论．【解答】解：对于A：n为奇数时，an＝0；n为偶数时，an＝1，满足条件；对于B：n为奇数时，an＝0；n为偶数时，an＝1，满足条件；对于C：n为奇数时，an＝0；n为偶数时，an＝1，满足条件；对于D：n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝0，以此类推，不满足条件；故选：ABC．三、填空题11．【分析】通过观察前几个图形中顶点的个数得，每一个图形中的顶点的个数都可以看成是一个等差数列的前几项的和，再利用等差数列的求和公式即可解决问题．【解答】解：从斜的方向看，根据规律性知：第n个三角形数是1+2+3+…+n＝n（n+1），当n＝2013时，第2013个三角形数是×2013×2014＝2027091，故答案为：202709112．【分析】根据题意和an+1＜an，求得a＜，n∈N*，进而得到答案．【解答】解：由数列{an}满足an＝an2+n，因为an+1＜an，可得a（n+1）2+（n+1）＜an2+n，解得a＜，n∈N*，取n＝1，可得a，所以可取a＝﹣1．故答案为：﹣1（答案不唯一）．13．【分析】奇数项为1，﹣1，2，﹣2…，发现a2n﹣1+a2n+1＝0，偶数项为1，2，3…，所以a2n＝n．当2n﹣1＝2009时，n＝1005，故a2009+a2011＝0．当2n＝2010，a2010＝1005．【解答】解：奇数项，偶数项分开看，奇数项为1，﹣1，2，﹣2…，发现a2n﹣1+a2n+1＝0，偶数项为1，2，3…，所以a2n＝n当2n﹣1＝2009时，n＝1005，故a2009+a2011＝0．当2n＝2010，a2010＝1005．∴a2009+a2010+a2011＝1005．答案1005．四、解答题14．【分析】（1）根据题意，由数列的通项公式，令an＝30和70，判断方程有无正整数解，即可得答案；（2）根据题意，令an＝n2﹣5n+4＜0，解可得n的取值范围，分析可得答案；（3）根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，an＝n2﹣5n+4，若an＝n2﹣5n+4＝30，即n2﹣5n﹣26＝0，无正整数解，则30不是数列的项，若an＝n2﹣5n+4＝70，即n2﹣5n﹣66＝0，解可得n＝11或﹣6（舍），则70是数列的第11项，（2）根据题意，an＝n2﹣5n+4，若an＝n2﹣5n+4＜0，解可得1＜n＜4，又由n∈N+，则n＝2或3，则数列中有2项是负数；（3）根据题意，an＝n2﹣5n+4＝（n﹣）2﹣，故当n＝2或3时，an有最小值，其最小值为﹣2．15．【分析】根据数列的特征直接写出一个通项公式即可．【解答】解：（1）0，3，8，15，24，…，数列的一个通项公式为：an＝（n﹣1）（n+1）；（2）1，﹣3，5，﹣7，9，…；数列的一个通项公式为：an＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），（3），2，3，4，……即为，…，数列的一个通项公式为：an＝；（4）1，11，111，1111，……即为（10﹣1），（102﹣1），（103﹣1），…，数列的一个通项公式为：an＝（10n﹣1）．16．【分析】（1）由数列的通项公式，令n＝4和n＝6求解即可；（2）令3n2﹣28n＝﹣49，令3n2﹣28n＝﹣68，结合n∈N+求解即可．【解答】解：（1）已知数列{an}的通项公式为an＝3n2﹣28n，则a4＝﹣64，a6＝﹣60；（2）令3n2﹣28n＝﹣49，又n∈N+，则n＝7，即﹣49是该数列的第7项，令3n2﹣28n＝﹣68，则或，又n∈N+，则此方程无解，