高中数学 2.2.3 第2课时 圆与圆的位置关系基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学2.2.3第2课时圆与圆的位置关系基础巩固北师大版必修2一、选择题1．已知圆C1，C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为()A．6或14 B．10C．14 D．不确定[答案]A[解析]由题意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，∴r＝6或r＝14.2．设r>0，两圆C1：(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与C2：x2＋y2＝16不可能()A．相切 B．相交C．内切或内含或相交 D．外切或相离[答案]D[解析]圆C1的圆心为(1，－3)，圆C2的圆心为(0,0)，圆心距d＝eq\r(10)，于是d＝eq\r(10)<4＋r，但可能有d＝|4－r|或d<|4－r|，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含．3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]C[解析]圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11；圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝eq\r(3＋22＋－8－42)＝13，∴|r－R|<|O1O2|<R＋r，∴两圆相交，∴公切线有2条．4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0[答案]B[解析]由题意知所求圆与已知圆只能外切，∴选项中只有B项适合题意．5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36[答案]D[解析]设圆心坐标为(a，b)，由所求圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1相内切，可知所求圆的圆心必在x轴的上方，且b＝6，即圆心为(a,6)．由两圆内切，可得eq\r(a2＋6－32)＝6－1＝5.∴a＝±4.∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.故应选D.6．若两圆(x＋1)2＋y2＝4和(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是()A．0<a<2 B．－4<a<－2或0<a<2C．－4<a<－2 D．－2<a<0或2<a<4[答案]B[解析]两圆圆心C1(－1,0)和C2(a,0)，半径r1＝2，r2＝1，∵两圆相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a∴0<a<2或－4<a<－2.二、填空题7．若圆B：x2＋y2＋b＝0与圆C：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则b的取值范围是________．[答案]b<－100[解析]由已知圆B：x2＋y2＝－b，∴－b>0，b<0.又圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝25，∵圆B的圆心恰在圆C上，要想两圆无公共点，圆B的半径eq\r(－b)>10，∴b<－100.8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴相交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C与圆C′：(x－2)2＋(y－3)2＝25的公共弦长为________．[答案]eq\f(2\r(29),3)[解析]圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径为eq\r(0－22＋－4＋32)＝eq\r(5)，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5①又C′：(x－2)2＋(y－3)2＝25②①－②得公共弦所在直线方程为y＝－eq\f(5,3)，所以公共弦长为l＝2eq\r(5－－3＋\f(5,3)2)＝eq\f(2\r(29),3).三、解答题9．已知圆M：x2＋y2＝10和N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.(1)求两圆的公共弦所在的直线方程；(2)求过两圆交点且圆心在x＋2y－3＝0上的圆的方程．[解析](1)两圆方程相减得2x＋2y－4＝0，∴x＋y－2＝0即为两圆的公共弦所在的直线方程．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x2＋y2＝10，))得两圆交点为A(－1,3)，B(3，－1)．由两圆方程可得圆心连线为y＝x，由圆的性质，所求圆的圆心在y＝x上，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋2y－3＝0，))得x＝y＝1，故所求圆的圆心C(1,1)，半径r＝|AC|＝eq\r(－1－12＋3－12)＝2eq\r(2)，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.一、选择题1．点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则MN的最大值是()A．5 B．7C．9 D．11[答案]C[解析]C1为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，C2为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心分别为(－3,1)，(1，－2)，所以两圆圆心距为5.又两圆半径分别为2,2，所以两圆外离，所以MN的最大值是5＋2＋2＝9.2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b应满足的关系是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a[答案]B[解析]若要一圆始终平分另一个圆的周长，只需两圆的公共弦经过小圆的圆心即可．公共弦方程为：(x－a)2＋(y－b)2－b2－1－[(x＋1)2＋(y＋1)2－4]＝0，即：(2＋2a)x＋(2＋2b)y－1－a2＝0，小圆圆心为(－1，－1)，代入上式得a2＋2a＋2二、填空题3．半径为3，且与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0相外切的圆的圆心的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋2)2＝25[解析]圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故其圆心为(1，－2)，半径为2，因两圆外切，所以圆心距为3＋2＝5，因此动圆的圆心到点(1，－2)的距离等于5，其轨迹是以(1，－2)为圆心，半径等于5的圆，其方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝25.4．两圆相交于点A(1,3)、B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．[答案]3[解析]AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)，1))在直线x－y＋c＝0上．∴eq\f(m＋1,2)－1＋c＝0，∴m＋2c＝1.又∵kAB＝－1＝eq\f(3－－1,1－m)＝eq\f(4,1－m)，∴m＝5.∴c＝－2，∴m＋c＝3.三、解答题5．求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点的所有圆中，具有最小面积的圆的方程．[解析]解法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x2＋y2＋2x－4y－11＝0，))得两交点的坐标为A(－2,2＋eq\r(15))，B(－2,2－eq\r(15))．从而圆心C的坐标为(－2,2)．半径r＝eq\f(1,2)·|AB|＝eq\f(1,2)|2＋eq\r(15)－(2－eq\r(15))|＝eq\r(15).因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.解法二：直线x＝－2与圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点A，B的横坐标都为－2，从而圆心C的横坐标为－2，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，把直线方程代入圆方程，整理得y2－4y－11＝0.则y1＋y2＝4，y1y2＝－11.∴圆心的纵坐标为eq\f(y1＋y2,2)＝2.半径r＝eq\f(1,2)|y2－y1|＝eq\f(1,2)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(42－4×－11)＝eq\r(15).因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.解法三：∵直线x＋2＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0相交，故可设过交点的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－11＋λ(x＋2)＝0，即x2＋(λ＋2)x＋y2－4y＋2λ－11＝0.∴半径r＝eq\f(1,2)eq\r(λ＋22＋16－42λ－11)＝eq\f(1,2)eq\r(λ－22＋60).要使圆面积最小，只需半径r最小．当λ＝2时，r最小值为eq\r(15)，因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.6．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．[解析](1)将圆的方程整理，得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆系，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝20，,4x－2y－20＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a若两圆外切，则r1＋r2＝O1O2，即2＋eq\r(5a－22)＝eq\r(5a2)，解得a＝1＋eq\f(\r(5),5).若两圆内切，则|r1－r2|＝O1O2，即|eq\r(5a－22)－2|＝eq\r(5a2)，解得a＝1－eq\f(\r(5),5)，或a＝1＋eq\f(\r(5),5)(舍)．综上所述，a＝1±eq\f(\r(5),5).7．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．[解析](1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.又∵动圆过点(－5,0)，∴(－5－a)2＋(0－b)2＝25.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5－a2＋0－b2＝25，,a－b＋10＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝－10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝5，,a＝－5，))故所求圆C的方程为(x＋10)2＋