2023-2024学年浙江省台金七校联盟高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值是（）A.20 B.40 C. D.〖答案〗B〖解析〗．故选：B．2.4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A.6 B.24 C.64 D.81〖答案〗D〖解析〗由分步乘法计数原理可得：不同报法的种数是；故选：D.3.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由离心率的定义可知：，则双曲线的渐近线方程为：.故选A.4.8个人分成3人、3人、2人三组，共有（）种不同的分组方法.A.1120 B.840 C.560 D.280〖答案〗D〖解析〗根据题意，分组方法数为种故选：D.5.函数的导函数为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：A.6.设…，则（）A B. C.800 D.640〖答案〗B〖解析〗

要得到分两种情况讨论：①5个因式取1个，取4个，即②5个因式取2个，取3个，即所以二项展开式中含项的系数为.故选：B.7.将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可得，，所以.故选：C8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，令函数，，因为在上单调递增，且，所以函数在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随机变量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差数列，则可以为（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗随机变量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差数列，，②联立①②，得，，所以，，可以

，，

，故选：ABC10.如图，直线与曲线相切于两点，则有（）A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，由图知，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，在左侧时，，所以，在右侧时，，由导数的几何意义知，，所以，故为的三个极大值点，在左侧时，，由导数的几何意义知，，即，在右侧时，，所以，故为的2个极小值点，故选：BC.11.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（）A.从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望B.每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差C.从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望D.每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望〖答案〗ABD〖解析〗对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，则，，，，则，故A正确；对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，则方差，故B正确;对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，则，，则，则，故C错误；对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，则，，，则，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且，则__________.〖答案〗〖解析〗，相应的正态曲线关于对称，，故〖答案〗为：13.若直线与直线平行，则__________，它们之间的距离为__________.〖答案〗①②〖解析〗因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线的方程可化简，而直线，即直线，它们之间的距离为，故〖答案〗为：；.14.甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷分出胜者算一场若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为__________.〖答案〗〖解析〗一场中先掷的人赢的概率为，，由，，，所以当时，，所以一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，若第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，记甲先掷且第二场甲赢的事件为A，所以，故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为（1）求实数a和n的值；（2）求展开式中系数最小的项．解：（1）仅有第5项的二项式系数最大，则令，则，又，则（2）二项展开式的通项为：，假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得：，解得：故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，故展开式中系数最小的项是第6项：16.如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．（1）求证：；（2）若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面所以（2）如图，以点为原点，分别以直线为轴，轴，依题意，可得，，，，，所以，，，，又，为的中点.，所以，设为平面的法向量，因为，，则，即，取，可得，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为17.设等差数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，记的前项和为，求解：（1）由题意得：解得：，，（2）由题意得：，由于所以18.某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.（1）当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望；（2）若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记（i）证明：数列是等比数列；（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.解：（1）由题意得每轮游戏获得1分概率为，获得2分的概率为，所以随机变量可能取值为3，4，5，6，可得，，所以的分布列：3456所以期望.（2）（ⅰ），即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率，则，累计得分为分的情况有两种：①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以所以活动参与者得到纪念品的概率为.19.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若函数与函数有相同的最小值，求a的值；（3）证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数解：（1）的定义域：，，①当时，，在上单调递减；②当时，令，则，此时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）得：，且，，令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，，函数与函数有相同的最小值，，转化为：，令，则，所以，在上单调递增，又；（3）令，此时由（1）得：，令，则，，，，故浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值是（）A.20 B.40 C. D.〖答案〗B〖解析〗．故选：B．2.4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A.6 B.24 C.64 D.81〖答案〗D〖解析〗由分步乘法计数原理可得：不同报法的种数是；故选：D.3.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由离心率的定义可知：，则双曲线的渐近线方程为：.故选A.4.8个人分成3人、3人、2人三组，共有（）种不同的分组方法.A.1120 B.840 C.560 D.280〖答案〗D〖解析〗根据题意，分组方法数为种故选：D.5.函数的导函数为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：A.6.设…，则（）A B. C.800 D.640〖答案〗B〖解析〗

要得到分两种情况讨论：①5个因式取1个，取4个，即②5个因式取2个，取3个，即所以二项展开式中含项的系数为.故选：B.7.将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可得，，所以.故选：C8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，令函数，，因为在上单调递增，且，所以函数在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随机变量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差数列，则可以为（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗随机变量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差数列，，②联立①②，得，，所以，，可以

，，

，故选：ABC10.如图，直线与曲线相切于两点，则有（）A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，由图知，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，在左侧时，，所以，在右侧时，，由导数的几何意义知，，所以，故为的三个极大值点，在左侧时，，由导数的几何意义知，，即，在右侧时，，所以，故为的2个极小值点，故选：BC.11.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（）A.从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望B.每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差C.从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望D.每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望〖答案〗ABD〖解析〗对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，则，，，，则，故A正确；对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，则方差，故B正确;对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，则，，则，则，故C错误；对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，则，，，则，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且，则__________.〖答案〗〖解析〗，相应的正态曲线关于对称，，故〖答案〗为：13.若直线与直线平行，则__________，它们之间的距离为__________.〖答案〗①②〖解析〗因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线的方程可化简，而直线，即直线，它们之间的距离为，故〖答案〗为：；.14.甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷分出胜者算一场若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为__________.〖答案〗〖解析〗一场中先掷的人赢的概率为，，由，，，所以当时，，所以一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，若第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，记甲先掷且第二场甲赢的事件为A，所以，故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为（1）求实数a和n的值；（2）求展开式中系数最小的项．解：（1）仅有第5项的二项式系数最大，则令，则，又，则（2）二项展开式的通项为：，假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得：，解得：故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，故展开式中系数最小的项是第6项：16.如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．（1）求证：；（2）若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面所以（2）如图，以点为原点，分别以直线为轴，轴，依题意，可得，，，，，所以，，，，又，为的中点.，所以，设为平面的法向量，因为，，则，即，取，可得，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为17.设等差数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，记的前项和为，求解：（1）由题意得：解得：，，（2）由题意得：，由于所以18.某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得