2023-2024学年天津市重点校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2天津市重点校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故选：D.2.若的二项式展开式中的系数为10，则（）A.1 B.-1 C.±1 D.±2〖答案〗A〖解析〗由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得.故选：A.3.曲线在点处的切线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设，所以.因为，所以曲线在点处的切线的方程为，即.故选：C.4.函数的最大值为1，则实数的值为（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗，.则在上单调递减，在上单调递增，则.故选：D5.演讲社团里现有水平相当的4名男生和4名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（）A.44种 B.56种 C.48种 D.70种〖答案〗C〖解析〗选出3名同学既有男生又有女生有两种情况：1男2女，则,2男1女，则，所以共有种不同选法.故选：C.6.函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.在上单调递减D.在上单调递增〖答案〗C〖解析〗时，，故在上单调递减，时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，显然C正确，其他选项错误.故选：C.7.已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；又，则，画出的模拟草图如下所示：当时，，则，数形结合可知，此时；当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；当，，则，数形结合可知，此时；综上所述：的解集为.故选：A.8.甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者被分配到3个不同的岗位参加志愿者工作，每个岗位至少分配一人，丁与戊在同一岗位，则不同的分配方案有（）A.18种 B.21种 C.24种 D.36种〖答案〗D〖解析〗先把5人分成3堆，共有两类：第一类：丁与戊个人为一堆，其它人分为一堆1人，一堆2人，所有分堆方式有：种，再将三堆分配至3个岗位，共有：种；第二类：从除去丁与戊的3人种，选择1人与丁与戊构成一堆，其它2人分为一堆1人，另一堆也是1人，所有分堆方式共有：种，再将三堆分配至3个岗位，共有：种；综上所述，所有的分配方案有：种.故选：D.9.若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以不是的零点，当时，令，得，令，由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，且当趋近正无穷时，趋近2，如图所示，所以当时，与的图象有且仅有四个交点，此时函数恰好有四个零点.故选：C.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.的展开式中的系数为______.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为.故〖答案〗为：11.函数的单调递减区间是__________．〖答案〗，〖解析〗由，且，则，令，即，解得或.所以函数的单调递减区间是，.故〖答案〗为：，.12.由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有___________．（用数字作答）〖答案〗120〖解析〗根据题意，这个数字构成的没有重复数字的六位数共有：种，因为奇数数字顺序确定，故满足题意六位数共有：种.故〖答案〗为：.13.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________．〖答案〗〖解析〗，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，分离参数得，当，即时，取得最小值，所以.故〖答案〗为：.14.一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有____________种．〖答案〗72〖解析〗我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同.那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色.由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和.如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种；如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种.综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种.而区域颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.故〖答案〗为：.15.已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为_________．①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数；③；④若存在，使得，则．〖答案〗①④〖解析〗①若，则，，，，所以函数在处的切线方程为，即，说法①正确．②，有，则，说法②错误．③，当时，，单调递减，没有极值，当时，由，解得，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，而，所以为定值，说法③错误．④若存在，使得，即，得，即，即，由于，所以必存在，对于，则有，即，解得，所以说法④正确.故〖答案〗为：①④三、解答题（共5题，共75分）16.已知.求下列各式值：（1）；（2）；（3）.解：（1）令，得（2）令，得由的展开式的通项为，知，，，为负数所以（3）由，得，所以17.设函数，曲线在点处的切线斜率为1．（1）求实数的值；（2）设函数，求函数的单调区间．解：（1）由题意得的定义域为，又，因为．所以，解得．所以实数的值为1.（2）因为，，则，令，得，与在区间上的情况如下：00+递减极小值递增所以单调递减区间为，单调递增区间为．18.从A，B，C等7人中选5人排成一排．（1）若A必须在内，有多少种排法?（2）若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法?（3）若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法?解：（1）根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法.（2）先选出其余的三人，将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列，所以一共有360种排法．（3）根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况，所以共有种不同的排法．19.已知函数，，令函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当为正数时，讨论函数的单调性；（3）若不等式对一切都成立，求的取值范围．解：（1）当时，，，故，则，故函数在处的切线方程为，即；（2）因为，，则，时，在，上为正，上为负，所以的单增区间为，，单减区间为，时，在上恒，所以在上单调递增，时，在，上为正，上为负，所以的单增区间为，，单减区间为，综上：时，的单增区间为，，单减区间为，时，在上单调递增，时，的单增区间为，，单减区间为.（3）由，，变形为，令，则在上单调递增，其中，，则，若，此时在上恒成立，则在上单调递增，满足要求，若，此时要满足在恒成立，令，对称轴为，故要满足，解得，综上：，即的取值范围是．20.已知函数．（1）若，讨论的单调性．（2）已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．解：（1）当时，，则；令，解得：或，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减.（2）（i）由得：，恰有个正实数根，恰有个正实数根，令，则与有两个不同交点，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；则图象如下图所示，当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为；（ii）由（i）知：，，，，，不妨设，则，要证，只需证，，，，则只需证，令，则只需证当时，恒成立，令，，在上单调递增，，当时，恒成立，原不等式得证.天津市重点校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故选：D.2.若的二项式展开式中的系数为10，则（）A.1 B.-1 C.±1 D.±2〖答案〗A〖解析〗由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得.故选：A.3.曲线在点处的切线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设，所以.因为，所以曲线在点处的切线的方程为，即.故选：C.4.函数的最大值为1，则实数的值为（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗，.则在上单调递减，在上单调递增，则.故选：D5.演讲社团里现有水平相当的4名男生和4名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（）A.44种 B.56种 C.48种 D.70种〖答案〗C〖解析〗选出3名同学既有男生又有女生有两种情况：1男2女，则,2男1女，则，所以共有种不同选法.故选：C.6.函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.在上单调递减D.在上单调递增〖答案〗C〖解析〗时，，故在上单调递减，时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，显然C正确，其他选项错误.故选：C.7.已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；又，则，画出的模拟草图如下所示：当时，，则，数形结合可知，此时；当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；当，，则，数形结合可知，此时；综上所述：的解集为.故选：A.8.甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者被分配到3个不同的岗位参加志愿者工作，每个岗位至少分配一人，丁与戊在同一岗位，则不同的分配方案有（）A.18种 B.21种 C.24种 D.36种〖答案〗D〖解析〗先把5人分成3堆，共有两类：第一类：丁与戊个人为一堆，其它人分为一堆1人，一堆2人，所有分堆方式有：种，再将三堆分配至3个岗位，共有：种；第二类：从除去丁与戊的3人种，选择1人与丁与戊构成一堆，其它2人分为一堆1人，另一堆也是1人，所有分堆方式共有：种，再将三堆分配至3个岗位，共有：种；综上所述，所有的分配方案有：种.故选：D.9.若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以不是的零点，当时，令，得，令，由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，且当趋近正无穷时，趋近2，如图所示，所以当时，与的图象有且仅有四个交点，此时函数恰好有四个零点.故选：C.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.的展开式中的系数为______.〖答案〗〖解析〗展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为.故〖答案〗为：11.函数的单调递减区间是__________．〖答案〗，〖解析〗由，且，则，令，即，解得或.所以函数的单调递减区间是，.故〖答案〗为：，.12.由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有___________．（用数字作答）〖答案〗120〖解析〗根据题意，这个数字构成的没有重复数字的六位数共有：种，因为奇数数字顺序确定，故满足题意六位数共有：种.故〖答案〗为：.13.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________．〖答案〗〖解析〗，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，分离参数得，当，即时，取得最小值，所以.故〖答案〗为：.14.一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有____________种．〖答案〗72〖解析〗我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同.那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色.由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和.如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种；如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种.综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种.而区域颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.故〖答案〗为：.15.已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为_________．①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数；③；④若存在，使得，则．〖答案〗①④〖解析〗①若，则，，，，所以函数在处的切线方程为，即，说法①正确．②，有，则，说法②错误．③，当时，，单调递减，没有极值，当时，由，解得，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，而，所以为定值，说法③错误．④若存在，使得，即，得，即，即，由于，所以必存在，对于，则有，即，解得，所以说法④正确.故〖答案〗为：①④三、解答题（共5题，共75分）16.已知.求下列各式值：（1）；（2）；（3）.解：（1）令，得（2）令，得由的展开式的通项为，知，，，为负数所以（3）由，得，所以17.设函数，曲线在点处的切线斜率为1．（1）求实数的值；（2）设函数，求函数的单调区间．解：（1）由题意得的定义域为，又，因为．所以，解得．所以实数的值为1.（2）因为，，则，令，得，与在区间上的情况如下：00+递减极小值递增所以单调递减区间为，单调递增区间为．18.从A，B，C等7人中选5人排成一排．（1）若A必须在内，有多少种排法?（2）若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法?（3）若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法?解：（1）根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法.（2）先选出其余的三人，将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列，所以一共有360