2023-2024学年江西省景德镇市高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省景德镇市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗因为复数为纯虚数，所以，解得，当时，，不符合题意，舍去；所以，即，所以复数的虚部为4.故选：C.2.已知向量，，则的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.3.已知是第三象限角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是第三象限角，且，所以，所以.故选：B.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：）A.572m2 B.1448m2 C.m2 D.2028m2〖答案〗D〖解析〗设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为.故选：D.5.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，所以，所以.故选：C.6.已知为钝角，为锐角，且，，则的值为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为钝角，为锐角，且，，所以，，则，又为钝角，为锐角，所以为锐角，所以.故选：A.7.棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，在复平面内所对应的点为，在第二象限.故选：B.8.已知，，，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，所以，因为，所以，所以，又，所以，且，所以，且，因为，所以，又，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数是的共轭复数，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为所以，，故A错误，D正确；，故B正确；，故C错误.故选：BD.10.已知，则下列说法正确的有（）A. B.与可以作为一组基底向量C. D.在方向上的投影向量的坐标为〖答案〗BC〖解析〗对于A，，即与不垂直，故A错误；对于B，因不共线，故与可以作为一组基底向量，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，在方向上的投影向量为，故D错误.故选：BC.11.已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，若，由得，，即，又为锐角，所以，故A正确；对于B选项，若，则，由得，，所以，故B错误；对于D选项，由，得，令，则，两边平方得：，由判别式法可得，解得，即，又为锐角，所以的最小值为，当时，取最小值，故D正确；对于C选项，由D选项可知，，而，所以，故C正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知，，若与共线，则_________.〖答案〗2〖解析〗因为与共线，所以，即，所以，所以.故〖答案〗为：2.13.已知，，则____________.〖答案〗〖解析〗因为，则，显然，可得，整理得，解得或，又因为，则，可得，所以.故〖答案〗为：.14.在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗如图所示，以的中点为原点，为轴，射线为非负轴建立平面直角坐标系，则，，，设，不妨假设D在E的左侧，则由知，，据此有：，，则，因为，所以，所以，所以，所以，令，则，当且仅当即时，等号成立，故的的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，为虚数单位.（1）求；（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.解：（1）因为，所以，所以.（2）复数的共轭复数，复数是关于的方程的一个根，所以也是方程的一个根，所以由韦达定理可得，.16.已知向量.（1）若，求实数的值以及在方向上的投影数量；（2）若对有恒成立，求实数取值范围.解：（1）因，则，解得；则，于是，在方向上投影数量为.（2）依题意，在R上恒成立，因，故有，解得或，即实数取值范围为：.17.函数，函数的最小正周期为.（1）求函数的递增区间，对称轴以及对称中心；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.解：（1），因为函数的最小正周期为，所以，即，所以，令，解得，所以的递增区间为，令，解得，所以的对称轴为，令，解得，所以的对称中心为.（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则，因为，所以，所以，所以，即函数在区间上的值域为.18.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；②；③，在中，内角，，的对边分别是，，，若

.（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.解：（1）选择①，，由正弦定理，，即，由余弦定理，，因，故.选择②，，因，则得，，整理得，，因，，故得，因，故.选择③，由可得，，由正弦定理，，因，，故得，，因，故.（2）由正弦定理，，可得，于是的周长为：，因，，则，故，即周长的取值范围为.19.在中，已知.（1）求；（2）设，点为外接圆上的一个动点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，且，求的周长.解：（1）因为，所以，又因为在中，，所以，又，所以.（2）如图所示，以AB中点D为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，不妨设，则，由正弦定理可得，外接圆半径，由，得，解得，所以，所以外接圆方程为，（ⅰ）设，则，所以，又因为点在外接圆上，所以，即，所以，又，所以，所以.（ⅰⅰ）因为点C在外接圆上，所以设，则，所以，所以，又因为，所以，所以，即，经检验符合题意，所以为等边三角形，所以的周长为.江西省景德镇市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗因为复数为纯虚数，所以，解得，当时，，不符合题意，舍去；所以，即，所以复数的虚部为4.故选：C.2.已知向量，，则的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.3.已知是第三象限角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是第三象限角，且，所以，所以.故选：B.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：）A.572m2 B.1448m2 C.m2 D.2028m2〖答案〗D〖解析〗设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为.故选：D.5.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，所以，所以.故选：C.6.已知为钝角，为锐角，且，，则的值为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为钝角，为锐角，且，，所以，，则，又为钝角，为锐角，所以为锐角，所以.故选：A.7.棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，在复平面内所对应的点为，在第二象限.故选：B.8.已知，，，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，所以，因为，所以，所以，又，所以，且，所以，且，因为，所以，又，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数是的共轭复数，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为所以，，故A错误，D正确；，故B正确；，故C错误.故选：BD.10.已知，则下列说法正确的有（）A. B.与可以作为一组基底向量C. D.在方向上的投影向量的坐标为〖答案〗BC〖解析〗对于A，，即与不垂直，故A错误；对于B，因不共线，故与可以作为一组基底向量，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，在方向上的投影向量为，故D错误.故选：BC.11.已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，若，由得，，即，又为锐角，所以，故A正确；对于B选项，若，则，由得，，所以，故B错误；对于D选项，由，得，令，则，两边平方得：，由判别式法可得，解得，即，又为锐角，所以的最小值为，当时，取最小值，故D正确；对于C选项，由D选项可知，，而，所以，故C正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知，，若与共线，则_________.〖答案〗2〖解析〗因为与共线，所以，即，所以，所以.故〖答案〗为：2.13.已知，，则____________.〖答案〗〖解析〗因为，则，显然，可得，整理得，解得或，又因为，则，可得，所以.故〖答案〗为：.14.在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗如图所示，以的中点为原点，为轴，射线为非负轴建立平面直角坐标系，则，，，设，不妨假设D在E的左侧，则由知，，据此有：，，则，因为，所以，所以，所以，所以，令，则，当且仅当即时，等号成立，故的的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，为虚数单位.（1）求；（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.解：（1）因为，所以，所以.（2）复数的共轭复数，复数是关于的方程的一个根，所以也是方程的一个根，所以由韦达定理可得，.16.已知向量.（1）若，求实数的值以及在方向上的投影数量；（2）若对有恒成立，求实数取值范围.解：（1）因，则，解得；则，于是，在方向上投影数量为.（2）依题意，在R上恒成立，因，故有，解得或，即实数取值范围为：.17.函数，函数的最小正周期为.（1）求函数的递增区间，对称轴以及对称中心；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.解：（1），因为函数的最小正周期为，所以，即，所以，令，解得，所以的递增区间为，令，解得，所以的对称轴为，令，解得，所以的对称中心为.（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则，因为，所以，所以，所以，即函数在区间上的值域为.18.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；②；③，在中，内角，，的对边分别是，，，若

.（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.解：（1）选择①，，由正弦定理，，即，由余弦定理，，因，故.选择②，，因，则得，，整理得，，因，，故得，因，故.选择③，由可得，，由正弦定理，，因，，故得，，因，故.（2）由正弦定理，，可得，于是