4.4数学归纳法（课件）高二数学课件（人教A版2019选择性）

像这样，由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法。

一个盒子里一共装了8支粉笔，老师从中一支一支拿出，（1）老师拿出了5支，刚好都是白色的，于是甲同学归纳出结论：盒子中都是白色粉笔；（2）老师拿出了8支，乙同学发现都是白色的，于是归纳出结论：盒子中都是白色粉笔。不完全归纳法考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法完全归纳法问题1：复习归纳法：结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法又可分为完全归纳法和不完全归纳法

由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法

可从简单情形出发观察、归纳、猜想(不完全归纳法)

其中道理可用于数学证明──数学归纳法.多米诺骨牌动画演示返回这种一种严格的证明方法──数学归纳法.(归纳奠基）数学归纳法:

由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！(归纳递推）注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可.验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立．一般地证明一个与正整数

1.（归纳奠基)证明当2.（归纳递推）假设当有关的命题，可按下列步骤进行：取第一个值

时命题成立；时命题成立，时命题也成立.证明当例1.用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=12=1,右边=1等式成立(2)假设当n=k()时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数均成立.【总结提升】问题1：甲同学猜想用数学归纳法证明步骤如下：证明：假设n=k时等式成立，即那么上述证法是正确的吗？为什么？结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.问题2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.例1:用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N

）.

证明:(1)当n=1时,左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立

(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k

1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据CB1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.[跟踪训练]（1）用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.答案：101．数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)

为真；(2)若

(k∈N*，k≥n0)为真，则

也为真．结论：

为真．用数学归纳法证明等式P(n0)P(k)P(k＋1)P(n)2．数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当

时结论成立，即命题

；第二步是证明一种

关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．完成这两步，就有______真，P(n0＋1)真，……，P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．n＝n0P(n0)为真递推P(n0)2(2k＋1)归纳—猜想—证明用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)，即当n＝k＋1时，命题也成立．根据(1)(2)知，n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．1.数学归纳法的一般步骤：若n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.

验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n都成立.归纳奠基归纳递推两个步骤一个结论缺一不可2.应用数学归纳