第十四章学业质量评价卷整式的乘法与因式分解

第十四章学业质量评价卷——整式的乘法与因式分解时间：120分钟总分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.

下列计算正确的是(

A

)A.

(－

a

)4÷

a3＝

a

B.

a2·

a3＝

a6C.

(－

x3

y

)2＝

x5

y2D.

(

x

－

y

)2＝

x2－

y2A1234567891011121314151617181920212223242.

如果□×3

ab

＝－27

a2

b3，那么□内应填的代数式是(

C

)A.

9

ab2B.

－9

a2

b

C.

－9

ab2D.

9

a2

b

C1234567891011121314151617181920212223243.

下列式子中是完全平方式的是(

D

)A.

a2＋

ab

＋

b2B.

a2＋2

a

＋2C.

a2－2

b

＋

b2D.

a2＋2

a

＋1D1234567891011121314151617181920212223244.

从前，一位庄园主把一块长为

a

米、宽为

b

米(

a

＞

b

＞100)的长方形土地租给租

户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继

续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租

地面积会(

A

)A.

变小了B.

变大了C.

没有变化D.

无法确定A1234567891011121314151617181920212223245.

图1是一个长为2

a

、宽为2

b

(

a

＞

b

)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，

把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后拼成如图2所示的一个正方形，

则中间空余部分的面积是(

C

)A.

ab

B.

(

a

＋

b

)2C.

(

a

－

b

)2D.

a2－

b2C1234567891011121314151617181920212223246.

一次课堂练习，某同学做了如下4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题

是(

A

)A.

x3－

x

＝

x

(

x2－1)B.

x2－2

xy

＋

y2＝(

x

－

y

)2C.

x2

y

－

xy2＝

xy

(

x

－

y

)D.

x2－

y2＝(

x

－

y

)(

x

＋

y

)A1234567891011121314151617181920212223247.

小李在计算2

0243－2

024时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个

整数是(

A

)A.

2

023，2

024，2

025B.

2

022，2

023，2

024C.

2

021，2

022，2

023D.

2

020，2

021，2

022A1234567891011121314151617181920212223248.

已知2

x

＝8，2

y

＝5，2

z

＝40，那么下列关于

x

，

y

，

z

之间满足的等量关系正确

的是(

A

)A.

x

＋

y

＝

z

B.

xy

＝

z

C.

2

x

＋

y

＝

z

D.

2

xy

＝

z

A1234567891011121314151617181920212223249.

如图，△

ABC

中，

AB

＝

a

，

BC

＝2

a

，∠

B

＝90°，将△

ABC

沿

BC

方向平移

b

个

单位长度得到△

DEF

(其中

A

，

B

，

C

的对应点分别是

D

，

E

，

F

)，设

DE

交

AC

于

点

G

，若△

ADG

的面积比△

CEG

的面积大8，则代数式

a

(

b

－

a

)的值为(

D

)A.

32B.

16C.

4D.

8思路：由平移的性质可得

AD

＝

BE

＝

b

，然后根据已知条件可得

S长方形

ABED

－

S△

ABC

＝8，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求解.D12345678910111213141516171819202122232410.

我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释

了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”.

请你利用杨辉三角，计算(

a

＋

b

)6的展开式中，含

a5项的系数是(

C

)A.

15B.

－6C.

6D.

－15解析：根据图中的规律，得(

a

＋

b

)5展开后的各项系数为1，5，10，10，5，1，(

a

＋

b

)6展开后的各项系数为1，6，15，20，15，6，1，∴(

a

＋

b

)6的展开式中，含

a5

项的系数是6.C123456789101112131415161718192021222324二、填空题(每小题3分，共18分)11.

当(

x

－2)0有意义，那么

x

的取值范围是

⁠.12.

已知(

x

＋1)(

x

－2)＝

x2＋

mx

＋

n

，则

m

＋

n

＝

⁠.x

≠2

－3

123456789101112131415161718192021222324

500

s

12345678910111213141516171819202122232415.

如图，边长分别为

a

和

b

的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积

为

⁠.思路：先将原图形补成一个大的长方形，再用大长方形的面积减去阴影周围三个直

角三角形的面积即可求解.

12345678910111213141516171819202122232416.

定义一种新运算(

a

，

b

)，若

ac

＝

b

，则(

a

，

b

)＝

c

，例如：(2，8)＝3，(3，81)

＝4.若(4，

n

)＝3，则

n

＝

；若(3，7)＋(3，11)＝(3，

m

)，则

m

的值

为

⁠.解析：∵(4，

n

)＝3，∴

n

＝43＝64.设(3，7)＝

x

，(3，11)＝

y

，(3，

m

)＝

z

，则3

x

＝7，3

y

＝11，3

z

＝

m

.∵(3，7)＋(3，11)＝(3，

m

)，∴

x

＋

y

＝

z

，则3

x＋

y

＝3

z

，

∴

m

＝3

x

×3

y

＝7×11＝77.64

77

123456789101112131415161718192021222324三、解答题(共72分)17.

(6分)分解因式：(1)

ax2＋2

ax

＋

a

；解：原式＝

a

(

x2＋2

x

＋1)＝

a

(

x

＋1)2. 3分(2)

n2(

m

－2)＋(2－

m

).解：原式＝

n2(

m

－2)－(

m

－2)＝(

m

－2)(

n2－1)＝(

m

－2)(

n

＋1)(

n

－1). 6分12345678910111213141516171819202122232418.

(6分)已知4

a2－7

a

－5＝0，求代数式(3

a2－2

a

)÷

a

－(2

a

－1)2的值.解：(3

a2－2

a

)÷

a

－(2

a

－1)2＝3

a

－2－(4

a2－4

a

＋1)＝3

a

－2－4

a2＋4

a

－1＝－4

a2＋7

a

－3. 3分∵4

a2－7

a

－5＝0，∴4

a2－7

a

＝5，∴原式＝－(4

a2－7

a

)－3＝－5－3＝－8. 6分12345678910111213141516171819202122232419.

(8分)如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为(2

a

＋

b

)

米，宽为(

a

＋

b

)米，正方形的边长为

a

米.(1)求剩余铁皮的面积；解：(1)(

a

＋

b

)(2

a

＋

b

)－

a2

2分＝2

a2＋

ab

＋2

ab

＋

b2－

a2＝

a2＋3

ab

＋

b2.即剩余铁皮的面积为(

a2＋3

ab

＋

b2)平方米. 5分123456789101112131415161718192021222324(2)当

a

＝3，

b

＝2时，求剩余铁皮的面积.解：(2)当

a

＝3，

b

＝2时，

a2＋3

ab

＋

b2＝32＋3×3×2＋22＝31，∴剩余铁皮的面积为31平方米. 8分12345678910111213141516171819202122232420.

(8分)求证：任意五个连续整数的平方和是5的倍数.证明：设五个连续整数的中间一个整数为

n

，则另四个整数为

n

－2，

n

－1，

n

＋

1，

n

＋2，

1分∴它们的平方和为(

n

－2)2＋(

n

－1)2＋

n2＋(

n

＋1)2＋(

n

＋2)2＝

n2－4

n

＋4＋

n2－2

n

＋1＋

n2＋

n2＋2

n

＋1＋

n2＋4

n

＋4 3分＝5

n2＋10＝5(

n2＋2). 6分∵

n2＋2是正整数，∴它们的平方和是5的倍数. 8分12345678910111213141516171819202122232421.

(10分)已知

m

，

n

满足(

m

＋

n

)2＝169，(

m

－

n

)2＝9.(1)求

m2＋

n2的值；(1)由①＋②，得2(

m2＋

n2)＝178，则

m2＋

n2＝89. 7分(2)求

mn

的值.(2)由①－②，得4

mn

＝160，则

mn

＝40. 10分解：(

m

＋

n

)2＝

m2＋

n2＋2

mn

＝169，① 2分(

m

－

n

)2＝

m2＋

n2－2

mn

＝9.②

4分12345678910111213141516171819202122232422.

(10分)已知

A

，

B

均为整式，

A

＝(

xy

＋1)(

xy

－2)－2

x2

y2＋2，小马在计算

A

÷

B

时，误把“÷”抄成了“－”，这样他计算的结果为－

x2

y2.(1)将整式

A

化为最简形式；解：(1)

A

＝(

xy

＋1)(

xy

－2)－2

x2

y2＋2＝

x2

y2－2

xy

＋

xy

－2－2

x2

y2＋2＝－

x2

y2－

xy

. 2分123456789101112131415161718192021222324(2)求整式

B

；解：(2)由题意，得

A

－

B

＝－

x2

y2，∴

B

＝

A

－(－

x2

y2)＝

A

＋

x2

y2. 4分由(1)知，

A

＝－

x2

y2－

xy

，∴

B

＝－

x2

y2－

xy

＋

x2

y2＝－

xy

. 6分(3)求

A

÷

B

的正确结果.解：(3)由(1)知，

A

＝－

x2

y2－

xy

，由(2)知，

B

＝－

xy

，∴

A

÷

B

＝(－

x2

y2－

xy

)÷(－

xy

)＝

xy

＋1. 10分12345678910111213141516171819202122232423.

(10分)对于二次三项式

x2＋2

ax

＋

a2可以直接用公式法分解为(

x

＋

a

)2的形式，

但对于二次三项式

x2＋2

ax

－3

a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项

式

x2＋2

ax

－3

a2中先加上一项

a2，使其成为完全平方式，再减去

a2这项，使整个

式子的值不变.于是有：

x2＋2

ax

－3

a2＝

x2＋2

ax

＋

a2－

a2－3

a2＝(

x

＋

a

)2－4

a2＝(

x

＋

a

)2－(2

a

)2＝(

x

＋3

a

)(

x

－

a

).123456789101112131415161718192021222324像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.(1)请用上述方法把

x2－4

x

＋3分解因式；解：(1)

x2－4

x

＋3＝

x2－2×2

x

＋22－22＋3＝(

x

－2)2－12＝(

x

－1)(

x

－3). 4分123456789101112131415161718192021222324(2)多项式

x2＋2

x

＋2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时

x

的值是多少；如

果没有，请说明理由.解：(2)

x2＋2

x

＋2＝

x2＋2

x

＋12－12＋2＝(

x

＋1)2＋1，

8分故多项式

x2＋2

x

＋2有最小值，当它有最小值时

x

的值是－1. 10分12345678910111213141516171819202122232424.

(14分)阅读下列材料，完成相应的任务.平衡多项式定义：对于一组多项式

x

＋

a

，

x

＋

b

，

x

＋

c

，

x

＋

d

(

a

，

b

，

c

，

d

是常数)，当

其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数

p

时，称这样的四

个多项式是一组平衡多项式，

p

的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子.例如：对于多项式

x

＋1，

x

＋2，

x

＋5，

x

＋6，因为(

x

＋1)(

x

＋6)－(

x

＋2)(

x

＋

5)＝(

x2＋7

x

＋6)－(

x2＋7

x

＋10)＝－4，所以多项式

x

＋1，

x

＋2，

x

＋5，

x

＋6

是一组平衡多项式，其平衡因子为｜－4｜＝4.123456789101112131415161718192021222324任务：(1)小明发现多项式

x

＋3，

x

＋4，

x

＋6，

x

＋7是一组平衡多项式，在求其平衡因

子时，列式如下：(

x

＋3)(

x

＋7)－(

x

＋4)(

x

＋6)，根据他的思路求该组平衡多项式

的平衡因子；解：(1)(

x

＋3)(

x

＋7)－(

x

＋4)(

x

＋6)＝

x2＋10

x

＋21－

x2－10

x

－24＝－3. 2分∵｜－3｜＝3，∴该组平衡多项式的平衡因子是3. 4分123456789101112131415161718192021222324(2)判断多项式

x

－1，

x

－2，

x

－4，

x

－5是否为一组平衡多项式，若是，求出其

平衡因子；若不是，请说明理由；解：(2)∵(

x

－1)(

x

－5)－(

x

－2)(

x

－4)＝

x2－6

x

＋5－

x2＋6

x

－8＝－3，

6分∴多项式

x

－1，

x

－2，

x

－4，

x

－5是一组平衡多项式，其平衡因子是｜－3｜＝3.

7分123456789101112131415161718192021222324(3)若多项式

x

＋2，

x

－4，

x

＋1，