6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件高一下学期数学人教A版

第六章平面向量及其应用平面向量数量积的坐标表示人教A版

数学

必修第二册课程标准1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用.基础落实·必备知识全过关知识点1

平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示1.平面向量数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=

,即两个向量的数量积等于

.

2.两个向量垂直的坐标表示

与向量共线的坐标表示熟练区分设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b

⇔

.

名师点睛已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),a∥b⇔a1b2-a2b1=0;a⊥b⇔a1b1+a2b2=0.这两个结论容易混淆,可分别简记为“纵横交错积的差为零,横横纵纵积的和为零”.x1x2+y1y2

它们对应坐标的乘积的和

x1x2+y1y2=0过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y2+x2y1.(

)(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(

)×√2.在平面直角坐标系中,设i,j分别是与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量,你能计算出i·i,j·j,i·j的值吗?若设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能给出a·b的值吗?提示

i·i=1,j·j=1,i·j=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2.又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=x1x2+y1y2.3.[苏教版教材例题]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b).解

因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15.知识点2

平面向量的模与夹角的坐标表示1.若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=

.

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=

.

2.设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得过关自诊1.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),如何表示向量a?怎样表示|a|?2.[2023河南郑州月考]已知向量a=(-4,3),b=(2,-7),则a·b+|a|=(

)

A.29 B.-29 C.24 D.-24D解析

向量a=(-4,3),b=(2,-7),∴a·b+|a|=(-4,3)·(2,-7)+5=-24.故选D.3.[北师大版教材例题]已知a=(3,2),b=(1,-1),求向量a与b的夹角的余弦值.解

设向量a与b的夹角为θ,重难探究·能力素养全提升探究点一数量积的坐标运算角度1

数量积的基础坐标运算【例1】

已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).解

(1)(方法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0).∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.(方法二)a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).角度2

数量积的坐标运算在几何图形中的应用【例2】

在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且5规律方法

数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先将向量用基底表示,再利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.变式训练1(1)已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则

等于(

)A.-1 B.0 C.1 D.2B(2)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,D是边BC上一动点,则

=(

)A.2 B.-2 C.4 D.无法确定C探究点二利用坐标运算解决模的问题【例3】

已知向量a=(1,2),b=(3,-1).(1)求|a-2b|;(2)求与a垂直的单位向量;(3)求与b平行的单位向量.规律方法

1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有2.与已知向量垂直或平行的单位向量变式训练2[2023浙江余姚期中]已知a=(1,),b=(cosθ,sinθ),则|a+2b|的取值范围是

.

[0,4]探究点三利用坐标运算解决夹角与垂直问题【例4】

已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.解

(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).设m,n的夹角为θ,变式探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.规律方法

解决向量夹角问题的方法

本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量数量积的坐标表示.(2)若向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),且a,b为非零向量,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量).2.方法归纳:化归与转化.3.常见误区:两向量夹角的余弦公式易记错.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617181920A级必备知识基础练A.4 B.-4 C.2 D.-2A12345678910111213141516171819202.[探究点一(角度1)·2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(

)A.-5 B.-3 C.3 D.5B解析

∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B.1234567891011121314151617181920A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8]A12345678910111213141516171819204.[探究点三]设向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-).若b⊥c,则a-b与c的夹角为(

)A.0° B.30° C.60° D.90°D12345678910111213141516171819205.[探究点二]设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=

.

12345678910111213141516171819206.[探究点二]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=

.

-2解析

(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.12345678910111213141516171819207.[探究点二、三]设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=

,cosθ=

.

112345678910111213141516171819208.[探究点二、三]已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解

(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.综上,|a-b|=2或2.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819209.[探究点三]已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920B级关键能力提升练ABC123456789101112131415161718192011.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是(

)A.若a∥b,则t的值为-B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2C.|a+b|的最小值为1D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是(-∞,2)D1234567891011121314151617181920B123456789101112131415161718192013.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则

的最小值为(

)A.3 B.5 C.7 D.8B解析

如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),123456789101112131415161718192014.(多选题)如图,4×6的方格纸中有一个向量(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有(

)BCD123456789101112131415161718192015.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=

.

123456789101112131415161718192016.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为

.

(-2,1)123456789101112131415161718192017.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).