第24届中学生物理竞赛预赛试卷参考解答

第24届中学生物理竞赛预赛试卷参考解答第24届中学生物理竞赛预赛试卷参考解答一、参考答案1．大爆炸2．超新星中子星黑洞3．核聚变4．如图1所示——5．0.4L，L。评分标准：本题25分。第1小题3分。第2小题6分，每一空格2分。第3小题3分。第4小题6分。第一空格中画对一个图给2分，画对两个图给3分；第二空格中画对一个图给2分，画对二个图给3分。第5小题7分。第一空格2分，第二空格3分，第三空格2分。二、参考解答：当光滑平板与水平面的倾角为α时，无论小球P处在斜面上什么位置，它受的重力在斜面上的投影总是垂直于HH′，大小总是等于mgsinα。以此作为重力的一个分力，则重力的另一个分力即垂直于斜面的分力mgcosα总是与斜面对小球P的支持力平衡。这样，小球P在斜面内只受上述重力的分量mgsinα和细绳拉力的作用。当小球P运动到圆周的最高点时，细绳垂直于HH′，绳的拉力与小球所受重力的分量mgsinα沿同一直线，这时只要细绳不松弛，小球就能保持在板面内作圆周运动。设小球到达圆周最高点时的速度为v，绳的拉力为T，有(1)由能量关系，有(2)由(1)、(2)式得T=m(－3gsinα)(3)细绳不松弛的条件是T≥0(4)由(3)、(4)式得α≤arcsin(5)代入有关数据，得α≤arcsin(6)当倾角α＜0时，经相同的分析可得α≥－arcsin(7)由(6)、(7)两式，可知α的取值范围为－arcsin≤α≤arcsin(8)评分标准：本题25分。(1)式7分，(2)式7分，(4)式5分，(5)式或(6)式3分，(7)式3分。三、参考解答：以m表示气缸内气体的质量，μ表示其摩尔质量。当气体处在初始状态时，已知其压强为p0、体积为V0。设其温度为T，由理想气体状态方程有p0V0=RT0(1)在过程1中，对气体加热时，活塞S位置固定不动，气体体积保持不变，气体对外不做功。根据热力学第一定律有Q1=c(T1－T0)(2)式中T1为加热后气体的温度。根据题意，这时气体的压强为p1，由理想气体状态方程可知p1V0=RT1(3)由(1)、(2)、(3)式得Q1=V0(p1－p2)(4)在过程2中，对气体加热时，活塞要移动，气体的压强保持p0不变，体积由V0变为V2，气体对外做功。根据热力学第一定律，有Q2=c(T2－T0)+p0(V2－V1)(5)式中T2为加热后气体的温度。由理想气体状态方程可知p0V2=RT2(6)由(1)、(5)、(6)式，得Q2=p0(V2－V1)(7)由(4)、(7)式得(8)评分标准：本题25分。(1)式2分，(2)式7分，(3)式2分，(5)式7分，(6)式2分，(8)式5分。四、参考解答：1．两导线排的电流产生的磁场考察导线排M1M2中的电流产生的磁场，取x轴与导线排M1M2重合，Y轴与导线排MlM2垂直，如图l所示。位于x和x+Δx(Δx为小量)之间的细导线可以看作是“一根”通有电流IλΔx的长直导线，它在Y轴上P点产生的磁感应强度的大小为(1)r为P点到此直长导线的距离，ΔB的方向与r垂直，与电流构成右手螺旋。将AB分解成沿x方向和Y方向的两个分量ΔBx和ΔBy，有(2)(3)根据对称性，位于－x到－(x+Δx)之间的细导线中电流产生的磁感应强度在Y方向的分量与ΔBy，大小相等、方向相反。可见整个导线排中所有电流产生的磁场在Y方向的合磁场为0。由图2-a可看出一(4)把(4)式代入(2)式得(5)导线排上所有电流产生的磁感应强度B=(6)注意到得B=k(7)即每个导线排中所有电流产生的磁场是匀强磁场，磁场的方向分别与M1M2和M3M4线排平行。如图2-b所示，两导线排中电流产生的磁感应强度B(M1M2)与B(M3M4)成120°，它们的合磁场的磁感应强度的大小(8)方向与OO′平行，由O指向O′2．半导体片左右两侧面间的电势差当半导体片中通有均匀电流I0时，半导体片中的载流子作定向运动，N型半导体的载流子带负电荷，故其速度v的方向与I0方向相反，垂直纸面向里，且有：I0=nqvS(9)式中S为半导体片横截面的面积S=(10)载流子作定向运动时要受到磁场洛伦兹力fB的作用，其大小为fB=qvB0(11)对带负电荷的载流子此力的方向指向左侧，于是负电荷积聚在左侧面上，从而左侧面带负电，右侧面带正电，两侧面间出现电势差U=U右－U左。带负电荷的载流子受到静电力fE由左侧面指向右侧面，达到稳定时，fE与fB平衡，即fE(12)由(8)、(9)、(10)、(II)、(12)各式得U=k(13)评分标准：本题25分。(7)式8分，(8)式4分，(9)式3分，(t2)式5分，(13)式5分。五、参考解答：1．在线框转动过程中，三角形的AC、CD两边因切割磁感应线而产生感应电动势，因长度为d的AC边和CD边都不与磁场方向垂直，每条边切割磁感应线的有效长度，即垂直于磁场方向的长度为l=dsin30°=d(1)因AC边上不同部分到转轴的距离不同，它们的速度随离开转轴的距离的增大而线性增大，故可认为AC边上各部分产生的总电动势，数值上等同于整条AC边均以AC边中点处的速度运动时产生的电动势。而：(2)设在t=0至时刻t，三角形从平行于磁场方向的位置绕轴转过角度为θ，则θ=ωt(3)因而边上各点速度的方向不再与磁场方向垂直，沿垂直磁场方向的分量(4)由些得到t时刻AC边中的感应电动势(5)其方向由A指向C，由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得(6)同理可得(7)其方向由C指向D，三角形线框中的总电动势(8)其方向沿ACDA回路方向。因线框中的总电阻为3R，故t时刻线框中的电流(9)2．对于AP来说，长度为x，在t=0时刻，cosωt=1，而以x代替(6)式中的d，即可得AP段中的感应电动势的大小(10)方向由A点指向P点。由(9)式，此时线框的电流(11)根据含源电路欧姆定律，P点的电势(12)把(10)、(11)两式代入(12)式，经整理后得(13)为了画出UP(x)图线，先求出若干特征点的电势值：(13)式右侧是一个关于x的二次方程，故UP(x)图线为一抛物线，(13)式可改写为(14)由(14)式可知，此抛物线(i)x=0和x=d，UP=0(ii)抛物线的顶点坐标为x=，UP=－(iii)x=d，UP=图线如图3所示。评分标准：本题25分。第1小题l3分求得(6)或(7)式8分，(8)式2分，(9)式3分。第2小题l2分。(10)式4分，(13)式4分，图线正确给4分。六、参考解答：1．如图4所示。2．2m/s评分标准：本题25分。1．图线形状正确给l0分，横坐标标度正确给5分，纵坐标标度正确给5分。2．求得平均速度大小给5分。七、参考解答：1．2．1；13．对凹面镜光路图如图5-a所示。对凸面镜光路图如图5-b所示。评分标准：本题25分。第1小题l0分。每一空格5分。第2小题5分。填对一个空格给3分，填对二个空格给5分第3小题l0分。每图5分。八、参考解答：解法一1．因A点位于半球形碗的最低点，等边三角形薄板的BC边一定沿水平方向。作连线OB和OC，因O为半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有(1)ABC是等边三角形，(2)故OABC为正四面体，如图6-a所示。三角形薄板所受的力有：(i)B、C处碗面对板的作用力NB和NC均垂直于碗面，指向球心O。又由对称性可知，NB=NC(3)它们的合力NBC沿∠COB的角平分线DO的方向，其大小为NBC=2NBcos30°=(4)DO的长度(5)(ii)重力FG的大小FG=mg(6)它作用于三角形ABC的重心G。G位于AD上，与A的距离(7)重力的方向与OA平行，该力位于OAD平面内，与OD相交。用P表示其交点，则(8)(iii)设碗面在A点作用于薄板的约束力为NA，薄板（或可看成刚性正四面体OABC）在NBC、FG和NA三个力作用下保持平衡，这三力应在同一平面内，且应共点，即NA应与FG和NBC都在OAD平面内，且应通过P点，如图6-b所示。在三角形ODA中设∠DOA=α，则∠ODA=π－α在三角形ADO中，由正弦定理，有：由此可得（9）设∠OAP=β，在三角形OPA中，由余弦定理得由正弦定理得：即（10）FG、NBC和NA三力平衡，它们应形成封闭的三角形，如图6-c所示。由正弦定理得（11）由（10）、（11）式和（3）、（4）、（6）各式得（12）（13）得：NB=NC=mg（14）2．解除对A点的约束后，A、B、C三顶点将从静止开始沿碗面滑动。根据对称性可知，薄板处于水平位置时重心最低，从而重力势能最小。根据机械能守恒定律，此时薄板的动能最大。此时薄板的重心将移至O点正下方的G′点，如图6-d所示。由几何关系并考虑到(7)式，G′相对碗最低点的高度(15)A点被约束时薄板重心为G点，参阅图6-a，可知G点相对碗最低点的高度(16)由(7)和(9)式可得(17)由(15)、(17)两式可求得薄板从A点约束解除到处于水平状态过程中，其重心高度减少量的最大值，从而求出重力势能的减少量的最大值，最后即求得薄板具有的最人动能为(18)评分标准：本题25分。第1小题20分(4)式2分，(10)式7分，(11)式7分，(12)式2分，(14)式2分。第2小题5分(15)式1分，(17)式2分，(18)式2分。解法二1．当三角形薄板处于平衡状态时，根据对称性，必位于过B、C两点的水平圆面内，以O′表示此水平圆面的圆心，如图7-a所示。碗内壁球面的球心为O，则O′以及A、O三点必位于同一条竖直线上。由于B、C与球面接触处都是光滑的，球面对这两点的作用力都指向球面的球心O，令NB和NC分别表示这两个力的大小。由对称性可知NB=NC(1)因球面的半径等于等边三角形的边长，三角形OAB和OBC都是等边三角形,∠AOB=∠BOC=θ=60°(2)把NB分解成沿竖直方向的分量NB⊥和位于水平面内的分量NB//，则有（3）(4)同理有(5)(6)NB//与BO′平行，NC//与CO′平行，都平行于以O′为圆心的水平圆面,可以把这两个力移到圆心为O′的水平圆面内，如图7-b所示。NB//和NC//的合力为N//。球而底部作用于三角形薄板的力NA也可分解成沿竖直方向的分量NA⊥和位于水科面内的分量NA/。当三角形薄板达到平衡时，有NA//=N//=2NB//cosα(7)mg－NA⊥－NB⊥－NC⊥=0(8)由图l可知，圆心为O′的水平圆面的半径R即线段是等边三角形OAB的高，故有(9)由图2得(10)由以上有关各式，(7)、（8）两式可写成（11）NA⊥=mg－NB(12)当三角形薄板达到平衡时，作用于三角形的各力对BC边的力矩总和等于零。NB，NC通过BC边，对BC边无力矩作用，只有NA//、NA⊥和生力