一元二次不等式与其他常见不等式解法15种常见考点（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学一元二次不等式与其他常见不等式解法15种常见考点考点1解不含参数的一元二次不等式1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用指数函数的单调性解集合得：，再利用求根式函数定义域解集合得：，最后利用并集求出结果即可.【详解】因为，，所以，故选：A.2．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为．【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.3．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，集合，若，则．【答案】0或1【分析】先求出集合，再由可求出的值.【详解】由，得，解得，因为，所以，所以，因为，且，所以或，故答案为：0或14．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知集合，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再求两集合的交集.【详解】由，，或，所以或，因为，所以.故选：C.5．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可.【详解】解不等式可得，即；又，因此．故选：D6．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化简集合A与B，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为，，所以.故选：C考点2解含有参数的一元二次不等式7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解绝对值不等式求出集合，由，得，由此能求出实数的取值范围.【详解】由，解得，所以集合，由，可得，所以，因为，所以，当时，不符合题意，所以，因为，所以，即实数的取值范围是．故选：B．8．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【分析】（1）分，和讨论即可；（2）计算得，分和或讨论即可；（3）因式分解得，分，和讨论即可；（4）分，两大类讨论即可.【详解】（1）由，可得或，则：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；（2）由对应函数开口向上，且，当，即时，恒成立，原不等式解集为；当，即或时，由，可得，所以原不等式解集为；综上，解集为；或解集为.（3）由得或.当，即时，不等式解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为．综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．（4）①当时，；∴.②当时，由得或，（i）当即时，，（ⅱ）当即时，，（ⅲ）当即时，，综上，当时，所求不等式的解集为.当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为.9．（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是，这50个整数元素之和为．【答案】或1625【分析】讨论的范围，解出不等式，结合题意确定的范围及解集中的整数解，再利用等差数列求和公式求和即可.本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】不等式等价于不等式．当时，的解集为，不合题意；当时，的解集为，则50个整数解为，，…，5，6，所以，这50个整数元素之和为；当时，的解集为，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，这50个整数元素之和为．综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625．故答案为：；或162510．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果.【详解】根据题意可得不等式等价于；因为，所以不等式的解集为；依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得；本号资料全部来源于微信公众#号：数学第六感由几何概型概率公式可得其概率为.故选：C11．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：（其中）．【答案】答案见解析.【分析】左边进行因式分解，根据函数与不等式的关系，求出端点值，后将端点值比较大小，分类讨论即可.【详解】解：原不等式可化为．①若，即，此时原不等式的解集为或；②若，即，此时原不等式的解集为；③若，即，此时原不等式的解集为或．12．（21-22高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数本#号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感(1)求关于x的不等式的解集；(2)若在区间上恒成立，求实数a的范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）因式分解，再讨论二次方程两根的大小关系求解即可；（2）参变分离可得在区间上恒成立，再换元令，根据基本不等式求解最值即可.*本号资料全部来源于微信公众号：数学第*六感【详解】（1）即，故：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.（2）在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立.令，则在区间上恒成立.又，当且仅当，即，时取等号.故，故实数a的范围是13．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：.本号资*料全部来源#于微信公众号：数学第六感(1)若是真命题，求对应的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；（2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案.【详解】（1）∵：是真命题，∴，∴，解得，∴的取值范围是.（2）由（1）知：：，：即因为是的必要不充分条件，所以，解得：.综上所述的取值范围是.考点3分式不等式14．（2024·广西贵港·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式求出两个集合，再求出，然后求即可.【详解】由，得，解得，所以，由，得或，所以，所以，所以．故选：B15．（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为．【答案】【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解.【详解】由，得，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故答案为：16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即得解本*号*资料全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】由，解得，由且，解得，故，充分性不成立；，必要性成立故是成立的必要不充分条件故选：B.17．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知，，则是的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】首先解分式不等式求出命题，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由，即，等价于，解得，所以，又，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A18．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，再由.【详解】由，得，得，解得或，所以或，所以，由，得，所以，所以.故选：A考点4绝对值不等式19．（2024·全国·模拟预测）已知为实数集，集合，集合，则（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】分别求解分式不等式和绝对值不等式，即可得出，进而根据补集以及并集的运算，得出答案.【详解】由可得，，解得，或，所以，或.由可得，，解得，，所以，或.所以，或.故选：C．20．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.【详解】解：因为，，所以．故选：B．21．（2024·上海·三模）已知集合，，则．【答案】【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，由，即，等价于，解得或，所以，所以.故答案为：22．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知非空集合，若，则实数的取值范围为（

）本*号资料全#部来源于微信公众号：数学第六感A． B． C． D．【答案】D【分析】先确定集合，由确定的取值范围.【详解】根据题意，，因为，所以，则，所以.故选：D考点5根式不等式23．（2024·山东泰安·模拟预测）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出对应的集合，再用交集的定义求解即可.【详解】由，解得，则，故.故选：.24．（2024·陕西西安·三模）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解根式不等式，化简集合A，然后再根据集合交集运算规则即可求解.【详解】依题意得，则．故选：C.25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，若，则的子集有（

）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】先将集合A化简，求出集合C得解.【详解】集合，因为，所以，其子集有4个.故选：B.26．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别解出集合、，得到，进而得到.【详解】由题得，故，所以.故选：A.考点6指数不等式27．（2024·青海·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过将集合中的元素代入集合，看是否符合不等式，即可得出结论.【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，∴和满足集合的要求，∴，故选：C.28．（2023·全国·模拟预测）设全集为，集合，则（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】根据指数函数的性质求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集、补集的定义计算可得.【详解】解：由，即，所以，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，所以；故选：B29．（2023·浙江宁波·二模）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解绝对值不等式求出集合、再解指数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故选：B30．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，，则【答案】【分析】化简集合，，利用集合的交集的定义即可求.【详解】因为，，所以.故答案为：31．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求解不等式，再由交集定义求解.【详解】又，即，可得，又因为在上为增函数，由，可得，所以，，所以.故选：B.32．（2024·全国·模拟预测）设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】利用绝对值不等式和指数不等式的解法结合集合的运算求解即可.【分析】或或，．所以．故选：B．考点7对数不等式33．（2024·北京·模拟预测）已知集合，，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数不等式的解法及并集的定义即可求解.【详解】由，得，解得，所以，所以.故选：C.34．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分别求出，运用交集定义求出即可.【详解】由得，解得，当时，，当时等号成立，所以，，则故选:C.35．（2023·全国·模拟预测）若集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由绝对值不等式及对数不等式求两个集合，在用交集运算即可.【详解】由题意得或，，所以．故选：C．36．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解对数不等式求出集合，在根据二次函数的性质求出集合，最后根据并集的定义计算可得.【详解】由，解得，所以，又，所以.故选：A37．（2024·福建南平·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（

）本号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式先求出集合，进而可得，再由，列不等式即可求出答案.【详解】由，得，所以，则或，由，得，所以，又，所以，解得．故选：D．考点8高次不等式38．（2019·湖南长沙·模拟预测）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合S，然后直接进行集合的交集运算.本号资#料全部来源于微信#公众号：数学第六感【详解】或，则.故选：D【点睛】本题考查集合的基本运算及区间，涉及高次不等式，属于基础题.39．（2022·陕西咸阳·一模）使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A．且 B．C． D．【答案】D【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.40．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解；（3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解；（5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解；（6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解；【详解】（1）由，得，即，所以，所以不等式的解集为.（2）原不等式可化为或，所以解集为{或}.（3）由题得由可得：或，又，则得或，即不等式的解集为.（4）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集为.（5）当，即时，，得，此时，，当，即时，，得，此时，，综上所述，，即不等式的解集为.（6）原不等式可化为或，即或．由图可知，原不等式的解集为或．（7）原不等式可化为，即，即或，即或．由图可知，原不等式的解集为或.（8），令，则，原不等式为：，即，由，则或，即.（9）对于，当时，，原不等式等价于，等价于，解得或，即；当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解；综上，原不等式的解集为.（10）对于，变形为，即，与同解，，即.41．（2022·河北邯郸·一模）已知集合，，则（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】先化简集合A，再去求即可解决.【详解】由，得或，解之得或则或又则或或故选：D42．（2023·广西·模拟预测）满足不等式的整数解的个数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用穿针引线法解此不等式，计算出每个区间内整数解的个数，相加即可求解【详解】利用穿针引线法解不等式，在有个；在有个；…在有个.所以整数解的个数为：.故选：D考点9由一元二次不等式的解确定参数43．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于的不等式的解集为，则.本号资料全部来源于微信公众号：数#学第六感【答案】【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以一元二次方程的两个根为，所以根据韦达定理可得，解得，所以，故答案为:.44．（2024·浙江绍兴·三模）若关于的不等式的解集为，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】由题得、为方程的根，利用韦达定理计算即可得解.【详解】由已知可得、为方程的根，由韦达定理可得：，解得：故选：B45．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式的解集为，且，则．【答案】/【分析】先解二次不等式得到关于的表达式，再代入即可求得值.【详解】因为由，得，解得，所以，，所以，所以．故答案为：.46．（2023·江西南昌·二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为．【答案】【分析】由题意可得且方程的解为，再根据韦达定理求得的关系即可得解.【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以且方程的解为，则，所以，即，所以不等式的解集为．故答案为：．47．【多选】（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【答案】BD【分析】根据给定的解集，用表示出，再逐项判断作答.【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，则，即，A错误；不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；，C错误；不等式化为，即，解得或，所以不等式的解集为，D正确.故选：BD48．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集.【详解】由题意可知，且，所以，所以化为，，解得.故选：C49．（23-24高三上·重庆荣昌·阶段练习）已知关于不等式的解集为或．(1)求值；(2)当，且满足时，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求解；本号资料全#部来#源于微信公众号：数学第六感（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：因为不等式的解集为或，可得和是方程的两个实数根，且，则，解得.（2）解：由（1）知，可得，因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.50．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【详解】一元二次不等式的解为，所以的解为，且，由韦达定理得，代入得，故选：D.51．【多选】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，A：由以上可知，故A正确；B：当时，代入方程可得，故B正确；本号资料*全部来源于微信公众号：数学第六感C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；本号资料全部来源于微信公众号：数学第#六感故选：ABD52．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由已知可得是一元二次方程的根，进而可得，可得，可求的最小值.【详解】因为关于的实系数二次不等式的解集为，所以是一元二次方程的根，所以，解得，所以，所以，所以当且仅当时取等号.所以的最小值为.故选：C.53．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.【详解】不等式即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故，当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是，故，，故实数m的取值范围为，故选：C54．（2022·天津和平·二模）已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可.【详解】，当时，原不等式化为，显然，不符合题意；当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，若五个整数是时，可得，此时解集为空集，若五个整数是时，，此时解集为空集，若五个整数是时，，若五个整数是时，，此时解集为空集，若五个整数是时，，此时解集为空集；当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，若五个整数是时，可得，此时解集为空集，若五个整数是时，，此时解集为空集，若五个整数是时，，若五个整数是时，，此时解集为空集，五个整数是时，，此时解集为空集，故答案为：.【点睛】关键点睛：运用分类讨论思想是解题的关键.55．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【详解】由题意，二次不等式的解集为，则等价于，即，即，当时，不能推出，所以“的解集为”是“”的充分不必要条件，故选：A56．（2020·河南郑州·二模）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】D【分析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数，如图所示当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解因此其整数解为3，又∴，，则当时，，则不满足题意；当时，当时，，没有整数解当时，，至少有两个整数解综上，实数的最大值为故选：D【点睛】方法点睛：处理方式主要是：先作出函数图象，解含参一元二次不等式（将函数值整体看作变量），再通过数形结合与分类讨论思想，讨论整数解出现的情况，此外还需要特别注意端点位置的取舍.57．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是．【答案】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.考点10一元二次不等式在实数集上恒成立问题58．（19-20高二上·安徽·阶段练习）若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意可知：命题：，.是真命题，①当时，结论显然成立；②当时，则，解得；故答案为：.59．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围为．【答案】【分析】分和两种情况讨论即可.【详解】①时，，原不等式可化为，解集为R成立；②时，解得，综上，，即实数k的取值范围为.故答案为：.60．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解.【详解】当，即时，恒成立，当时，因为对恒成立，所以，解得，综上，，即实数a的取值范围为.故选：C61．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】利用判别式法求解.【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集，所以，对恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为，故答案为：62．（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解.【详解】若关于x的不等式对恒成立，本号资料全部来源于微*信公*众号：数学第六感当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，而选项中只有是的充分不必要条件.故选：B.63．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.【详解】（1）依题意，，即，由，恒成立，得，即，整理得，解得.所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，，由，得，即，依题意，对恒成立，令，则对，恒成立，于是，解得，所以实数的取值范围是．考点11一元二次不等式在某区间上的恒成立问题64．（22-23高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.【详解】因为对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立．设，，，当，即时，，∴实数a的取值范围是.故选：D.65．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，且.(1)求a的值；(2)当时，恒成立，求m的取值范围.本#号资料全部来源于微信*公众号：数学第六感【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解.（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为，所以,因为，所以，则.（2）由（1）可知，等价于.令，则，原不等式等价于在上恒成立，则，解得，故m的取值范围为.66．【多选】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案.【详解】，则对都成立，又，所以，观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.故选：BCD.67．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【详解】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.68．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围.【详解】设，则，原命题等价于：任意，使为真命题，所以，其中设，则函数，的最大值为与中的较大者，所以，∴，解得，故选：C.69．【多选】（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（

）A．3 B． C． D．6【答案】AB【分析】根据，且当时，，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数的取值范围，从而得出结论.【详解】由函数的定义域为，满足，当时，可得，当时，，，当时，，；作出函数的部分图象如下图所示：由类周期函数性质可知，当时，恒成立；解方程可得或；又因为对于任意的，都有，利用图象可知，因此选项AB符合题意.故选：AB70．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】.【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可.【详解】当时，不等式恒成立，所以当时，恒成立，则，令，则在单调递增，所以，所以.故答案为：.71．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案.【详解】令，由题意可得，则，又因为，所以，函数的对称轴为，则，即，即，结合，解得.故选：A.72．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是．【答案】【分析】由题意可得，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.【详解】因为对任意，所以必须满足，即，由，得，解得，①，再由，得，解得，②，由①②得，所以，即，解得，经检验，当，时，，则的最大值为，的最小值为，满足任意，所以满足条件的有序数对只有一对，故答案为：.考点12一元二次不等式在某区间上有解问题73．（22-23高二上·河南·开学考试）设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则.故选：A74．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.本号资料全部来源于微信公众号*：数学第六感【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；②当时，为开口方向向上的二次函数，只需，即；③当时，为开口方向向下的二次函数，则必存在实数，使得成立；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.75．（2021·江苏·二模）已知函数.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，可判断为奇函数且在递增，由得，所以成立，分离参数利用最值求解即可．【详解】解：，令，则又因为在递增，所以，得则，所以又，使得，易知：，所以，故选：C．方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．76．（2022·四川雅安·模拟预测）已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的最大值是.【答案】2【分析】由题得，将代入，分离参数得，结合换元法和对勾函数性质即可求解.【详解】由可得，，整理得，令，因为，所以，不等式等价于，即，结合对勾函数性质可知，（时取到），（时取到），所以，则的最大值是2.故答案为：277．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“，”为真命题，所以，命题“，”为真命题，所以，时，，因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.所以，时，，即实数的取值范围是故选：C78．（2023·四川成都·模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围．【详解】因为关于的不等式在区间上有解，所以在区间上有解，设，，其中在区间上单调递减，所以有最小值为，所以实数的取值范围是．故选：C．79．（18-19高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.【详解】，要使得不等式有解，只需有解即可，解得或者，故选：D考点13一元二次方程根的分布问题80．（20-21高一上·浙江杭州·阶段练习）关于x方程在内恰有一解，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】讨论，方程根的情况，结合根的分布列不等式，即可求的范围.【详解】当时，，不合题意；∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，∴即可，则，故选：B【点睛】本题考查了由一元二次方程根的分布求参数范围，应用了分类讨论的方法，属于基础题.81．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数．(1)不等式的解集为，求的取值范围；(2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得恒成立，分、两种情况讨论；（2）分、两种情况讨论，结合二次方程根的分布得到方程组，解得即可.本号资料全部来源于微信公众号：#数*学第六感【详解】（1）因为不等式的解集为，所以恒成立，当，即时，则，解得，显然不符合题意；当时，则需满足，解得，即的取值范围为（2）若函数的两个零点在区间内，显然，当，则需满足，即，解得，当，则需满足，即，解得，综上可得.82．（22-23高一上·湖南长沙·开学考试）若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．【答案】【分析】利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质求解即可.【详解】因为一元二次方程的两个根都大于2，令，所以，解得，故实数a的取值范围为83．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是.【答案】【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围.【详解】设，开口向上，由题意知，即，解得，所以．故答案为：．84．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围.(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在内，另一个根在内；【答案】(1)；(2)(3).【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出；（2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案；（3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案.【详解】（1）令，设的两个根为.由题得，解得.（2）令，设的两个根为.若方程的一个根大于1，一个根小于1，由于，开口向上，故只需，解得.（3）令，设的两个根为.若方程一个根在内，另一个根在内，结合开口向上，则，解得.85．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1【答案】B【分析】由判别式可解得，由根与系数关系可得，由的范围结合不等式的性质变形可得答案．【详解】由题意可得，解得或，设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是.故选：B86．（2022·安徽·模拟预测）在区间上任取两个实数a，b，则方程有两个不同的非负根的概率为（

）本号资料全部来源于微信*公众号：数学第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】根据方程有两个不同的非负根，可得，在平面直角坐标系作出可行域，结合图象，根据几何概型即可得解.【详解】解：因为方程有两个不同的非负根，所以，则，如图，作出不等式组所表示得平面区域为，在区间上任取两个实数a，b，所表示得平面区域为正方形，，所以方程有两个不同的非负根的概率为.故选：B.考点14一元二次不等式的实际应用87．（2022·上海·模拟预测）有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（

）A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100【答案】D【分析】先求出第一轮后患了流感的人数，进一步求出经过第二轮后患了流感的人数.【详解】若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则经过第一轮后有（1+x）个人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]个人患了流感，∴x满足的不等关系为（1+x）+x（1+x）＞100.故选：D．88．（2024高三·全国·专题练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.【答案】(1).(2).【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围.（2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值.【详解】（1）由题意，得，整理得，解得，又，所以，故x的取值范围为.（2）由题意知网店销售的利润为万元，技术指导后，养羊的利润为万元，则恒成立.又，则恒成立.又，当且仅当时，等号成立，，即的最大值为6.5.89．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）第一机床厂投资生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在生产线的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将在生产线少投资万元全部投入生产线，且每万元创造的利润为万元，其中．（1）若技术改进后生产线的利润不低于原来生产线的利润，求的取值范围；（2）若生产线的利润始终不高于技术改进后生产线的利润，求的最大值．本号#资料全部来源于微#信公众号：数学第六感【答案】（1）；（2）5.5．【分析】（1）由题意，生产线原利润、改进后利润分别为万元，万元，根据它们的不等关系即可求的取值范围；（2）生产线的利润为万元，根据已知不等关系结合（1）有恒成立，应用基本不等式求的最大值.【详解】解:（1）由题意，得，整理得，解得，又，故．（2）由题意知，生产线的利润为万元，技术改进后，生产线的利润为万元，则恒成立，又，∴恒成立，又，当且仅当时等号成立，∴，即的最大值为5.5．【点睛】本题考查了不等式的实