导数的基本概念与切线方程10类题型（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学导数的基本概念与切线方程10类题型TOC\o"1-3"\n\h\z\u知识点梳理模块一导数的基本概念与计算【题型1】平均变化率与瞬时速度以及导数的定义【题型2】导数的定义【题型3】导数的几何意义【题型4】导数的运算及复合函数求导【题型5】导数的赋值运算模块二切线相关问题【题型6】在某点的切线【题型7】过某点的切线【题型8】已知过某点的切线条数求参数范围【题型9】公切线问题汇总【题型10】切线平行、垂直、重合问题知识点梳理一、导数的几何意义“在点(x0，f(x0))处”的切线就是指(x0，f(x0))是切点．当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即二、抛物线的切线的斜率当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0．三、基本初等函数的导数公式原函数导函数（为常数）四、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．特别地：①当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝cf′(x)；②当f(x)＝1时，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,gx)))′＝－eq\f(g′x,[gx]2).五、简单复合函数的导数（1）复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).（2）复合函数的求导法则正确地拆分复合函数是求导的前提一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.六、2类切线1.在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2.过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．模块一导数的基本概念与计算【题型1】平均变化率与瞬时速度以及导数的定义1.求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆．函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为A． B． C．1 D．2某物体的运动方程为，若（位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到△这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到△这段时间内的平均速度已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________．已知一物体的运动方程是，则此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度分别为________．若函数在区间，△上的平均变化率为，在区间△，上的平均变化率为，则A． B． C． D．与的大小关系与的取值有关【题型2】导数的定义设函数可导，（1）则．函数在区间内可导，且若，则A． B． C． D．不确定已知函数，则的值为（

）A． B． C．10 D．20已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)＞0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f（1）,f′（0）)的最小值为________．设f(x)＝eq\f(1,x)，则等于()A．－eq\f(1,a) B．eq\f(2,a)C．－eq\f(1,a2) D．eq\f(1,a2)若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【题型3】导数的几何意义导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（

）A．B．C．D．已知函数在上有导函数，图象如图所示，则下列不等式正确的是A．（a）（b）（c） B．（b）（c）（a） C．（a）（c）（b） D．（c）（a）（b）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2）如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．【题型4】导数的运算及复合函数求导对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，中间变量的选择应是基本函数的结构，切不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．注意：一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．不要忘记中间变量对自变量的求导．规律方法(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.求下列各函数的导数：(1)；(2)；(3)求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；(3)y＝e－x·sin2x；(4)y＝eq\f(ln3x,ex).求下列函数的导数．(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))； (3)y＝ln(4x－1)； (4)y＝ex2.【题型5】导数的赋值运算已知函数f(x)=f'(1)+xlnx,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.3【答案】A∵f'(x)=lnx+1,∴f'(1)=ln1+1=1,则f(x)=1+xlnx,∴f(e)=1+elne=1+e.已知函数的导函数为，且满足，则（

）A．1 B． C． D．4已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)满足f(x)=2xf'(e)+lnx,则f'(e)=.

已知函数，则__________.模块二切线相关问题曲线“在某点”处的切线是以该点为切点的直线，它只有一条；“过某点”的切线，该点一定在直线上，但不一定在曲线上，作出的切线也不止一条．1、易混淆知识点补充：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．2、过一点的切线方程①设切点为，则斜率②利用切点和斜率写出切线方程为：，③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感3、求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则4、由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．【题型6】在某点的切线曲线在处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．曲线在处的切线的倾斜角为，则（

）A．- B． C．1 D．-1曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为()A．y＝－3x＋3B．y＝－3x＋1 C．y＝－3 D．x＝2本号资料全#部来源于微信公众号：数学第六感已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9 B．6C．－9 D．－6【题型7】过某点的切线已知直线是曲线的切线，则实数的值为．求经过点且与曲线相切的直线方程．函数过点的切线方程为（

）A． B． C．或 D．或2022·新高考全国II卷——求过原点的切线曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．江苏高考：已知切线过某点，求切点本号资料全部来源于微信公众号：#数学第六感在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【题型8】已知过某点的切线条数求参数范围2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．2021新高考1卷·7——已知过某点的切线条数，求参数间的关系 若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2024届·广州中山大学附属中学校考过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．3广东省深圳市2022-2023学年高二下期末T8已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（

）A．2 B．4 C．6 D．82023届·深圳高级中学高三上学期期中T7若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．已知函数，过点有两条直线与曲线相切，则实数的取值范围是．（多选）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（

）A． B．4 C． D．22（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（

）A． B． C． D．过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（

）A． B． C． D．若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B． C． D．或【题型9】公切线问题汇总2023届·浙江绍兴二模T15与曲线和都相切的直线方程为__________.2023届·浙江嘉兴二模T15已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．（南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．2023届广东省燕博园高三下综合能力测试T16曲线与的公共切线的条数为________．广东省汕头市2022-2023学年高二下期末已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为.2023·福建厦门·5月适应性考试T16已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．2023·广东深圳·统考一模T8已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是．长沙雅礼中学2022届月考（六）T16本号资料全部来源于微信#公众号：数学第六感已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________2024届·江苏省南通，连云港质量调研(一)已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为.【题型10】切线平行、垂直、重合问题对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点