第82讲、圆锥曲线题型拓展二（教师版）

第82讲圆锥曲线题型拓展（二）知识梳理一、仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其它不变关系．我们以椭圆为例阐述上述性质．椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：（1）点变为；（2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变；（3）图形面积变为，对应图形面积比不变；（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程横坐标纵坐标斜率面积弦长不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比二、非对称韦达问题在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．三、光学性质问题1、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．【引理1】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．【引理2】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．【引理3】设椭圆方程为，分别是其左、右焦点，若点在椭圆外，则．2、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．【引理4】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．【引理5】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．【引理6】设双曲线方程为，分别是其左、右焦点，若点在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则．3、抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论1】已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）【结论2】已知：如图，抛物线，是抛物线的焦点，入射光线从点发出射到抛物线上的点，求证：反射光线平行于轴．四、三点共线问题证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法必考题型全归纳题型一：仿射变换问题例1．（2024·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线、且，切点分别为、．(1)求证：点的轨迹方程为；(2)若原点到、的距离分别为、，延长表示距离、的两条直线，与椭圆交于、两点，试求：原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．【解析】（1）证明：在椭圆中，因为，则，，椭圆的方程为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，则点在椭圆上，则，解得，所以，椭圆的标准方程为，①当直线、的斜率都存在时，设直线、的斜率分别为、，作变换，，则椭圆方程变为，记，，则，设点，①当直线、的斜率都存在时，设过点且与圆相切的直线的斜率为，则切线的方程为，即，由题意可得，整理可得，由韦达定理可得，整理可得，即，即；②作放射变换前，若直线、与两坐标轴分别垂直，则点，此时，点的坐标满足方程.综上所述，点的轨迹方程为.（2）边上的垂足所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差为，则，所以，，所以，，下面来求的值：①若、分别与两坐标轴重合，则；②若、的斜率都存在，设直线的方程为，则直线的方程为，联立可得，，所以，，同理可得，所以，，综上所述，，所以，，所以，点的轨迹方程为.所以，原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差为.例2．（2024·河北邯郸·高二校考期末）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线，且，切点分别为．(1)求证：点的轨迹方程为；(2)若原点到，的距离分别为，，延长表示距离，的两条直线，与椭圆交于两点，过作交于，试求：点所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．【解析】（1）由仿射变换得：，，则椭圆变为设原斜率存在分别为，，，变换后为，，所以，设变换后的坐标系动点，过点的直线为到原点距离为，即，由韦达定理得：，化简得：由于原坐标系中，，所以在原坐标系中轨迹方程为：，由解得，所以点的轨迹方程为，当切线斜率不存在时，由椭圆方程易得点在上.（2）如图所示延长交于，延长交于，由题意可知，所以四边形为矩形，，所以，且，分子分母同乘得，因为，当直线斜率存在时，设，，由解得，，所以，由解得，，所以，所以，当斜率不存在时仍成立，所以，，所以所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是定值.例3．（2024·全国·高三专题练习）MN是椭圆上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则_________，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则_________．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则_________．【答案】

【解析】作变换，那么椭圆变为圆，方程为：，是中点，那么，∴，是圆的左右顶点即直径，那么，∴，是过圆心O的一条弦即直径，那么，∴．变式1．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆交于两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为__________________________．【答案】【解析】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为，由垂径定理平分，其方程为，平分，△内切圆的圆心所在的定直线方程为．故答案为：变式2．（2024·全国·高三专题练习）Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为______________．【答案】【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，是的重心，又O是的外心′是等边三角形，∴．故答案为：变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______.记，当面积最大时，_____﹐_______.Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______.【答案】

4

2

1【解析】作变换此时椭圆变为圆，方程为，当时，最大，并且最大为，此时，.由于，，∴，，因为，所以.故答案为：；；4；2；1.变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且，（是非零实数），求______________.【答案】1【解析】解法1：可得点，设，则，由可得，即有，，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；故答案为：．解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，，设，则，，∴，，∴.故答案为：．题型二：非对称韦达问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且的周长是，直线与交于点M.(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c，据题意有：，，，则，所以椭圆的方程是.(2)(ⅰ)由(1)知，，，设直线PQ的方程是，代入椭圆方程得：，易知，设，，，则，直线的方程是：

①，直线的方程是：

②，设，既满足①也满足②，则，故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上.(ⅱ)设，，，则，∴.例5．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知点A，B分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上异于A，B的一个动点，的周长为12．(1)求椭圆E的方程；(2)已知点，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，则，，，，，由得，即由的周长为12，得，所以，，，故椭圆E的方程为：（2）设直线PQ的方程：，，（此处若设点斜式方程，需要讨论斜率是否存在，无讨论的扣1分，只讨论斜率不存在的情况给1分）联立方程组得，恒成立．，即①直线AP的方程：，直线的方程：，联立方程组消去y，得②由①②得所以，当点P运动时，点N恒在定直线上．方法二设，，设直线AP的方程：，直线BQ的方程：联立得①又∵P，Q两点在椭圆E上，因此，，②，故P，M，Q三点共线，所以，即③由②，③得将其代入①得所以，当点P运动时，点N恒在定直线上例6．（2024·陕西榆林·高二校联考期末）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率，为上一动点，面积的最大值为.(1)求的方程；(2)若过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，，分别为椭圆的左､右顶点，直线，分别与直线：交于，两点，证明：四边形为菱形.【解析】（1）由题意知，，（其中为半焦距），所以，，，故的方程为；（2）由（1）知，，，因为的斜率不为0，故设的方程为，，，联立得，消去并化简得，，，，直线的斜率，故直线的方程为，与联立可得，故点的坐标为，同理可求点的坐标为，.，即，所以，又，且，所以四边形为菱形.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，又，．因为，所以，，所以椭圆C的方程为．（2）解法一：设直线，，，，可得，所以．直线AM的方程：①直线BN的方程：②由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，联立①②可得．因为，所以所以点Q在直线上．解法二：设，，，两两不等，因为P，M，N三点共线，所以，整理得：．又A，M，Q三点共线，有：①又B，N，Q三点共线，有②将①与②两式相除得：即，将即代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）所以Q在定直线上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.变式6．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．(1)求的方程；(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【解析】（1）设，则，且，所以，，则，故①，又②，

联立①②，解得，，故椭圆的方程为．（2）结论：点在定直线上．

由（1）得，、，设，设直线的方程为，设点、，联立，整理得，，，

直线的方程为，直线的方程为，所以，，可得

，解得，因此，点在直线上.变式7．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，且经过点，其中为椭圆的离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为，直线过的右焦点，且交于两点，若直线与交于点，求证：点在定直线上．【解析】（1）因为长轴长，所以，因为椭圆经过点，所以，又，所以.整理得，解得或(舍).所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，，.当的斜率不存在时为，若在轴上方，则，，所以，，联立得，同理，若在轴下方得，与均在直线上.当的斜率存在时，设为，，.由，得，显然，则，.又，，消去，可得，所以点在直线上.综上，点在定直线上.变式8．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）已知椭圆：的离心率为，是上一点.(1)求的方程.(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.【解析】（1）由题意，椭圆的离心率为，是椭圆上一点，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）①因为过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，方程的判别式，设，，则，.两式相除得，．因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．从而；②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.变式9．（2024·广西桂林·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点P是椭圆C上任一点，若面积的最大值为，且离心率．(1)求C的方程；(2)A，B为C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直线与的交点在一条定直线上．【解析】（1）由题意可得：，解得：,所以C的方程为.（2）由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),设直线MN的方程为x=my+1.设,由，消去y得：，所以.所以.因为直线AM的方程为，直线BN的方程为，二者联立，有，所以，解得：，直线AM与BN的交点在直线上.变式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）已知椭圆：的左､右顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.【解析】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为：，联立方程组可得，得到，，则或，由根与系数的关系得到，，因为直线：，直线：，联立两直线方程得到：，即，即，整理得：，所以点在定直线上.题型三：椭圆的光学性质例7．（2024·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）由题意可知，则，所以，所以（2）由（1）得椭圆C的方程为，则，设，则，因为点P在椭圆上，所以，则，则，所以当时，，此时，所以；（3）证明：，设直线l的方程为，联立，消y得，则，则因为，则，即，即，即，即，化简得，解得或，时过点A，舍去所以，所以直线l得方程为，所以直线l过定点．例8．（2024·全国·高三专题练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为；S的取值范围为．【答案】【解析】根据椭圆定义得：，所以，因为的最大值为6，，所以，即，解得，所以离心率为；右焦点关于直线l的对称点，设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线，所以，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为，所以点到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍，则，即.故答案为：①#；②.例9．（2024·山东青岛·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则.【答案】/【解析】如下图所示：因为点关于的对称点为，则，因为，且，所以，，所以，，可得，则，所以，，故.故答案为：.变式11．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为．【答案】/【解析】不妨设点在第二象限，的内切圆与各边的切点分别为,设,则，故，，，由于点在第二象限，，所以，故，，因此，，当代入得（负值舍去），故答案为：变式12．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点现有一椭圆，长轴长为，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，且满足．①证明：直线过定点；②若，求的值．【解析】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，则轴，又因为，，所以，即，所以，则椭圆的标准方程为：.（2）①证明：设直线的方程为，，，联立，得：，则，，因为，所以，即，即，即，则，即，即，则或，当时，直线可化为，即直线过定点（与左焦点重合，舍）；当时，直线可化为，即直线过定点；综上所述，直线过定点；②由①得，则，，且，解得；因为，所以，即，即，即，即，即，即，则或，所以或.变式13．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．(1)求椭圆C的方程．(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）【解析】（1）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设，直线的斜率分别为，，由题意知，，由得，整理得，故椭圆C的方程为．（2）当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分．设M点坐标为，则．设与椭圆切于M点的切线方程为，与椭圆方程联立得消去y得：，，得．所以切线斜率为，所以法线斜率为，法线方程为，令，可得法线与x轴交点N的横坐标为，易知，，所以，，，所以，，所以，则或（舍去），所以法线MN平分，所以原结论成立．变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点，.直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，三点共线.若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示：因为点关于的对称点为，则，因为，且，所以，，所以，，可得，则，所以，，故.故选：C变式15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（

）A．2 B．8 C．10 D．12【答案】ACD【解析】设椭圆左焦点为，右焦点为，左顶点为，右顶点为.由已知可得，，，所以.①当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为，故A项正确；②当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播第一次经过，此时所经过的路程为，故C项正确；③当光线从出发后，不沿轴传播，如图2光线开始沿传播，到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为.根据椭圆的定义可知，，，所以，故D项正确.故选：ACD.变式16．（2024·全国·高三专题练习）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年—公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽､系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点为，，若由发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为.对于椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为，在上的射影为，其中.(1)求椭圆的方程；(2)如图，过作斜率为的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方）.点，是椭圆上异于，的两点，，分别平分和，若外接圆的面积为，求直线的方程.【解析】（1）延长交于点，则在中，，又因为由发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）令则且设则，代入椭圆方程可得，，得即①，又因为，分别平分和，所以所以在以为定点的阿波罗尼斯圆上，设圆的半径为，因为，所以，根据阿波罗尼斯圆的性质可知，直线过外接圆的圆心，则直线与外接圆的一个交点为，设另一个交点为，则根据阿波罗尼斯圆的性质可知，得则，而得所以由点斜式可得，即直线的方程为.变式17．（2024·贵州黔西·高二统考期末）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值.【解析】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，则轴，又因为，，所以，所以点，代入得，又，解得，，所以椭圆的标准方程为：；（2）设直线的方程为，，，联立，得：，则，，因为，所以，即，即，即，则，即，即，则或，当时，直线可化为，即直线过定点（与左焦点重合，舍去），所以，则，，且，解得；因为，所以，即，即，即，即，即，即，则或，所以或变式18．（2024·四川成都·川大附中校考二模）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点Q为直线上一点，且Q不在x轴上，直线，与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，，求的最大值.【解析】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，则轴，又因为，，所以，即，所以，所以椭圆C的方程为.（2）设，，则：，：联立，消去x得，解得，同理，联立，消去x得，解得，所以.令，则当且仅当，即，即时，取得最大值.变式19．（2024·江苏连云港·高二统考期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】椭圆对应的，所以，依题意可知是的角平分线，根据角平分线定理得.故选：D题型四：双曲线的光学性质例10．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于．【答案】/【解析】在平面直角坐标系中，如图，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由，，可得，，在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，即，所以，故答案为：．例11．（2024·全国·高二专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.

(1)当时，求双曲线的标准方程；(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.【解析】（1）如图所示：延长与交于，因为，所以，设，则，即，，故方程为；（2）设，则，，两渐近线所在直线方程为：，设直线方程为，将渐近线两侧平方与直线联立，则可得，则，则，故.例12．（2024·山东烟台·校考模拟预测）圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线的右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线的斜率为，且和反射光线互相垂直（其中为入射点），则双曲线的渐近线方程为．【答案】和【解析】设双曲线的方程为，设，，故，由此所以,将其代入双曲线方程中得，结合，，所以，解得或（舍去），因此，所以渐近线方程为：和.故答案为：和变式20．（2024·江苏南京·高二校考期末）圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】在平面直角坐标系中，如图，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由，，可得，.记双曲线的焦距为2c，长轴长为2a，在直角三角形中，，，由双曲线的定义，可得，所以，即，所以离心率.故选：C变式21．（多选题）（2024·高二单元测试）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则【答案】ABD【解析】因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；选项B，由双曲线的定义知，，若，则，因为，所以，解得，即B正确；选项C：，即C错误；选项D，因为平分，由角分线定理知，，所以，又，所以，解得，即D正确.故选：ABD.变式22．（2024·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知延长则必过点,如图：由双曲线的定义知，又因为，所以，因为，所以，设，则，因此，从而由得，所以，则，，，又因为，所以，即，即，故选：B.变式23．（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（

）A．的渐近线方程为 B．C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为【答案】ABD【解析】对于A选项，由已知可得，，∴C的渐近线方程为，故A正确；对于B选项，由题意得，AM的直线方程为，所以，∴为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，∴，故C错误；对于D选项，，当且仅当，即时，等号成立．∴四边形面积的最小值为，故D正确.故选：ABD．变式24．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（

）A．点、均在直线上 B．直线的方程为C． D．【答案】ABD【解析】由双曲线得，设的内切圆与分别切于点，则,所以，又,所以,即圆与轴的切点是双曲线的右顶点，即在直线上，同理可得圆与轴的切点也是双曲线的右顶点，即也在直线上，故选项A正确；因为点在双曲线上，所以，点到直线的距离，点到直线的距离所以，又，所以，即，又因为为的平分线，所以直线的方程为，故选项B正确；设圆与切于点，连接，设，因为,所以,所以，即，所以，又，所以，即，所以，故选项C错误；由B知的方程为，①设，同理得的方程为，②由①②得，③因为，所以设的方程为，因为在上，所以，代入③得，所以在直线上，所以到的距离为，又到的距离为，所以,故选项D正确；故选：ABD.变式25．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（

）A．双曲线C的方程为B．若，则C．若射线n所在直线的斜率为k，则D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10【答案】AC【解析】对于A，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为，所以，即，所以双曲线的方程为故A正确；对于B，由，得，解得，在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，，即，解得，故B错误；对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确；对于D，由题意可知，，当过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误.故选：AC.变式26．（多选题）（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）双曲线具有如下光学性质：如图，，是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为5D．若点坐标为，直线与相切，则【答案】ACD【解析】在双曲线中，，，则，故、，设，，对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，同理可知当点在第四象限内运动时，，当点为双曲线的右顶点时，，综上所述，，A对；对于B选项，当时，，，所以，B错；对于C选项，，故过点时，光由到再到所经过的路程为，C对；对于D选项，若，，因为，且，所以，即，解得，D对.故选：ACD.变式27．（多选题）（2024·广东广州·高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（

）A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的方程为C．过点作，垂足为K，则 D．点Q的坐标为【答案】BD【解析】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为，可得，所以离心率为，故A错误，B正确；因为，设，因为，且为的角平分线，所以，且，故C错误；因为，当时，整理得，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，令，整理得，又因为，可得，所以点Q的坐标为，故D正确；故选：BD.题型五：抛物线的光学性质例13．（2024·甘肃白银·高二统考开学考试）抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则，．

【答案】/【解析】由抛物线的光学性质知平分，又，所以，所以，由得，设准线交轴于点，则，且，且，所以，所以．故答案为：；.例14．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则．【答案】【解析】如图，由题意可知轴，，将代入中得，即,又，则，故的方程为，联立，可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），则，故，故答案为：.例15．（2024·全国·高二专题练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则.【答案】【解析】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，因为经过抛物线焦点，所以方程为，整理得，联立，得，，所以，又，所以，，所以.故答案为：.变式28．（2024·四川·校联考模拟预测）抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线：，一条光线从点沿平行于轴的方向射出，与抛物线相交于点，经点反射后与交于另一点，则的面积为.【答案】/0.625【解析】如图，依题意，由抛物线的光学性质知直线过焦点.而，，则：，设，.由，得.所以，.则.故答案为：.变式29．（2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线（），一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是，．(1)证明：；(2)求抛物线方程．【解析】（1）根据抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，且与轴不平行，设直线的方程为，由消去并化简得，设，，则.（2）依题意，，所以，则.设关于直线的对称点为，则，解得，即.则，，则，三点共线，，所以，解得，所以抛物线的方程为.变式30．（2024·四川·校联考模拟预测）抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，一条光线从点沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N．若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，由抛物线性质知直线过焦点，设，，直线的方程为，由，得：，所以，，则，又，所以，而，故，所以.故选：A.变式31．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则直线与间的距离最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，设直线的方程为，将直线的方程代入中，得，所以，，直线与间的距离，当时，取最小值4，故选：B.变式32．（2024·全国·高二专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，又，所以4），即，又，所以，解得或，所以，又因为，点到直线的距离，所以的面积.故选：.变式33．（2024·江西·统考模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（

）

A．6 B．8 C． D．29【答案】C【解析】由，可得的纵坐标为，设，则，解得，由题意反射光线经过抛物线的焦点，所以直线的方程为，整理可得，由消去整理得，解得，，则，所以，所以.故选：C变式34．（多选题）（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线了上另一点反射，沿直线射出，则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．与之间的距离为5【答案】ABD【解析】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，又是水平的，所以可得，因此，即选项B正确；易知直线的方程为，联立直线和抛物线，消去可得，由韦达定理可知，故A正确；由可得，所以点的坐标为，利用抛物线定义可知，即C错误；因为与两直线平行，所以与之间的距离为，即D正确.故选：ABD变式35．（多选题）（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（

）

A．若的方程为，则B．若的方程为，且，则C．分别延长交于点，则点在的准线上D．抛物线在点处的切线分别与直线，所成角相等【答案】BCD【解析】对于选项A、B：若的方程为，则，又，直线的斜率，直线的方程为：，联立，得，，，，，所以A选项错误；由，，得直线的方程为，直线的方程为，若，则点在的平分线上，点到直线和到直线的距离相等，设，则有，由，解得，所以，B选项正确；对于选项C：抛物线，焦点坐标，准线方程，设，，由，得，即，由，得，又直线的斜率，直线的方程为：，直线的方程为：，分别延长交于点，由得，即点横坐标为-2，所以点在的准线上，C选项正确；对于选项D：设抛物线在处的切线方程为：，联立，得，由，解得．该切线与直线所成角的正切值为．设该切线与直线所成角为，则，该切线与直线所成角的正切值与该切线与直线所成角的正切值相同，即抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等，D选项正确．故选：BCD.变式36．（多选题）（2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（

）A．B．点关于x轴的对称点在直线上C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线D．直线与间的距离最小值为4【答案】ACD【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点，设直线AB的方程为，将直线AB的方程代入中，得，所以由韦达定理得，，所以，故选项A正确；若点关于x轴的对称点在直线上，则，所以，即，不一定成立，故不合题意，选项B错误；直线与相交于点，所以直线OD的斜率为，又直线OA的斜率为，所以，所以A，O，D三点共线，故选项C正确；直线与间的距离，当时，d取最小值4，故选项D正确；故选：ACD.变式37．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（

）

A．的方程为 B．的方程为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【解析】由题可得，即的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，将代入可得，所以，于是，当与重合时，取得最小值.故选：BD.题型六：三点共线问题例16．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，.(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线.【解析】（1）抛物线的焦点为，当平行于轴时，设直线的方程为，设点、，，解得，所以，抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，设点、，联立可得，由韦达定理可得，，又因为直线的方程为，将代入直线的方程可得，可得，即点，所以，，因为，则，所以，直线的方程为，联立可得，则，故，则，由的中点为，可得，故、、三点共线．例17．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A，B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的斜率之积为，且椭圆C过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线AP，BP分别与直