第76讲、双切线问题 (教师版)

第76讲双切线问题知识梳理双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.解题思路：①根据曲线外一点设出切线方程．②和曲线方程联立，求出判别式．③整理出关于双切线斜率的同构方程．④写出关于的韦达定理，并解题．必考题型全归纳题型一：定值问题例1．（2024·河南·高三竞赛）已知抛物线C：与直线l：没有公共点，P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：.【解析】（1）设点.则.由，得.所以.于是，抛物线C在点A处的切线方程为．设点.则.设点.同理，.从而，，即.因此，直线AB恒过定点Q（k，1）.（2）设.与抛物线方程联立，消去y得.设点.则

①要证，即证，则只需证明，即.

②由方程组①知.故式②成立.从而，结论成立.例2．（2024·高二单元测试）已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值．【解析】（1）因为，所以，所以，可得椭圆的右焦点为，可得抛物线C的焦点为，∴，所以抛物线C的标准方程为，准线方程为；（2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设，因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在，且不为0，设过点的直线方程为，联立，消去得：，其判别式，令，得，由韦达定理知，，故为定值－1．例3．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．(1)求抛物线的方程；(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．【解析】（1）双曲线的上焦点为，设，，由已知得：，则，代入双曲线方程可得，解得或（舍去），所以，又因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为．（2）设点，，对求导得，则切线的方程为，由整理得，令，则，即，同理可求得．将代入直线可得：，同理可求得直线的方程：，所以，的直线方程．联立消去得，则韦达定理：，则弦长，点到直线的距离，所以，又，故．变式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.(1)若直线与只有一个公共点，求；(2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点.①证明：②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）将直线与抛物线联立，消去可得，由题意可知该方程只有一个实数根，所以，又点在抛物线上，即；可得，解得（2）①易知抛物线的准线方程为；不妨设，切点，如下图所示：将求导可得，则切线的斜率，切线的方程为，又，的方程可化为；同理可得的方程可化为；又两切线交于点，所以，因此可得是方程的两根，因此；所以；因此②设直线和的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以；又；；；所以，将代入可得，则可得，即；又，所以，可得，则为定值.变式2．（2024·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3，∴，∴；∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴；（2）设，过点的直线方程设为，由得，，若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，，∴，，∵到的距离，∴，∴，，∴，∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64.题型二：斜率问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为可得a=4b，c=b，然后根据△PF1F2的周长可得b=1，a=4，从而可得椭圆的方程．（2）由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到，．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标和，最后根据斜率公式求解即可．试题解析：(1)由题意得e=，∴a=4b，∴c=b．∵△PF1F2的周长是8+2，∴2a+2c=8+2，∴b=1,∴a=4．∴椭圆C的方程为+y2=1．(2)由（1）得椭圆的上顶点为M(0,1)，又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1，∵直线y=kx+1与圆T相切，∴，整理得32k2+36k+5=0，∴由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，∴．同理可得,∴．故直线EF的斜率为．例5．（2024·全国·高三专题练习）设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．（Ⅰ）若点为，求直线的方程；（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）设直线PA方程为，直线PB方程为，由，可得，因为PA与抛物线相切，所以，取，则，即A（1，1）．同理可得B（1，-1）．所以AB：．（Ⅱ）设，则直线PA方程为，直线PB方程为．由可得．因为直线PA与抛物线相切，所以△=．同理可得，所以时方程的两根．所以，．则=..又因为，则，所以====.例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，使得以为直径圆过原点，若存在写出直线方程；(3)设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．【解析】（1）令椭圆半焦距为c，因，即，又，则有，，因△的周长是，即，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设直线L方程是，，，由消去y得：，，即，则，弦的中点，，以为直径的圆的方程是，因此圆过原点，则有，解得，显然满足，所以存在符合条件的直线，其方程为.（3）由（1）知，椭圆的上顶点为在圆T外，显然过点M的圆T的切线斜率存在，设过点与圆相切的直线方程为，于是得，即，设切线ME，MF的斜率分别为，有，由消去y得，，于是得点E的横坐标，同理得点F的横坐标，直线EF的斜率：，显然函数在上单调递增，则有，所以斜率的取值范围为.变式3．（2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切．(1)求抛物线的方程；(2)点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为．求证：．【解析】（1）∵圆与抛物线准线相切，∴，又圆过和原点，∴，∴，解得.∴抛物线的方程为；（2）设，，方程为，∴，∴抛物线在点处的切线的斜率，∴切线的方程为，即，化简得：，又因过点，故可得，即，同理可得，∴为方程的两根，∴，，∴，∴.变式4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.(1)求抛物线的方程;(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.【解析】（1）如图，易知，即.∵

∴，即.代入得，∴抛物线.（2）法1:易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，设直线，直线，则，即.依题意，有，即.用代替得，∴直线的斜率为.综上知，直线的斜率为定值.法2：易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，设，则由得：，化简得.∴直线的斜率为.综上知，直线的斜率为定值.变式5．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.(1)若点M的坐标为，求的面积；(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.【解析】（1）由已知条件得，因为，则，又，因此的面积为.（2）设，由，得，，又，，，于是，即为定值.（3）因为直线:与相切，则，即，同理，由直线:与相切，可得，于是、是关于的方程的两实根，注意到，且，故，因为定值，故不妨设（定值），于是有，即.依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，，设，，由得，同理，所以，当且仅当时取等号，因此，解得，所以的范围为，当或时，直线关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆顶点，所以圆M的方程为或.题型三：交点弦过定点问题例7．（2024·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．(1)求椭圆C的方程；(2)设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．【解析】（1）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为，由题设条件知，，，故椭圆C的方程为．（2）设点是直线上任意一点，由题可知点P，M，O，N在以为直径的圆上，此圆方程为

①又圆O的方程为，

②①－②可得直线方程为：，则直线恒过定点．例8．（2024·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，P(4,4)是C上的一点.(1)若直线PF交C于另外一点A，求；(2)若圆：，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，证明：直线MN过定点.【解析】（1）由题设，则，故，则，又直线过抛物线焦点，则直线，联立直线与抛物线并整理得：，故，即，所以，结合抛物线定义知：.（2）设，，则（斜率存在且不为0）：，所以为，则①，由，则，所以，而，与圆相切，则，整理得：，同理可得：，所以为的两个不同根，故，，代入①，有，所以，即，可得，所以直线过定点.例9．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．【解析】（1）设，则，因为，即，当，即时，则，整理得；当，即时，则，整理得，不成立；综上所述：点的轨迹的方程.（2）由（1）可知：曲线：，即，则，设，可知切线的斜率为，所以切线：，则，整理得，同理由切线可得：，可知：为方程的两根，则，可得直线的斜率，设的中点为，则，即，所以直线：，整理得，所以直线恒过定点.变式6．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线，过抛物线的焦点F且斜率为的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，．(1)求抛物线C的方程；(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，，根据题意可知直线l的方程为，联立得，所以，因为，所以，解得，所以抛物线C的方程为．（2）如图所示，抛物线的准线方程为，当点M在特殊位置时，切点P，Q关于y轴对称，要使MN⊥PQ，点N必在y轴上．故设，，，，抛物线C的方程为，求导得，所以切线MP的斜率，则直线MP的方程为，整理得，又点M在直线MP上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，所以因为，，所以，当时，，即存在定点，使得直线MN与直线PQ垂直．变式7．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．【解析】（1）设椭圆的半焦距为．当圆在椭圆的内部时，，椭圆的方程为．当圆在椭圆的外部时，，椭圆的方程为．（2）证明：设．因为椭圆的短轴长小于4，所以的方程为．则由已知可得，切线的方程为的方程为，将代入的方程整理可得，．显然的坐标都满足方程，故直线的方程为，令，可得，即直线过定点．变式8．（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知在椭圆上，圆，圆在椭圆内部.

(1)求的取值范围；(2)过作圆的两条切线分别交椭圆于点（不同于），直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】（1）由题意，故椭圆方，设为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则恒成立，即对任意恒成立，令，，则，于是有；（2）设，，，（由（1）斜率都存在），由于两直线均与圆C相切，则，则为方程的两根，由韦达定理可知，设，由韦达定理可知，由.则.故过定点.变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：的焦点．(1)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，求的面积；(2)若点T为直线上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．【解析】（1）据题意，直线l的斜率为，则直线l的方程为，设，，由，联立可得，易得，故，，因此，．（2）证明：设点，，，以M为切点的抛物线的切线方程为，由，联立可得，由判别式，即，即，显然，可得，因此，以M为切点的抛物线的切线方程为，同理可得，以N为切点的抛物线的切线方程为，由于这两条切线都经过点，代入可得，，则直线MN的方程为，可得直线MN过定点．变式10．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4．(1)求抛物线的方程；(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，，请问直线是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．【解析】（1）因为抛物线的焦点为，圆的圆心，而经过的直线被圆截得的线段长度，其中为圆心到直线的距离，则，所以，显然，的最大值为焦点到圆心的距离，即，所以，又，解得或（舍），故抛物线的方程为．（2）设点，，，由，即，得，则点处的切线方程为，直线的方程为：，则点，同理点，可得：，直线的方程为：，注意到点，满足，直线的方程为．注意令，则，直线经过定点．变式11．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；(2)若过点作圆（圆在椭圆内）的两条切线分别与椭圆相交于两点（异于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题知解得，故椭圆的方程为（2）设点为椭圆上任意一点，则，所以，所以当时，取最小值，即椭圆上的点到点的最小距离为，因为圆在椭圆内部，所以半径，所以直线的斜率均存在，设过点与圆相切的直线为，设直线的斜率分别为，则圆心到直线的距离，化简得：①，从而，由得：，解得：或将代入可得，所以，所以直线BD的斜率，直线BD的方程为：化简为：，即所以，当变化时，直线BD总过定点.题型四：交点弦定值问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．【解析】（1）设抛物线的方程为，∵抛物线的焦点到直线的距离为，∴，解得或（舍去，∴，，∴抛物线的方程为．（2）设，，设切点为，曲线，，则切线的斜率为，化简得，设，，，则，是以上方程的两根，则，，，直线的方程为：，整理得，∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，∴，即直线的方程为：，化简得，又∵，∴，故直线过定点．（3）设，，，过的切线，过的切线，则交点，设过点的直线为，联立，得，∴，，∴，∴．∴点满足的轨迹方程为．例11．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为(p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB与轴的交点坐标；（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.【解析】（1）设，，抛物线方程可变为，所以，所以，，直线的方程为，直线方程为，则解得，，又，所以直线的方程为，化简得，令，，又，所以，所以直线AB与轴的交点坐标为.（2）记，设点，可得直线的方程为，由可得，同理，所以，所以，同理，所以，设，记，则，，，，，于是，所以，所以.例12．（2024·全国·高三专题练习）已知拋物线，为焦点，若圆与拋物线交于两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若点为圆上任意一点，且过点可以作拋物线的两条切线，切点分别为.求证：恒为定值.【解析】（1）由题意可知，半径为，由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴轴，故由对称性可知：轴于点，在直角三角形中，,因此故，将其代入抛物线方程中得，故抛物线方程为：（2）令，抛物线在点处的切线方程为,与联立得①由相切得，代入①得故在点处的切线方程为，即为同理：点处的切线方程为，而两切线交于点，所以有，则直线的方程为:，由得,所以于是，又点在圆上，所以,即.变式12．（2024·山东青岛·统考二模）已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率等于，点是双曲线在第一象限上的点，直线与轴的交点为，的周长等于，.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，对应的切点为，.证明：直线与椭圆相切于点，且.【解析】（1）由题意知，，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以的方程为：.（2）设，则，，，设切线的斜率分别为，设的方程为：，因为，所以，所以，所以

（*）因为，整理得，即，所以，同理：，因为切线均过点，同理根据上面可知，为的两解，所以，所以，为直角三角形，因为，所以，所以，同理：，所以直线的方程为：，将直线：，代入椭圆的方程：可得：，即，所以，，所以直线与椭圆相切，切点，所以，所以，所以.题型五：交点弦最值问题例13．（2024·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆：的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆：的两条斜率存在的切线分别与椭圆交丁点，，求的最大值.【解析】（1）由题意得，又，所以，，，所以椭圆的标准方程为.（2）设圆的切线的方程为，则，整理得，其两根，满足①，这里，，且②，由①②得，设，，则，，这里，，所以，，则，因为当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，即.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，，由消去得，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，从而可得结论；（Ⅱ）设，则，，，，，利用导数求出的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设，以为切点的切线方程分别为，.由消去得.则，.这两条切线的斜率分别为，.由这两切线垂直得，得.所以直线恒过定点.（Ⅱ）设，则，，当时，则，可得，当时，则，，，同样可得.所以.由.所以.令，..所以在上为减函数，在上为增函数.所以.（或当时取等号.）例15．（2024·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.【解析】（1）由题意，设的方程为，因为圆经过抛物线的焦点，所以，解得，所以的方程为.（2）如图所示，设，则，联立方程组整理得，所以，且，所以.由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，将代入上式整理得，同理可得抛物线的过点的切线方程为由解得，所以，所以到直线的距离，所以的面积，当时，，所以面积的最小值为.变式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知椭圆，是椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线与直线交于点，是直线与椭圆的两个交点.(1)求直线与直线的斜率之积；(2)求面积的最大值.【解析】（1）设，，，由可得，对其求导可得，所以当时，直线的斜率为，则直线的方程为，即.当时，成立，所以直线的方程为.同理可得直线的方程为，又因为是两条切线的交点，所以有，，所以，则，又因为，所以.（2）①当时，联立直线与椭圆方程，得，，，则，联立直线与椭圆方程，解得点.则点到直线的距离，所以令，则，令，则，记，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，，即时，.所以，所以面积的最大值是.②当时，直线的方程为，联立，可得，根据椭圆的对称性，不妨令，则，则点到直线的距离，所以令，则，记，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当，时，.所以，所以面积的最大值是.根据对称性可得当时，面积的最大值是.所以当时，的最大值为.当时，同理可求得，当时，的最大值为.综上，当时，面积的最大值是.变式14．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为3．(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．【解析】（1）由点到圆M上的点的距离的最小值为解得．（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则．设切点，，则易得直线PA：，直线PB：，从而得到．设直线AB：，联立抛物线方程，消去y并整理，得，则，即，且，，故．因为，点P到直线AB的距离，所以，①又点在圆M：上，故，代入①得，，而，故当时，,故当时，.题型六：交点弦范围问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线的焦点为F，点P是半椭圆上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴于点M、N．（1）证明：；（2）求的取值范围．【解析】（1）由题意知，直线PA的斜率存在且不为0，设点P的坐标为，直线PA方程为．令，可知点M的坐标为．由，消去x得．因为直线与抛物线只有一个交点，故，即．因为点F的坐标为，故，．则．因此，亦即．（2）设直线PB的方程为．由（1）可知，n满足方程．故m，n是关于t的方程的两个不同的实根．所以．由（1）可知：，同理可得．故，．则，因为，所以．因此，的取值范围是．【点晴】本题考查直线与椭圆的位置关系，计算量较大，考查学生的运算求解能力、转化与化归的思想，是一道中档题.例17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点，点在椭