第52讲、立体几何中的轨迹问题（教师版）

第52讲立体几何中的轨迹问题知识梳理立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：1、定义法2、交轨法3、几何法4、坐标法5、向量法必考题型全归纳题型一：由动点保持平行求轨迹例1．（2024·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由面，而面，则，又，又，面，则面，由面，则，同理，，面，则面，所以垂直于面所有直线，且面，若，则在边长为的正△的边上，故轨迹图形面积为，①对；若分别为中点，连接，由正方体的性质易得，，所以共面，且为平行四边形，故面即为面，由面，面，则面，同理可得面，，面，所以面面，要使∥平面，则在△的边上，所以轨迹长为，②错；若分别为的中点，连接，显然，所以共面，即面，由，面，面，则面，又，同理可得面，，面，所以面面，故面内任意直线都与面平行，要使∥平面，则在四边形的边上运动，此时轨迹长为，③对；若分别是的中点，并依次连接，易知为正六边形，显然，，由面，面，则面，同理可得面，，面，所以面面，由面，则面，故垂直于面所有直线，要使，则在边长为的正六边形边上运动，所以轨迹图形面积为，④对；故选：C例2．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为．【答案】【解析】如图，取的中点，并连接、、，因为E在棱上且满足，即E是棱的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以动点F在侧面上的轨迹即为，因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：.故答案为：.例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且∥平面EFG，则P点的轨迹长度为

【答案】2【解析】因为∥，则四点共面，连接，因为E，F分别为所在棱的中点，则∥，且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，因为F，G分别为所在棱的中点，则∥，且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，，平面，所以平面FGE∥平面，且平面平面，可得当且仅当点P在棱BC上时，即平面，满足∥平面EFG，所以点P的轨迹为线段BC，长度为2.故答案为：2.变式1．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为．

【答案】/【解析】连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，易得，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，且都在面内，所以平面平面，所以的轨迹为线段，因为，所以，因为，所以，所以，故三棱柱的表面积为.故答案为：.变式2．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为.

【答案】【解析】取的中点，连接，如图所示：因为，平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，，所以平面平面.因为平面，平面，所以点在平面的轨迹为.所以.故答案为：变式3．（2024·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体的棱长为3，点，分别在线段和线段上，且，，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点的轨迹在正方形内的长度为.【答案】【解析】如图，在上取点，使得，在上取点，使得，连接.根据正方体的性质可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以，四边形为平行四边形，所以，，且.同理可得，，且，.根据正方体的性质可知，，且，所以，，且，所以，四边形是平行四边形，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可得，平面.因为平面，平面，，所以，平面平面.又平面平面，所以，根据面面平行的性质定理可知，只有在线段上运动时，满足条件.过点作，垂足为，易知，且，，所以，.故答案为：.变式4．（2024·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是．【答案】【解析】如图，边长为2的正方体中，动点M满足平面，由面面平行的性质得：当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意，连接，，，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，同理，又平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，又因平面，所以平面平面，又平面，所以动点M的轨迹所形成区域为，，，所以动点M的轨迹所形成区域的面积是.故答案为：.变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为.【答案】【解析】取的中点，连接，如图所示：分别是棱的中点，所以，又因为平面平面，所以平面.因为，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面平面，所以平面.因为，所以平面平面.因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，所以的轨迹为线段，则.故答案为：.变式6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为．【答案】/【解析】取的中点的中点，连结．正方体的棱长为2．为中点，所以，所以且．因为为分别为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为面面，所以面．同理可证：面．又面面，所以面面．所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形．因为正方体的棱长为2，所以，所以三角形的周长为．故答案为：.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为.【答案】【解析】设的外心为，的中点为，过作的平行线，则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系，为等边三角形，，，，，，，设，由得：，整理可得：，动点的轨迹是以为球心，为半径的球；延长到点，使得，，，则，，又平面，平面，平面，平面，由，平面，平面平面，即平面为平面，则点到平面的距离即为点到直线的距离，，，，即，点到直线的距离，截面圆的半径，球被平面截得的截面圆周长为，即平面截点的轨迹所形成的图形的周长为.故答案为：.题型二：由动点保持垂直求轨迹例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体中，点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为.【答案】【解析】如图，只需过点P作直线CQ的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点M的轨迹.分别取，的中点R，S，由，知，易知，又，，平面ABRS，所以平面ABRS，过P作平面ABRS的平行平面，点M的轨迹为四边形，其周长与四边形ABRS的周长相等，其中，，所以点M所构成的轨迹的周长为.故答案为：例5．（2024·湖南长沙·长郡中学校考二模）在正四棱柱中，，E为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为.【答案】/【解析】如图，连接，，由题可知，，平面.因平面，则.又平面，平，，则平面.又平面，则；如图，过E做平行线，交于F，则F为中点.连接，过做垂线，交于G.由题可得，平面，又，则平面.因平面，则.又平面，平面，，则平面.因平面，则；因平面，平面，，则平面.连接，则点P轨迹为平面与四棱柱的交线，即.注意到，，则，故.则点的轨迹的长为.故答案为：.例6．（2024·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是.【答案】【解析】如图所示：正方体，设，则内切球的半径，其中为的中点，取的中点，连接,则有：,又,平面，所以平面，所以动点的轨迹是平面截内切球的交线，即平面截内切球的交线，因为正方体，，如图所示：连接,则有且，，且，设到平面的距离为：，则在三棱锥中，有，所以，即，解得：，截面圆的半径，所以动点的轨迹长度为：，即，解得，所以，正方体的体积：，故答案为：.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱的所有棱长均为4，空间内的点满足，且，则满足条件的所形成曲线的轨迹的长度为.【答案】/【解析】设的中点为，的中点为，易知，因为，且，所以点在以，为直径的球上，球心分别为，，半径分别为，，即，，又，所以，即，过作，垂足为，则，因为两球的交线为圆，所以点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以轨迹长度为.故答案为：.变式9．（2024·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为．【答案】10【解析】作母线，，连接，因为，所以共面，是圆柱的一个截面，平面，平面，所以，又由已知得，而，平面，所以平面，由得，所以平面，矩形即为点轨迹，，则，又，所以矩形的面积为．故答案为：10.变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为．【答案】10【解析】因为是圆柱下底面圆的直径，所以，又，，平面，所以平面，设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以点在平面内，又点在圆柱的表面，所以点的轨迹是矩形，依题意得，，，所以，所以矩形的面积为.故点的轨迹所围成图形的面积为.故答案为：.变式11．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱中，，，，动点在内（包括边界上），且始终满足，则动点的轨迹长度是.【答案】【解析】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，，又因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，因为，，则四边形为菱形，所以，，又因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，.在平面内，过点作，垂足为点，因为平面，平面，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，、平面，所以，平面，由于动点又在内，所以动点在平面与平面的交线上，因为，，，所以，，由等面积法可得，因此，动点的轨迹长度是.故答案为：.变式12．（2024·山东枣庄·高一统考期末），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为.

【答案】【解析】取中点，连接，设，则，，，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为正方体中面，面，所以，因为面，，所以面，因为正方体中面，面，所以，所以点的轨迹为矩形，在直角中，所以矩形面积为.即点的轨迹所围成图形的面积为.故答案为：变式13．（2024·四川广元·高二广元中学校考期中）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为．

【答案】【解析】因为是圆柱下底面圆的直径，所以，又，，，平面，所以平面，设过A的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，，，则四边形为矩形，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以点在平面内，又点在圆柱的表面，所以点的轨迹所围成图形是矩形，依题意得，，，所以，所以矩形的面积为，故点的轨迹所围成图形的面积为．故答案为：．变式14．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】取的中点，的中点，连接、、、、，设，如下图所示．因为四边形是正方形，又点是棱的中点，点是的中点，则，，，所以，，所以，，所以，，所以，，即．在正方体中，平面，又平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，又，、平面，所以，平面．所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为的三边，因为正方体的棱长为，由勾股定理可得，同理可得，，所以的周长为．故选：C．题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹例7．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为．【答案】/【解析】由题意，在面的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆弧，所以轨迹长度为.故答案为：例8．（2024·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为.【答案】【解析】在正方体中，如图，平面，平面，则，而，，，平面，于是平面，又平面，则，同理，而，，平面，因此平面，令交平面于点，由，得，即，解得，而，于是，因为点在内，满足，则，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧，而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，于是正的内切圆半径，则，即，，所以圆在内的圆弧为圆周长的，即点的轨迹长度为故答案为：例9．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是．【答案】【解析】当时，如图，点的轨迹是在面，，三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，所以此时点点P在该正方体的表面上运动的轨迹的长度为，故答案为：变式15．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是．【答案】【解析】因为，所以点可能在平面内，可能在平面内，可能在平面内.当点在平面内时，由平面，平面，可知，所以，所以，所以点到的距离为，所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方形边界及其内部的交线.如上图，，，则的长，所以，当点在平面内时，点P的轨迹长度是.同理可得，当点在平面内时，点P的轨迹长度也是.当点在平面时，点P的轨迹长度也是.综上所述，点P的轨迹长度为.故答案为：.变式16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且为等边三角形，空间中的动点P满足，当点P在所在的平面内运动时，点P的轨迹是；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为.【答案】圆【解析】设球的半径为r，则，解得r＝3，在平面内，动点P的轨迹组成一个圆，以线段AB所在直线为x轴，以靠近点B且长度为1处为坐标原点，则，，此时动点P的轨迹方程为，设其圆心为，则在空间中，z轴和xOy坐标平面垂直，动点P的轨迹为xOy平面中的圆绕x轴旋转一周形成球的球面，如图所示，所以点P的轨迹是两个球面的交线，这两个球分别是以M和为球心，在中，结合余弦定理得到.设交线所围成的圆半径为R.则，解得.所以交线的长度为.故答案为：圆；变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为．【答案】【解析】如图取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、，因为是棱的中点，所以，则为的四等分点且，由正四棱柱的性质可知且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以、、、四点共面，所以平面平面，连接交于点，因为是侧棱上的动点，直线交平面于点，所以线段即为点的轨迹，如图在平面中，过点作，交于点，因为，所以，所以，所以，设、，，依题意，，所以，要求动点的轨迹长度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，因为，所以，所以，当且仅当，即、时取等号，所以，所以，即动点的轨迹长度的最小值为.故答案为：变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知棱长为8的正方体中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为．【答案】【解析】，则在的延长线上，且，由正方体性质知平面，当在平面上时，平面，，由得，因此点轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的部分即圆周的，弧长为，从而知点在以为顶点的三个面内．当在棱上时，，，因此点在面时，点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的圆弧，圆弧的圆心角为，弧长为，同理点在面内的轨迹长度也为，所以所求轨迹长度为．故答案为：．变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为．【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系，则设平面的法向量则有，令，则则设，则∵，则又∵PM=PD，则整理得：联立方程，则可得，可得当时，，当时，在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则故答案为：．变式20．（2024·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥的体积为，底面三角形是边长为的正三角形且其中心为，三棱锥的外接球球心到底面的距离为2，则点的轨迹长度为.【答案】【解析】三棱锥的体积为，底面三角形是边长为的正三角形，设三棱锥的高为所以，故，又正三角形的外接圆半径为，则，又三棱锥的外接球球心到底面的距离为2，所以三棱锥的外接球半径，即，又因为顶点到底面的距离为，所以顶点的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面和截面圆之间）且球心到该截面圆的距离为，所以截面圆的半径为，故顶点的轨迹长度是．故答案为：．变式21．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，在侧面内(含边界)有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为．【答案】【解析】如图，过作于，平面于，过作于，连接，则为二面角的平面角，由，得．又，所以，在中，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则直线的方程为，直线的方程为，所以直线与的交点坐标为，所以的轨迹为线段，长度为．故答案为：．题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹例10．（2024·山东·高三专题练习）如图所示，在平行四边形中，E为中点，，，.沿着将折起，使A到达点的位置，且平面平面.设P为内的动点，若，则P的轨迹的长度为.【答案】【解析】建立如图示空间直角坐标系，则,设则∴\,∵∴,∴整理化简得：∴P的轨迹为圆，交于,于,则∴所对应的圆心角，∴弧长为．故答案为：．例11．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为.【答案】/【解析】如图，在棱长为6的正方体中，则平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如图，在平面中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，，，由，知，化简整理得，，圆心，半径的圆，所以点的轨迹为圆与四边形的交点，即为图中的其中，，，则由弧长公式知故答案为：.例12．（2024·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为．【答案】【解析】如图所示，取BC中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知MG⊥底面ABCD，故MN与底面ABCD的夹角即，∴，则，故N点在以G为原点为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上，即N的轨迹为图示中的圆弧，易知，所以长为.故答案为：.变式22．（2024·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为．【答案】【解析】如图所示，连接交平面于，连接，因为平面，所以，又，且与相交，所以平面，所以，同理可得，又，所以平面，∴是平面所成的角，∴．由可得，，即．在四面体中，，平面，所以，所以为的中心，又，．∴四面体为正三棱锥，如图所示：在等边三角形中，，，∵，∴，即在平面内的轨迹是以为圆心，半径为的圆，∴周长为.故答案为：变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点P的轨迹长度为a；使直线平面BDC的点P的轨迹长度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为．（用“＜”符号连接）【答案】b＜c＜a【解析】若点到点的距离为2，则点的轨迹为球的表面与正方体交轨，在平面内，的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧，由对称性知，这样的圆弧同样在平面内和平面内，故的轨迹长度；若平面，则点的轨迹为过点且平行于平面的平面与正方体交轨，而平面平面，所以点的轨迹长度为三角形的周长（除掉点，不影响周长），故，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体交轨，在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，故点的轨迹长度为，∵，∴，即．故答案为：．变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为．【答案】【解析】如图所示，连接交平面于，连接，由题意可知平面，所以是与平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面体中，,,所以四面体为正三棱锥，为的重心，如图所示：所以解得，,又因为，所以，即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，所以.故答案为:.变式25．（2024·山西大同·高一统考期中）已知是半径为2的球面上的四点，且．二面角的大小为，则点形成的轨迹长度为．【答案】【解析】由题意，为等腰直角三角形，且外接圆半径，圆心为中点，又外接球半径，球心，则，易知：为等腰直角三角形，又二面角的大小为，由为外接圆直径，且面面，则与面所成角为，所以到外接圆圆心距离，故外接圆的半径为，注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示，轨迹在大球冠对应外接圆优弧的一侧，在小球冠对应外接圆劣弧的一侧，所以轨迹长度为.故答案为：变式26．（2024·贵州铜仁·高二统考期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥，其侧棱和底面边长分别是8cm和6cm，是顶点在底面上的射影．若是底面内的动点，且直线与底面所成角的正切值为，则动点的轨迹长为．

【答案】【解析】由题意可知是底面等边三角形的的中心，所以,进而,连接,由于底面，所以即为直线与底面所成的角，所以,因此点在以为圆心，半径为的圆上运动，所以的轨迹长为,故答案为：变式27．（2024·广东佛山·高二校联考期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，连接，因为⊥平面，平面，所以⊥，故为直线BP与上底面所成角，则，因为，所以，故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，故轨迹长度为.故选：B变式28．在正方体中，动点M在底面内运动且满足，则动点M在底面内的轨迹为（

）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对【答案】A【解析】因为，故在圆锥面上，该圆锥以为轴，为顶点，而M在底面内，故动点M在底面内的轨迹是以D为圆心的四分之一圆弧．故选：A.题型五：投影求轨迹例13．（2024·安徽滁州·高三校考阶段练习）如图，在中，，，，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将沿线段AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法错误的是（）A．不存在点，使得B．点在平面上的投影轨迹是一段圆弧C．与平面所成角的余弦值的取值范围是D．线段的最小值是【答案】D【解析】过点B作AD的垂线,交AD于点E,连接,,过点作BE的垂线,交BE于点H,易知,则平面,所以为二面角的平面角的补角,即,所以,即H为BE的中点,易知平面平面,又,所以平面ABC,所以在平面ABC上的投影为点H,对于选项A,若,连接CH,则,而这是不可能成立的,故A正确；对于选项B,因为,所以点E的轨迹为以AB为直径的一段圆弧,又H为BE的中点,所以点H的轨迹也为一段圆弧,故B正确；对于选项C,连接AH,则与平面ABC所成的角为,设,则,所以由,得,所以,所以,所以,所以,故C正确；对于选项D,设,则,,,其中,故,故D错误,故选:D例14．（2024·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）如图，在等腰中，，，为的中点，为的中点，为线段上一个动点（异于两端点），沿翻折至，点在平面上的投影为点，当点在线段上运动时，以下说法不正确的是（

）．A．线段为定长 B．C． D．点的轨迹是圆弧【答案】B【解析】翻折后的立体图形，如图所示．对A，因为点在平面上的投影为点，所以平面，又平面，所以，故为直角三角形，又为斜边的中点，所以为定长.故A正确．对C，当在处时，此时点在平面上的投影为点与重合，故，又在中，，因为为线段上一个动点（异于两端点），所以.故C正确．对D，因为，为的中点，所以点的轨迹是圆弧．故D正确．故选：B．例15．（2024·江西赣州·高二南康中学校考阶段练习）在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是A．线段为定长 B．C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧【答案】B【解析】如图所示，对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确；对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确；对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；故选B．变式29．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率．【答案】/【解析】连接,因为，所以,所以,在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即，如图，椭圆的长轴长是，过点向作垂线，垂足为，由题意得，因为，所以，所以，得，所以椭圆的离心率为，故答案为：变式30．（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为.【答案】【解析】因为翻折前后长度不变，所以点可以在空间中看做以为球心，AC为直径的球面上，又因为的投影始终在上，所以点所在的面垂直于底面，故点轨迹为垂直于底面ABC的竖直面去截球所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为时，的长度（由余弦定理可得，所以此时），如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，点，设点，翻折后点的投影在轴上，所以点纵坐标为0，即由，，根据空间两点之间距离公式可得轨迹：，又因为动点要符合空间面翻折结论：，即，其中，又动点N在线段AB上动，设，故，且，由，可计算得横坐标范围为，且点在上方，由，计算可得圆弧所在扇形圆心角为，所以弧长为.故答案为：.变式31．（2024·北京·高三专题练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为.【答案】【解析】根据折叠关系找出与有关的几何关系，得出点的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫过的弧长即可求解.在折叠后的图中，作垂足为，连接，根据三垂线定理，，所以就是二面角的平面角为，，根据折叠关系，与全等，对应边上的高位置相同，即在线段上，且是线段的中点，取的中点，连接，则，所以点的轨迹为以为直径的圆的一部分，当从运动到，点在圆周上从点运动到，这段弧所对圆心角为，这段弧长为.故答案为：题型六：翻折与动点求轨迹例16．（2024·全国·高三专题练习）在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为.【答案】/【解析】如图，设的中点为，绕旋转，此时平面平面，取中点，中点，中点，连接.，，和是等腰直角三角形，且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，又面，面，面，同理面，又，面面，又平面平面，故面面，又面面，，故面，又面，，故动点形成的轨迹长度为.故答案为：.例17．（2024·全国·高三专题练习）矩形ABCD中，，E为AB中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在范围内变化时，点A'的轨迹长度为【答案】；【解析】取的中点为，连接，则，故在以球心，为半径的球面上.过作，垂足为，连接，则.在矩形中，，故，故，而，故平面，故在过且垂直于的平面上，所以在以为圆心，为半径的圆上，而为二面角的平面角，故，故点的轨迹长度为，故答案为：.例18．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平行四边形中，为中点，，，.沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面.若点为内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为.【答案】【解析】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，则平面，从而得PE，PD分别是PB，PD在平面内的射影，如图，，，而，则，在所在平面内以点E为原点，射线ED、分别为x，y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，设，于是得，整理得，从而得点P的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，圆M交分别于Q，N，显然，圆M在内的部分是圆心角所对的弧，弧长为，所以点的轨迹的长度为.故答案为：变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为.【答案】【解析】连接AC、BD，交于点O，连接OB′，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均为正三角形，所以∠B′OD为二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，又因为OB′＝OD，所以△B′OD为正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，取OC中点P，取CD中点Q，连接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，所以在三棱锥B'﹣ACD表面上，满足AC⊥EF的点F轨迹的△EPQ，因为EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周长为，所以点F轨迹的长度为．故答案为：变式33．（2024·江苏连云港·高二校考阶段