专题26 二次函数与角问题-备战2022年中考数学母题题源解密（原卷版）

专题26二次函数函数与角问题考向二次函数函数中的角度问题【母题来源】2021年中考四川省德阳卷【母题题文】如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）把点A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得到方程组：0=1−b+∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（2，3），连接AC'并延长与抛物线交于点P，由图形的对称性可知P为所求的点，设直线AC'的解析式为y＝mx+n，由题意得：0=−解得：m=1∴直线AC'的解析式为y＝x+1，将直线和抛物线的解析式联立得：y=解得x1=−∴P（4，5）；（3）存在点M，过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP=(4+1同理可求得AC=(2+1)2∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，∴tan∠APC=AC∵∠MBN＝∠APC，∴tan∠MBN＝tan∠APC，∴MNBN设点M（m，m2﹣2m﹣3），则|m解得m=−25当m=−25时，m2∴M（−25，当m=−85，m2∴M（−85，∴存在符合条件的点M，M的坐标为（−25，−5125），（【试题解析】（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线于点P，根据对称性可知P为所求的点；（3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），利用∠MBN＝∠APC列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．【命题意图】二次函数的应用；推理能力．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．【得分要点】角的数量关系问题（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．1．（2021•广西贵港模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在该抛物线的对称轴上，且DA＝DC．（1）点A的坐标为，用含m的式子表示点D的坐标为；（2）若△ACD与△BCO的面积之比为5：9，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若动点P在该抛物线上，且当∠PBC＝∠DAB时，求点P的坐标．2.（2021•甘肃兰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于AB两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2021•广东模拟）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，连接AC，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两者交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN'．①当点N'落在线段AB上，求此时t的值；②求△MCN′与△ACB重叠的面积S与t的函数关系式．（3）如图3，点D在直线BC下方的二次函数图象上，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021•内蒙古鄂尔多斯一模）如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．5．（2021•四川模拟）如图，一次函数y=−12（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知点D（﹣1，n）在抛物线上，作射线BD，Q为线段AB上一点，过点Q作QM⊥