人教版八年级数学上册教案第十二章全等三角形

人教版八年级数学上册教案第十二章全等三角形一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“全等三角形”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.三角形的全等在初中几何中占有重要地位,是研究四边形、圆的基础模型.本单元的学习内容经历尺规作图的过程,通过所得三角形的唯一性确定全等判定的基本事实,并基于基本事实进行推理,让学生感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观和推理能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十二章“全等三角形”,本章包括三个小节:12.1全等三角形;12.2三角形全等的判定;12.3角的平分线的性质.“全等三角形”主题的主要内容是:认识全等三角形——研究全等三角形的判定方法——应用全等三角形得到角平分线的性质和判定.本单元通过对全等三角形概念的理解,基于概念对全等三角形性质的理解,以及在概念的依据下,通过减少条件探索全等三角形判定方法的过程中,培养学生的抽象能力,发展几何直观,体会数学的严谨性,培养推理能力.研究的逻辑主线是对图形形状、大小的直观感悟到用数量关系刻画图形特征.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十二章全等三角形,学生在前面学习了三角形的基础上,初步积累了关于三角形基本知识的认知经验,因此,在实际教学中应充分引导学生运用几何直观,培养学生的几何思维能力,在几何直观的基础上发展抽象能力和推理能力.四、单元学习目标1.经历全等形、全等三角形概念的形成过程,理解全等三角形的概念,培养初步的抽象能力.2.能识别全等三角形中的对应边与对应角,理解全等三角形的性质,形成几何直观,发展推理能力.3.经历探索三角形全等的判定过程,掌握基本事实SSS,SAS,ASA,并证明定理AAS,形成几何直观,发展抽象能力、推理能力.4.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边、两边及夹角、两角及夹边等作三角形;作已知角的平分线.理解尺规作图的基本原理.5.经历探索角平分线性质定理和判定定理的过程,经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,提升几何直观,发展推理能力.

五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.课时目标1.经历全等形、全等三角形概念的形成过程,理解全等三角形的概念,培养初步的抽象能力.2.能识别全等三角形中的对应边与对应角,理解全等三角形的性质,形成几何直观,发展推理能力.学习重点全等三角形的概念的理解.学习难点准确识别全等三角形中的对应边和对应角,并能应用性质进行边角转化.课时活动设计情境引入我们学习过三角形及多边形的有关知识,让同学们找一找下图中有哪些三角形和四边形?设计意图:从生活图片着手,以学过的知识为载体,为探究新知识奠定基础,让学生感悟数学来源于生活,用数学的眼光观察现实世界.探究新知让学生观察图中的正方形和三角形,从形状和大小角度分析,你有什么发现?设计意图:引导学生从图形的形状和大小观察图形,为抽象全等形的概念奠定基础.探究新知学生先在半透明纸上画出同样大小的图形,再将每组中的一个图形叠放到另一个图形上,观察它们是否能够完全重合?总结:形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上,通过图形的比较,归纳形状、大小相同的图形的特征:放在一起能够完全重合,得到全等形的概念及全等三角形的概念.探究新知问题:1.图1中,将△ABC经过怎样的变换得到△DEF?变换前后的两个三角形有怎样的关系?2.图2中,将△ABC经过怎样的变换得到△DBC?变换前后的两个三角形有怎样的关系?3.图3中,将△ABC经过怎样的变换得到△ADE?变换前后的两个三角形有怎样的关系?学生先独立思考,再小组内讨论,学生展示讨论结果.解:1.在图1中,把△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.2.在图2中,把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC.3.在图3中,把△ABC绕点A旋转,得到△ADE.归纳:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.设计意图:从图形的变换角度加深对全等三角形的理解.初步帮助学生建立起了平移、翻折、旋转三种图形的变换与全等形的关系.同时,这个结论是运用全等形的概念得出的,能起到巩固新概念的作用.探究新知问题:两个全等的三角形重合到一起,能够重合的顶点、边、角分别有什么联系呢?学生思考,师生共同得出:把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.总结:如图,△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF.其中“≌”是全等符号,读作“全等于”.图中对应边,对应顶点和对应角:点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.注意:对应元素的确定方法.(1)字母顺序确定法:根据书写规范,按照对应顶点确定对应边、对应角,如△CAB≌△FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边,∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角;(2)图形位置确定法:①公共边一定是对应边,②公共角一定是对应角;③对顶角一定是对应角;(3)图形大小确定法:两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角).设计意图:结合具体图形得出全等三角形的记法、对应元素及对应元素的确定方法.探究新知思考:如图,△ABC≌△DEF,对应边,对应角有怎样的数量关系?学生独立思考,小组讨论,师生共同得出结论.总结:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.设计意图:从几何图形直观地认识到数量关系对性质的刻画,得到全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.典例精讲例1写出下列各图中的全等三角形,并指出对应元素.解:图1:△ABC≌△ADE.对应边:BC与DE,AB与AD,AC与AE;对应角:∠CAB与∠EAD,∠B与∠D,∠C与∠E.图2:△ABC≌△BAD.对应边:AB与BA,AC与BD,BC与AD;对应角:∠CBA与∠BAD,∠C与∠D,∠BAC与∠DBA.图3:△ABC≌△AFD.对应边:AB与AF,AC与AD,BC与DF;对应角:∠B与∠F,∠BAC与∠DAF,∠ACB与∠ADF;△ABD≌△AFC.对应边:AB与AF,AD与AC,BD与CF;对应角:∠B与∠F,∠BAD与∠FAC,∠BDA与∠FCA.例2已知:如图,△ABC≌△DEF,∠A=78°,∠B=35°,BC=18.(1)写出△ABC和△DEF的对应边和对应角;(2)求∠F的度数和边EF的长.解:(1)对应边:AB与DE,AC与DF,BC与EF.对应角:∠A与∠D,∠B与∠DEF,∠ACB与∠F.(2)∵∠A=78°,∠B=35°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-78°-35°=67°.∵△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠F,BC=EF.∵∠ACB=67°,BC=18,∴∠F=67°,EF=18.设计意图:学生通过例题进一步熟练找出全等三角形的对应元素,并应用全等三角形的性质解决具体问题.巩固训练如图,△EFG≌△NMH,EF=2.1cm,EH=1.1cm,NH=3.3cm.(1)试写出两三角形的对应边、对应角;(2)求线段NM及HG的长度;解:(1)对应边:EF与NM,EG与NH,FG与MH.对应角:∠F与∠M,∠E与∠N,∠EGF与∠NHM.(2)由△EFG≌△NMH,得NM=EF=2.1cm,EG=NH=3.3cm,∴HG=EG-EH=HN-EH=3.3-1.1=2.2(cm).设计意图:通过练习,及时巩固所学知识,当堂检测,查漏补缺.课堂小结1.什么样的两个三角形是全等三角形呢?2.全等三角形的性质有哪些?设计意图:通过小结,激发学生参与的主动性,培养学生概括归纳的能力.课堂8分钟.1.教材第32页练习第1,2题.2.七彩作业.12.1全等三角形1.全等形:能够完全重合的两个图形.2.全等三角形的性质对应边相等教学反思

第1课时用“SSS”判定三角形全等课时目标1.经历探索三角形全等的判定过程,通过减少条件后的图形比较形成几何直观,发展抽象能力.2.通过动手操作理解基本事实:三边分别相等的两个三角形全等,经历验证数学结论的过程,培养抽象概括能力.3.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边作三角形,并理解尺规作图的基本原理.学习重点会用“SSS”判定三角形全等.学习难点在探索条件减少的情况下,经历图形比较得到三角形全等的判定方法.课时活动设计问题导入组成三角形的元素有哪些?什么样子的两个三角形是全等三角形?设计意图:从复习上一节课的内容着手,引导学生进一步回顾全等三角形的几何特征.复习回顾结合下图说一说:从数量关系上怎样理解“能够完全重合的两个三角形全等”?设计意图:引导学生从数量关系上刻画全等的特征,为进一步探索全等三角形的判定条件奠定基础.探究新知从三角形全等的概念我们发现,要得到三角形全等需要6个元素对应相等,能不能用较少的边或者角的条件判定三角形全等呢?探究1满足这六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边,一边一角或两角分别相等),△ABC和△A'B'C'是否全等?根据下面表中给出的△ABC和△A'B'C'边和角的相等条件及对应的图形,判断△ABC和△A'B'C'是否全等,并把结果写在表中.边和角的相等条件对应的图形是否全等BC=B'C'∠B=∠B'AB=A'B'BC=B'C'BC=B'C'∠B=∠B'∠A=∠B'A'C'∠B=∠B'设计意图:给学生探索的空间和时间,充分调动学生探索的热情,让学生经历条件从一个到两个的过程,通过对图形的比较分析两个三角形是否全等,培养学生分类讨论的思想,思维的严谨性,发展几何直观.

探究新知探究2满足这六个条件中的三个(三边或三角分别相等),△ABC和△A'B'C'是否全等?问题1:有三个角对应相等的两个三角形是否全等?如图,已知△A'B'C'和△ABC,∠A'=∠A,∠B'=∠B,∠C'=∠C,观察这两个三角形是否全等.解:△A'B'C'和△ABC不全等,即有三个角对应相等的两个三角形不全等.问题2:有三条边对应相等的两个三角形是否全等?先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA(即三边分别相等).把画好的△A'B'C'剪下来,放到△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再相互交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA:1.画B'C'=BC;2.以点B'为圆心,AB长为半径画弧,以点C'为圆心,AC长为半径画弧,两弧交点为点A';3.连接A'B',C'A';△A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的△A'B'C'和△ABC进行对比,得出结论:解:△A'B'C'和△ABC全等,即三边分别相等的两个三角形全等.设计意图:先直观猜想三条边分别相等的两个三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.

归纳总结基本事实一:“边边边”判定方法.三边分别相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”).几何语言:在△ABC和△DEF中,AB∴△ABC≌△DEF(SSS).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出三角形全等的基本事实一,并尝试用几何语言描述基本事实内容,培养学生抽象概括的能力.拓展应用用三边分别相等判定三角形全等的结论,还可以得到一个用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法.已知∠AOB,求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.解:①作射线O'A';②以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于点C,交OB于点D;③以点O'为圆心,以OC长为半径作弧,交O'A'于点C';④以点C'圆心,以CD长为半径作弧,交③中所画弧于点D';⑤经过点D'作射线O'B',∠A'O'B'就是所求的角.设计意图:通过拓展延伸,将新知识与旧知识联系起来,得到新方法,体现了知识之间的联系性.典例精讲例1已知:如图,有一个三角形钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证:(1)△ABD≌△ACD;(2)∠BAD=∠CAD.证明:(1)∵D是BC的中点,∴BD=DC.在△ABD和△ACD中,∵AB∴△ABD≌△ACD(SSS).(2)由(1),得∠BAD=∠CAD.例2如图是一个风筝模型的框架,由DE=DF,EH=FH,就能说明∠DEH=∠DFH.试用你所学的知识说明理由.解:如图,连接DH,在△DEH和△DFH中,DE∴△DEH≌△DFH(SSS).∴∠DEH=∠DFH.例3已知:如图,点A,D,B,F在一条直线上,AC=FE,BC=DE,AD=FB.求证:△ABC≌△FDE.证明:∵AD=FB,∴AD+DB=FB+DB,即AB=FD.在△ABC与△FDE中,AC∴△ABC≌△FDE(SSS).设计意图:设置有层次的例题,让学生在动手解决问题的过程中理解全等三角形判定的基本事实一,培养学生的应用意识.巩固训练1.已知:如图,AB=AD,CB=CD.求证:△ABC≌△ADC.证明:在△ABC和△ADC中,AB∴△ABC≌△ADC(SSS).2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠D.证明:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,AB∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠A=∠D.设计意图:通过对具体问题的解决,进一步提高学生解决问题的能力,发展推理能力.课堂小结基本事实一:“边边边”判定方法:三边分别相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”).符号语言:在△ABC和△A'B'C'中,AB∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等三角形的“边边边”判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第37页练习第1,2题.2.七彩作业.

第1课时用“SSS”判定三角形全等全等三角形的判定(SSS)基本事实教学反思

第2课时用“SAS”判定三角形全等课时目标1.经历作图过程,理解基本事实:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力.2.通过动手操作,理解两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,体会图形的比较,发展几何直观.学习重点会用“SAS”判定三角形全等.学习难点理解“两边和其中一边的对角对应相等”不能判定三角形全等.课时活动设计情境引入如图,三角形的一边被墨迹污染了,小明想画一个与原来完全一样的三角形,他该怎么办呢?请你帮助小明想一个办法,并说明你的理由.问题:三角形有六个要素,我们从这个残损的图形中能得到几个呢?设计意图:通过残损图形引起学生的兴趣,使学生无法确定三角形的三边,引导学生观察分析,继而引导学生分析“SAS”是否能确定唯一的三角形,为学习新课作铺垫.探究新知先任意画出一个△ABC,再画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A(即使两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再互相交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A:1.画∠DA'E=∠A;2.在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;3.连接B'C'.△A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的△A'B'C'和△ABC进行对比,得出结论.解:△A'B'C'和△ABC全等,即两边及它们的夹角分别相等的两个三角形全等.设计意图:先直观猜想两条边及夹角对应相等的两个三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.归纳总结基本事实二:“边角边”判定方法.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”).符号语言:在△ABC和△A'B'C'中,AB∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出三角形全等的基本事实二,并尝试用几何语言描述基本事实内容,培养学生抽象概括能力.典例精讲如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?证明:在△ACB与△DCE中,CA∴△ACB≌△DCE(SAS).∴AB=DE.即DE的长就是A,B的距离.例2如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC.固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD.这个实验说明了什么?解:图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.设计意图:通过对实际问题的解决,给学生探索的空间和时间,让学生经历直观感知,在熟练应用全等三角形“边角边”判定方法的基础上,理解两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,发展学生的几何直观,培养理性精神和抽象概括能力.巩固训练1.下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是(C)A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EFB.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFC.BC=EF,∠B=∠E,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF追问画一画:请画出满足C选项的两个不全等的三角形.解:如图所示.2.已知:如图,BC∥EF,BC=BE,AB=FB,∠1=∠2,若∠1=60°,求∠C的度数.解:∵∠1=∠2,∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE,即∠ABC=∠FBE.在△ABC和△FBE中,BC∴△ABC≌△FBE(SAS).∴∠C=∠BEF.∵EF∥BC,∴∠BEF=∠1=60°,∴∠C=60°.设计意图:通过对具体问题的解决,特别是再次经历画一画的过程,让学生加深对两边及夹角与两边及其中一边对角与两三角形全等的关系的理解.而第2题,在旋转的背景下应用基本事实二对三角形全等进行证明,并应用全等三角形的性质得到角的大小,使学生在知识的综合应用过程中加深对全等的理解,进一步培养学生的几何直观与应用意识.课堂小结基本事实二“边角边”判定方法:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”).符号语言:在△ABC和△A'B'C'中,AB∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等三角形的“边角边”判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第39页练习第1,2题,第43,44页习题12.2第2,10题.2.七彩作业.

教学反思

第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等课时目标1.经历作图过程,理解基本事实:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力.2.经历用“角角边”判定两三角形全等的证明过程,发展推理能力.学习重点会用“ASA”“AAS”判定三角形全等.学习难点选择恰当的方法判定两个三角形全等.课时活动设计复习回顾判定三角形全等的方法:图形条件是否全等三边相等是两边和它们夹角相等是两边和其中一边的对角相等否两角和它们的夹边相等是两角和一角的对边相等是设计意图:通过复习,体现数学的逻辑关系,让学生感悟知识间的联系,为新知识的探索奠定基础.探究新知先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再互相交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B:1.画A'B'=AB;2.在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D,B'E交于点C'.△A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的△A'B'C'和△ABC进行对比,得出结论.解:△A'B'C'和△ABC全等,即两角及它们的夹边分别相等的两个三角形全等.设计意图:先直观猜想两角及它们的夹边分别相等的两个三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.归纳总结基本事实三:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可简记为“角边角”或“ASA”).符号语言:在△ABC和△A'B'C'中,∠∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出三角形全等的基本事实三,并尝试用几何语言描述基本事实三的内容,培养学生抽象概括的能力.典例精讲例如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他只带其中的一块碎片到商店去,就可以配一块与原来一样的三角形玻璃吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中的理由吗?解:可以.带1号去.理由:如图,1号有完整的两角与夹边,根据“ASA”可以作出与原三角形全等的三角形.设计意图:设计有生活情境的数学问题,通过解决实际问题,激发学生的兴趣.探究新知已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.求证:△ABC≌△A'B'C'.证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠A-∠B.同理∠C'=180°-∠A'-∠B'.又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴∠C=C'.在△ABC和△A'B'C'中,∠∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).设计意图:通过对具体问题的解决,基于“ASA”的基本事实推理得出“AAS”,提高学生解决问题的能力,发展推理能力.归纳总结判定定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”).几何语言:在△ABC和△A'B'C'中,∠∴△ABC≌△A'B'C'(AAS).设计意图:培养学生概括总结的能力,有利于进一步巩固新知识.拓展应用1.已知:如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.证明:在△ABE与△ACD中,∠∴△ABE≌△ACD(ASA).∴AD=AE.2.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.(1)求证:△BDA≌△AEC.(2)线段BD,CE,DE有怎样的数量关系?请说明理由.(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD.在△BDA和△AEC中,∠∴△BDA≌△AEC(AAS).(2)解:DE=BD+CE.理由:∵△BDA≌△AEC,∴AE=BD,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.设计意图:学生归纳得到全等三角形的判定定理后,通过解决具体问题加深对定理的应用和理解,同时对全等的模型有一个初步的认识,发展学生的几何直观.课堂小结1.基本事实三:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可简记为“角边角”或“ASA”).几何语言:在△ABC和△A'B'C'中,∠∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”).几何语言:在△ABC和△A'B'C'中,∠∴△ABC≌△A'B'C'(AAS).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等三角形的“角边角”以及“角角边”判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第44,45页习题12.2第5,6,11,12题.2.七彩作业.教学反思

第4课时用“HL”判定直角三角形全等课时目标1.经历探索直角三角形全等的判定方法的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观.2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等.学习重点会用“HL”判定直角三角形全等.学习难点探索直角三角形全等的判定方法.课时活动设计复习回顾引导学生思考,判定三角形全等的方法有哪些?图形条件是否全等三边相等是两边和它们夹角相等是两边和其中一边的对角相等否两角和它们的夹边相等是两角和一角的对边相等是设计意图:通过复习,体现数学的逻辑关系,让学生感悟知识间的联系,为新知识的探索奠定基础.问题导入已知Rt△ABC和Rt△A'B'C',BC=B'C',补充条件后Rt△ABC≌Rt△A'B'C',依据是.

追问:若补充条件AB=A'B',两个直角三角形是否全等?请作图验证.设计意图:创设开放性的问题,培养学生思维的发散性,通过追问,引发学生思考斜边与直角边对应相等的两个直角三角形是否全等.探究新知先任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB,然后把画好的Rt△A'B'C'剪下来放到Rt△ABC上,它们全等吗?学生先独立思考,再互相交流讨论如何画出△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出△A'B'C'的画法.如图,画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB:1.画∠MC'N=90°;2.在射线C'M上取B'C'=BC;3.以点B'为圆心,AB长为半径画弧,交射线C'N于点A';4.连接A'B'.Rt△A'B'C'即为所求.教师引导学生将画好的Rt△A'B'C'和Rt△ABC进行对比,得出结论.解:Rt△A'B'C'和Rt△ABC全等,即斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.设计意图:先直观猜想斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,再引导学生经历尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学.重复性的动手操作,让学生感悟全等探索的一致性与合理性.归纳总结基本事实四:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,AB∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).设计意图:引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出直角三角形全等的基本事实四,并尝试用几何语言描述基本事实四的内容,培养学生抽象概括的能力.

典例精讲例1如图,C是路段AB的中点,两人从点C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地.DA⊥AB,EB⊥AB.D,E与路段AB的距离相等吗?为什么?解:D,E与路段AB的距离相等.理由:∵C是路段AB的中点,∴AC=CB.∵两人从点C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地,∴DC=EC.∵DA⊥AB,EB⊥AB,∴∠A=∠B=90°.在Rt△ACD和Rt△BCE中,AC∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).∴AD=BE.例2已知:如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF.求证:AE=DF.证明:∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠DFC=∠AEB=90°.又∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.在Rt△DFC和Rt△AEB中,CF∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL).∴AE=DF.设计意图:通过例题的讲解,让学生更加深刻地理解全等直角三角形“HL”的判定方法,培养学生的应用意识.巩固训练1.已知:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∵AB∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.已知:如图,AC,BD相交于点E,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AD=BC.求证:AC=BD.解:如图,连接线段AB.证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.在Rt△ADB和Rt△BCA中,AB∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL).∴AC=BD.3.已知:如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.证明:∵∠ABC=90°,∴在Rt△ABE和Rt△CBF中,AE∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).设计意图:通过设计有层次的问题,提高学生对定理的应用和理解,培养学生的应用意识,发展学生的几何直观,提升学生的几何思维能力.课堂小结直角三角形全等的判定方法:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).符号语言:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,AB∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加深学生对全等直角三角形“斜边、直角边”的判定方法的理解和掌握,培养学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第44页习题12.2第7,8题.2.七彩作业.

教学反思

第1课时角的平分线的性质课时目标1.经历探索角平分线性质定理的过程,体会几何直观,发展推理能力.2.从生活经验抽象出尺规作角平分线的过程,学会用数学的眼光观察现实世界.学习重点探究角平分线的性质定理.学习难点探究并掌握角平分线的性质定理.课时活动设计导入新课引导学生用量角器作出∠AOB的平分线OC.设计意图:让学生动手操作,用量角器作角的平分线,既体会角的对称性,又为后续用尺规作角平分线作铺垫.情境引入问题:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.请学生讨论,并说明它的道理.分析:如果能证明△ACD≌△ACB,那么就能证明∠DAC=∠BAC,也就能证明AE是角平分线.由题可知,△ACD和△ACB具备“边边边”的条件.解:∵在△ACB和△ACD中,AB∴△ACB≌△ACD(SSS).∴∠BAC=∠DAC.∴AE是角平分线.追问:请利用角平分仪原理,用尺规作出角平分线.已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线.先由学生尝试用尺规作出角平分线,再由教师多媒体展示:作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N;(2)分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C(3)画射线OC,射线OC即为所求.设计意图:从生活情境入手,用学过的数学知识解释生活原理,既复习了全等的知识,又引发新的思考.在教师的追问中,学生探索角平分线的尺规作图过程,培养学生的推理能力.探究新知问题:如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB.PD和PE有怎样的数量关系?提出你的猜想.解:猜想:PD=PE.学生尝试给出猜想,教师引导学生应用前面所学的全等三角形的知识对猜想进行证明.追问:请证明你的猜想.分析:如果能证明△POE≌△POD,那么就能证明PD=PE.由题可知,△POE和△POD具备“AAS”的条件.证明:∵OC是∠AOB的平分线,∴∠POD=∠POE.∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠ODP=∠OEP=90°.在△PDO和△PEO中,∠∴△POE≌△POD(AAS).∴PD=PE.教师引导:学生先独立思考,再分组合作,互相讨论交流,最后教师进行归纳总结.归纳总结性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言:∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.设计意图:引导学生探索角的平分线的性质,先直观猜想角平分线上的点到角两边距离的数量关系,再引导学生经历推理验证猜想,让学生感悟更理性的数学,进而抽象得出角平分线的性质定理,培养学生的抽象概括能力.

典例精讲例1如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等.(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法)解:如图,点P即为所求.例2已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证:EB=FC.证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BED和Rt△CFD中,BD∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).∴EB=FC.例3如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC,求证:BD=DF.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DC=DE,∠BED=∠C=90°.在△DCF和△DEB中,DC∴△DCF≌△DEB(SAS).∴BD=DF.设计意图:通过设计有层次的问题,提高学生对定理的应用和理解,培养学生的应用意识.例1是熟练尺规作角平分线,例2和例3是角平分线的性质定理和全等三角形的综合应用.巩固训练如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)作∠B的角平分线交AC于点D;(2)若CD=3,AB=10,求△ABD的面积.解:(1)如图所示.(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵∠C=∠BED=90°,BD平分∠ABC,∴DE=DC=3.∴S△ABD=12AB·DE=12∴△ABD的面积为15.设计意图:进一步巩固所学知识,提高综合运用能力.课堂小结角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.设计意图:通过对本节课知识的总结归纳,加强学生对角的平分线的性质的理解和掌握.课堂8分钟.1.教材第50页练习第2题,第51页习题12.3第4,5题.2.七彩作业.第1课时角平分线的性质角的平分线的性质尺规作角的平分线教学反思

第2课时角平分线的判定课时目标1.经历探索角平分线判定定理的过程,体会几何直观,发展学生的推理能力.2.应用角的平分线的性质定理和判定定理解决数学问题,发展学生的模型观念.学习重点探究角平分线的判定定理.学习难点角平分线的性质定理和判定定理的准确应用.课时活动设计

复习回顾问题:说说角平分线的性质定理.解:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.追问:交换角的平分线的性质定理中的(已知)和结论,你能得到什么结论?请根据内容,画出图形,猜想这个新结论是否正确.设计意图:复习角平分线的性质定理后顺势提出新的问题,引导学生交换命题的条件和结论,探索新命题是否正确,在此过程中,发展学生的逆向思维及推理能力.探究新知已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:如果能证明△POE≌△POD,那么就能证明∠AOC=∠BOC,也就能证明点P在∠AOB的平分线上.由题可知,Rt△POE和Rt△POD具备“HL”的条件.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△POD和Rt△POE中,PD∴Rt△POD≌Rt△POE(HL).∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线上.学生先独立思考,尝试给予证明,教师及时指导,共同完成证明过程.最后教师进行总结归纳,给出角的平分线的判定定理.判定定理:角的内部到