2025届高考数学一轮总复习课时作业48直线的倾斜角与斜率直线方程含解析苏教版

PAGEPAGE1课时作业48直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x＝eq\f(π,4)的倾斜角等于(C)A．0 B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π解析：由直线x＝eq\f(π,4)，知倾斜角为eq\f(π,2).2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.3．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则(B)A．x＝－1 B．x＝3C．x＝eq\f(9,2) D．x＝1解析：三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线⇒eq\o(PA,\s\up16(→))∥eq\o(PB,\s\up16(→))，eq\o(PA,\s\up16(→))＝(1，－5)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(x－1，－10)，得1×(－10)＝－5(x－1)⇒x＝3.故选B．4．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq\f(π,4)的直线方程是(A)A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为eq\f(3π,4)，依题意，所求直线的倾斜角为eq\f(3π,4)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.5．(2024·湖南衡阳月考)已知直线l的倾斜角为θ且过点(eq\r(3)，1)，其中sin(θ－eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)，则直线l的方程为(B)A．eq\r(3)x－y－2＝0 B．eq\r(3)x＋y－4＝0C．x－eq\r(3)y＝0 D．eq\r(3)x＋3y－6＝0解析：∵sin(θ－eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(2π,3)，则tanθ＝－eq\r(3)，直线的方程为y－1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－4＝0，故选B．6．(2024·安徽四校联考)直线l经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l的方程是(A)A．3x＋y－6＝0 B．3x－y＝0C．x＋3y－10＝0 D．x－3y＋8＝0解析：解法1：设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y－3＝k(x－1)．x＝0时，y＝3－k；y＝0时，x＝1－eq\f(3,k).所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)×(3－k)(1－eq\f(3,k))＝6，整理得k2＋6k＋9＝0，解得k＝－3，所以直线l的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0，故选A．解法2：依题意，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，则可得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，则直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0，故选A．7．(2024·郑州模拟)已知直线l的斜率为eq\r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(A)A．y＝eq\r(3)x＋2 B．y＝eq\r(3)x－2C．y＝eq\r(3)x＋eq\f(1,2) D．y＝－eq\r(3)x＋2解析：∵直线x－2y－4＝0的斜率为eq\f(1,2)，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝eq\r(3)x＋2，故选A．8．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(B)A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(2,3)解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝－3，))从而可知直线l的斜率为eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).9．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(A)A．8 B．2eq\r(2)C．eq\r(2) D．16解析：∵点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.10．(2024·焦作模拟)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有(B)A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把(3，－1)代入所设的方程得k＝－eq\f(1,3)，则所求直线的方程为y＝－eq\f(1,3)x，即x＋3y＝0.综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0，故选B．11．已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(C)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(3π,4)解析：由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))知函数f(x)的图象关于x＝eq\f(π,3)对称，所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，所以a＝－eq\r(3)b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝eq\f(a,b)＝－eq\r(3)，所以直线的倾斜角为eq\f(2π,3)，故选C．二、填空题12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为x＋13y＋5＝0.解析：BC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC边上的中线所在直线方程为eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x＋2y＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y＋3＝x－2，即为x－y－5＝0，故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.14．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是[－2,2]．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．15．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).解析：设曲线上随意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).16．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为3.解析：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0,4)，B(3,0)，直线AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1.设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，因为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)时取等号，所以xy≤3，所以xy的最大值为3.17．(2024·武汉市调研测试)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8,0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为(A)A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0解析：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－eq\f(1,2)，因为A(8,0)，所以直线AB的方程为y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A．18．(2024·河南郑州模拟)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同始终线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1,0)，C(0,2)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为(D)A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0解析：∵B(－1,0)，C(