2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测三十八第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测三十八函数模型的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.某种产品今年的产量是a,假如保持5%的年增长率,那么经过x年QUOTE,该产品的产量y满意 ()A.y=a(1+5%x) B.y=a+5%C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x【解析】选D.今年产量为a,经过1年后产量为y=a(1+5%),经过2年后产量为y=a(1+5%)2,以此类推,经过x年后产量为y=a(1+5%)x.2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满意函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是()A.22小时 B.23小时 C.33小时 D.24小时【解析】选D.由题意可得x=0时,y=192,x=22时,y=48,代入y=ekx+b,可得eb=192,e22k+b=48,即有e11k=QUOTE,eb=192,则当x=33时,y=e33k+b=QUOTE×192=24.3.“红豆生南国,春来发几枝?”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图.那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A.指数函数:y=2t B.对数函数:y=log2tC.幂函数:y=t3 D.二次函数:y=2t2【解析】选A.由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数,并且增长速度很快,符合指数型函数模型,且图象过点(1,2),所以图象由指数函数来模拟比较好.4.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个微小的小孔渐渐地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-btQUOTE,经过8min后发觉容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有起先时的八分之一. ()

A.8 B.16 C.24 D.32【解析】选B.依题意有ae-8b=QUOTEa,即e-8b=QUOTE,两边取对数得-8b=lnQUOTE=-ln2,所以b=QUOTE,所以y=aQUOTE.当容器中只有起先时的八分之一时,则有aQUOTE=QUOTEa,所以QUOTE=QUOTE,两边取对数得-QUOTEt=lnQUOTE=-3ln2,所以t=24,所以再经过的时间为24-8=16(min).5.为了给地球减负,提高资源利用率,2024年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2024年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金起先超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2≈0.301)()A.2024年 B.2024年 C.2025年 D.2026年【解析】选C.由题意,可设经过n年后,投入资金为y万元,则y=5000(1+20%)n.由题意有5000(1+20%)n>12800,即1.2n>2.56,则n·lg1.2>lg2.56=lg28-2,所以n>QUOTE≈5.16,所以n=6,即2025年该市全年用于垃圾分类的资金起先超过1.28亿元.6.(多选题)在一次社会实践活动中,某数学调研小组依据车间持续5个小时的生产状况画出了某种产品的总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况推断正确的是 ()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步削减C.最终一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最终两小时内,该车间没有生产该产品【解析】选BD.由该车间持续5个小时的生产总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,得:前3小时的产量逐步削减,故A错,B正确;后2小时均没有生产,故C错,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=________,经过5h,1个病毒能繁殖为________个.

【解析】因为当t=0.5时,y=2,所以2=QUOTE,所以k=2ln2,所以y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1024.答案:2ln210248.某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·ax(a>0且a≠1),x∈N*.当商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为________元.

【解析】由题意可得方程组:QUOTE结合a>0且a≠1可得QUOTE即y=128×QUOTE,则该商品上架第4天的价格为128×QUOTE=QUOTE=40.5,即该商品上架第4天的价格为40.5QUOTE元.答案:40.5QUOTE三、解答题9.(10分)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量削减QUOTE,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】方法1:因为每次过滤杂质含量降为原来的QUOTE,过滤n次后杂质含量为QUOTE·QUOTE.依题意,得QUOTE·QUOTE≤QUOTE,即QUOTE≤QUOTE,因为QUOTE=QUOTE>QUOTE,QUOTE=QUOTE<QUOTE,所以由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.方法2:接方法1:(QUOTE)n≤QUOTE,则n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),即n≥QUOTE≈7.4,又n∈N*,所以n≥8,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.(30分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2024·九江高一检测)国家规定个人稿费纳税方法为:不超过800元的不纳税,超过800元的但不超过4000元的按超800元14%纳税,超过4000元的按全稿费的11.2%纳税,张先生出了一本书共纳税420元,则张先生的稿费(扣税前)为()A.3600元 B.3800元 C.4000元 D.4200元【解析】选B.设稿费为x元,纳税额为y元,则纳税额y与稿费x的函数关系为y=QUOTE由于张先生纳税420元,令(x-800)×0.14=420,解得x=3800元,令0.112x=420,得x=3750(舍去),故可得张先生的稿费(扣税前)为3800元.2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经验了3次涨停(每次上涨10%)又经验了3次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏状况(不考虑其他费用)为()A.略有亏损B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损D.无法推断盈亏状况【解析】选A.由题意可得:(1+10%)3(1-10%)3≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏状况为:略有亏损.3.一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.则这种放射性元素的半衰期为(注:剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期.精确到0.1.已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) ()A.5.2 B.6.6 C.7.1 【解析】选B.设半衰期为x,则有500(1-10%)x=250,即QUOTE=QUOTE,取对数得x(lg9-1)=-lg2,所以x=QUOTE≈QUOTE≈6.6.4.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作QUOTE)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作QUOTE)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lgQUOTE,健康人体血液的pH保持在7.35～7.45之间,那么健康人体血液中的QUOTE可以为(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为QUOTE·QUOTE=10-14,所以QUOTE=QUOTE×1014,因为7.35<-lgQUOTE<7.45,所以10-7.45<QUOTE<10-7.35,所以10-0.9<QUOTE=1014·QUOTE<10-0.7,10-0.9=QUOTE>QUOTE,lgQUOTE=0.7>lg3>lg2,所以100.7>3>2,10-0.7<QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE<QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.意大利闻名科学家伽利略说:“给我空间、时间以及对数,我就可以创建一个宇宙.”他把对数与最珍贵的时间和空间同日而语,可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭(除燃料)的质量mkg满意函数关系v=2000lnQUOTE.当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭最大速度可达12km/s.(e6≈403.429,结果保留整数)

【解析】已知v=2000lnQUOTE,火箭的最大速度可达12km/s,故12000=2000lnQUOTE.可得lnQUOTE=6,1+QUOTE=e6,解得QUOTE=e6-1≈402.答案:4026.设在海拔x(单位:m)处的大气压强为y(单位:kPa),y与x的函数关系可近似表示为y=100eax,已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa,则依据函数关系式,在海拔2000m处的大气压强为________kPa.

【解析】将(1000,90)代入y=100eax,可得a=QUOTE,y与x的函数关系可近似表示为y=100QUOTE,当x=2000时,y=100(eln0.9)2=81.答案:81三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2024·柳州高一检测)电子芯片是“中国智造”的灵魂,是全部整机设备的“心脏”.某国产电子芯片公司,通过大数据分析,得到如下规律:生产一种高端芯片x(0≤x≤10)万片,其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为800万元,并且每生产1万片的生产成本为200万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入F(x)(单位:万元)满意F(x)=QUOTE假定生产的芯片都能卖掉.(1)将利润f(x)(单位:万元)表示为产量x(单位:万片)的函数.(2)当产量x(单位:万片)为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?【解析】(1)当产量为x万片时,由题意得G(x)=800+200x.所以f(x)=F(x)-G(x)=(2)由(1)可得,当0≤x≤6时,f(x)=-400(x-5)2+9200.所以当x=5时,f(x)max=9200(万元).当6<x≤10时,f(x)=600x-1800,f(x)单调递增,所以f(x)≤f(10)=4200(万元).综上,当x=5时,f(x)max=9200(万元),即当产量为5万片时,公司所获利润最大,最大利润为9200万元.8.(2024·石家庄高一检测)“绿水青山就是金山银山”,随着我国经济的快速发展,国家加大了对环境污染的治理力度,某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察,发觉该厂产生的废气经过过滤排放,过滤过程中废气的污染物数量P千克/升与时间t小时间的关系为P=P0e-kt,假如在前5个小时消退了10%的污染物.(1)10小时后还剩百分之几的