安徽省皖南八校2025届高三数学下学期第三次联考试题文含解析

PAGE22-安徽省皖南八校2025届高三数学下学期第三次联考试题文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．在复平面内，复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集为R，集合A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝}，则A∩∁RB＝（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}3．已知数列{an}为等差数列，且a3＝1，则a1+a2+a3+a4+a5＝（）A．3 B．4 C．5 D．64．疫情期间要从上海某医院5名医护人员中抽调两人前往湖北进行支援，这5名医护人员有男性3名，女性2名，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）A． B． C． D．5．已知x，y满意约束条件，则x﹣y+2的最大值为（）A．2 B． C． D．36．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinAcosC+csinAcosA＝c，3a＝2c，则锐角B的值为（）A． B． C． D．7．秤漏是南北朝时期独创的一种特别类型的漏刻，它通过漏水的重量和体积来计算时间，即“漏水一斤，秤重一斤，时经一刻”（一斤水对应一“古刻”，相当于14.4分钟），计时的精度还可以随着秤的精度的提高而提高．如图所示的程序框图为该秤漏的一个计时过程，若输出的t值为43.2，则推断框中应填入（）A．i≤7？ B．i≥7？ C．i≥9？ D．i≤9？8．已知函数f（x）＝，则f（x）的大致图象为（）A． B． C． D．9．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0），若函数f（x）的最小正周期T＜2π且在x＝处取得最大值2，则ω的最小值为（）A．5 B．7 C．11 D．1310．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，过右顶点B且倾斜角为的直线交双曲线右支于另一点P，且PA与圆M：x2+y2＝相切，则双曲线离心率为（）A． B． C． D．11．已知关于x的不等式≤k（x+1）﹣（k＞0）的解集为[a，b]，若|b﹣a|≤2，则k的取值范围为（）A．（，] B．（，） C．（0，] D．（0，2）12．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，平面ABC⊥平面PBC，AC⊥BC，AC＝6，AB＝8，PC＝PB＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A． B． C．100π D．32π二、填空题（共4小题）.13．已知向量与＝（1，﹣）反向，且||＝，则的坐标为．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝f（x+5），当x∈（0，2）时，f（x）＝x2+m，若f（9）＝﹣3，则m＝．15．已知M，N是过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C的交点，O是坐标原点，且满意，S△OMN＝|MN|，则p的值为．16．用符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣1.2]＝﹣2，[0.6]＝0，[2]＝2．已知函数f（x）＝x3lnx，当f（x）的值域为（2e6，+∞）时，的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2（Sn+2），Tn是数列的前n项和，求证：Tn＜．18．2024年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系亲密），得到如下分布表：马克隆值[3，3.2）[3.2，3.4）[3.4，3.6）[3.6，3.8）[3.8，4.0）[4.0，4.2）[4.2，4.4）[4.4，4.6）[4.6，4.8]重量（吨）0.080.120.240.320.64a0.120.060.02（1）求a的值，并补全频率分布直方图；（2）依据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；（3）依据马克隆值可将棉花分为A，B，C三个等级，不同等级的棉花价格如表所示：马克隆值[3.6，4.2）[3.4，3.6）或[4.2，4.8）3.4以下级别ABC价格（万元/吨）1.51.41.3用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．19．如图，棱柱ABC﹣A'B'C'的侧面BCC'B'是菱形，B'C⊥A'B，AB＝BC＝2，AC＝2．（1）证明：平面AB'C⊥平面A'BC'；（2）设E是BC上的点，且EC＝2EB，若∠B'BC＝∠A'B'B＝60°，求三棱锥A'﹣BC'E的体积．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l⊥x轴时，|AB|＝，tan∠AOB＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l'⊥l，直线l'与直线l、x轴、y轴分别交于点M、P、Q，当点M为线段AB中点时，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝alnx﹣（2a+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）＜1﹣2ax在x∈（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．（参考数据：ln3＜，ln4＞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，且曲线C1与极轴的交点为M（异于极点）；曲线C2的圆心为C2（3，0），且过极点O．（1）求点M的直角坐标及曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：θ＝α（ρ＞0，α∈（0，））与曲线C1、C2分别交于点A、B，当∠ABM＝时，求tanα．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2ax+1|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＞3﹣x；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≤|x+3|恒成立，求a的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．在复平面内，复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵（1﹣i）2＝，∴在复平面内，复数（1﹣i）2对应的点的坐标为（﹣1，﹣），位于第三象限．故选：C．2．已知全集为R，集合A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝}，则A∩∁RB＝（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}解：∵全集为R，集合A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤﹣2或x≥2}，∴∁RB＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩∁RB＝{x|0≤x＜2}．故选：D．3．已知数列{an}为等差数列，且a3＝1，则a1+a2+a3+a4+a5＝（）A．3 B．4 C．5 D．6解：数列{an}为等差数列，且a3＝1，∴a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝5．故选：C．4．疫情期间要从上海某医院5名医护人员中抽调两人前往湖北进行支援，这5名医护人员有男性3名，女性2名，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）A． B． C． D．解：疫情期间要从上海某医院5名医护人员中抽调两人前往湖北进行支援，基本领件总数n＝，这5名医护人员有男性3名，女性2名，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本领件个数m＝＝6，则抽调的两人刚好为一男一女的概率P＝＝．故选：C．5．已知x，y满意约束条件，则x﹣y+2的最大值为（）A．2 B． C． D．3解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），令z＝x﹣y+2，化为y＝x+2﹣z，由图可知，当直线y＝x+2﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为．故选：C．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinAcosC+csinAcosA＝c，3a＝2c，则锐角B的值为（）A． B． C． D．解：因为asinAcosC+csinAcosA＝c，所以3asinAcosC+3csinAcosA＝c，又3a＝2c，可得3sinA＝2sinC，所以2csinAcosC+3csinAcosA＝c，即2sinAcosC+3sinAcosA＝1，可得2sinAcosC+2sinCcosA＝2sin（A+C）＝2sinB＝1，可得sinB＝，因为B为锐角，所以B＝．故选：B．7．秤漏是南北朝时期独创的一种特别类型的漏刻，它通过漏水的重量和体积来计算时间，即“漏水一斤，秤重一斤，时经一刻”（一斤水对应一“古刻”，相当于14.4分钟），计时的精度还可以随着秤的精度的提高而提高．如图所示的程序框图为该秤漏的一个计时过程，若输出的t值为43.2，则推断框中应填入（）A．i≤7？ B．i≥7？ C．i≥9？ D．i≤9？解：由题意，模拟程序的运行，可得初始值L＝0，t＝0，i＝1，进入循环，L＝1，t＝14.4，i＝3；L＝2，t＝28.8，i＝5；L＝3，t＝43.2，i＝7；…若要输出t＝43.2，则需满意推断条件，跳出循环，比照各选项可知，可填入i≥7？．故选：B．8．已知函数f（x）＝，则f（x）的大致图象为（）A． B． C． D．解：依据题意，函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），则f（x）为偶函数，解除BC，在区间（0，）上，e|x|＝ex＞0，cosx＞0，x2＞0，则有f（x）＞0，解除A，故选：D．9．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0），若函数f（x）的最小正周期T＜2π且在x＝处取得最大值2，则ω的最小值为（）A．5 B．7 C．11 D．13解：函数f（x）＝sinωx+acosωx＝，因为函数f（x）的最小正周期T＜2π，所以，整理得ω＞1，由于函数f（x）在x＝处取得最大值2，所以（k∈Z），所以a＝，，所以（k∈Z），解得ω＝12k+1（k∈Z），由于ω＞1，且k∈Z，所以ω的最小值为13．故选：D．10．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，过右顶点B且倾斜角为的直线交双曲线右支于另一点P，且PA与圆M：x2+y2＝相切，则双曲线离心率为（）A． B． C． D．解：过右顶点B（a，0）且倾斜角为的直线的方程为y＝x﹣a，即x＝a+y，代入双曲线的方程＝1，可得（b2﹣a2）y2+2ab2y＝0，解得P（，），由A（﹣a，0），可得直线PA的斜率为＝，直线PA的方程为y＝（x+a），由PA与圆M：x2+y2＝相切，可得＝，化简可得a2＝2b2，则e＝＝＝＝．故选：D．11．已知关于x的不等式≤k（x+1）﹣（k＞0）的解集为[a，b]，若|b﹣a|≤2，则k的取值范围为（）A．（，] B．（，） C．（0，] D．（0，2）解：∵关于x的不等式≤k（x+1）﹣（k＞0）的解集为[a，b]，∴由函数y＝的图象和y＝k（x+1）﹣（k＞0）的图象交点可知0≤a＜4．把a＝4，2代入＝k（a+1）﹣，得a∈（，]．答案故选：A．12．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，平面ABC⊥平面PBC，AC⊥BC，AC＝6，AB＝8，PC＝PB＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A． B． C．100π D．32π解：依据题意，平面ABC⊥平面PBC，面PBC∩面ABC＝BC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC．PC＝PB＝2，∴△PBC是等腰三角形，△ABC是直角三角形，可得BC＝；那么平面ABC和平面PBC的外接圆半径分别为r1＝4，r2＝4；球心到B距离相等于R，可得＝；∴球的表面积S＝4πR2＝100π．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量与＝（1，﹣）反向，且||＝，则的坐标为（﹣2，3）．解：依据题意设，且λ＜0，，∴，解得λ＝﹣2，∴．故答案为：（﹣2，3）．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝f（x+5），当x∈（0，2）时，f（x）＝x2+m，若f（9）＝﹣3，则m＝2．解：依据题意，f（x）满意f（x）＝f（x+5），则f（9）＝f（4）＝f（﹣1），又由f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，2）时，f（x）＝x+m，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+m），则有﹣（1+m）＝﹣3，解可得m＝2，故答案为：215．已知M，N是过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线C的交点，O是坐标原点，且满意，S△OMN＝|MN|，则p的值为5．解：不妨设直线MN的斜率k＞0，过M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为G，H，过N作NK⊥MG于K，因为，所以|MF|＝4|NN|，即可得|MG|＝4|NH|，∴|MK|＝3|NH|＝3|NF|＝|MN|，∴|NK|＝＝|MN|，由S△OMN＝S△OMF+S△ONF＝|NK|•|OF|＝p|MN|，又S△OMN＝|MN|＝p|MN|，∴p＝5．故答案为：5．16．用符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣1.2]＝﹣2，[0.6]＝0，[2]＝2．已知函数f（x）＝x3lnx，当f（x）的值域为（2e6，+∞）时，的值为6．解：f（x）＝x3lnx，则f'（x）＝，令f'（x）＝0，则x＝，当0＜x＜时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x＞时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以当x＝时，f（x）取得最小值f（）＝，又因为f（x）的值域为（2e6，+∞），且f（e2）＝2e6，所以要使得f（x）＞2e6，则x＞e2，令h（x）＝＝＝，令s＝lnx，则h（x）＝m（s）＝，所以m'（s）＝，令m'（s）＝0，解得s＝e，当2＜s＜e时，m'（s）＞0，则m（s）单调递增，当s＞e时，m'（s）＜0，则m（s）单调递减，所以当s＝e时，m（s）取得最大值m（e）＝，又s＞2＞1，所以，故m（s）＞6，所以6＜m（s）≤，则的值为6．故答案为：6．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2（Sn+2），Tn是数列的前n项和，求证：Tn＜．解：（1）由Sn＝2an﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2﹣2an﹣1+2，化为an＝2an﹣1，可得an＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*；（2）证明：bn＝log2（Sn+2）＝log2（2•2n）＝n+1，＝＝﹣，可得Tn＝﹣+﹣+...+﹣＝﹣，由＞0，可得Tn＜．18．2024年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了2吨棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系亲密），得到如下分布表：马克隆值[3，3.2）[3.2，3.4）[3.4，3.6）[3.6，3.8）[3.8，4.0）[4.0，4.2）[4.2，4.4）[4.4，4.6）[4.6，4.8]重量（吨）0.080.120.240.320.64a0.120.060.02（1）求a的值，并补全频率分布直方图；（2）依据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；（3）依据马克隆值可将棉花分为A，B，C三个等级，不同等级的棉花价格如表所示：马克隆值[3.6，4.2）[3.4，3.6）或[4.2，4.8）3.4以下级别ABC价格（万元/吨）1.51.41.3用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．解：（1）由频率分布表得：0.08+0.12+0.24+0.32+0.64+a+0.12+0.06+0.02＝2．解得a＝0.4．在直方图中对应的的值为＝1，补全频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：马克隆值落在区间[3.8，4.0）内的频率最大，故众数为，∵（0.2+0.3+0.6+0.8）×0.2＝0.38＜0.5，（0.2+0.3+0.8+1.6）×0.2＝0.7＞0.5，∴中位数在区间[3.8，4.0）内，中位数为：3.8+（0.5﹣0.38）÷1.6＝3.875．（3）一吨样本的产值为：1.5×（0.16+0.32+0.2）+1.4×（0.12+0.06+0.03+0.01）+1.3×（0.04+0.06）＝1.458（万元），∴用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值为：2000×1.458＝2916（万元）．19．如图，棱柱ABC﹣A'B'C'的侧面BCC'B'是菱形，B'C⊥A'B，AB＝BC＝2，AC＝2．（1）证明：平面AB'C⊥平面A'BC'；（2）设E是BC上的点，且EC＝2EB，若∠B'BC＝∠A'B'B＝60°，求三棱锥A'﹣BC'E的体积．解：（1）证明：∵棱柱ABC﹣A'B'C'的侧面BCC'B'是菱形，AB＝BC＝2，∴四边形ABB′A′是菱形，∴A'B⊥AB'，∵B'C⊥A'B，AB′∩B′C＝B′，AB′，B′C⊂平面AB'C，∴A′B⊥平面AB'C，∵A′B⊂平面A'BC'，∴平面AB'C⊥平面A'BC'．（2）连接A′C，∵∠B'BC＝∠A'B'B＝60°，B'C⊥A'B，AB＝BC＝2，AC＝2．∴A′C＝2，取BB′中点D，连接CD，过A′作A′O⊥平面BCB′，交CD于O，则CO＝＝＝，A′O＝＝，∵E是BC上的点，且EC＝2EB，∴S△BEC'＝＝＝，∴三棱锥A'﹣BC'E的体积为：VA'﹣BC'E＝＝＝．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l⊥x轴时，|AB|＝，tan∠AOB＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l'⊥l，直线l'与直线l、x轴、y轴分别交于点M、P、Q，当点M为线段AB中点时，求的取值范围．解：（1）因为tan∠AOB＝tan（2∠AOF）＝＝2，所以tan2∠AOF+tan∠AOF﹣＝0，且∠AOF为锐角，所以tan∠AOF＝或﹣（舍去），且|AF|＝|AB|＝，解得|OF|＝1，即c＝1，①将A（﹣1，）代入+＝1，得+＝1②，又因为a2﹣b2＝c2③，由①②③，解得a＝，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）•＝•（+）＝2+•＝2，所以•＝•（+）＝2+•＝2，且有||＝||＝2＝2⇒＝（）2，设M（x0，y0），则P（2x0，0），Q（0，2y0），所以kl′＝﹣，kl＝，所以＝﹣1，即y02＝x02+x0，有||2＝||2+||2⇒＝1+＝1+＝1+，由x02+x0＞0，得x0∈（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），所以2+∈（1，2）∪（2，+∞），所以＝（2+）∈（，）∪（，+∞），所以的取值范围为（，）∪（，+∞）．21．已知函数f（x）＝alnx﹣（2a+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）＜1﹣2ax在x∈（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．（参考数据：ln3＜，ln4＞）．解：（1）f（x）＝alnx﹣（2a+1）x，x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣（2a+1）＝，①﹣≤a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）递减，无递增区间，②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，③a＜﹣时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，综上：a＜﹣时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，﹣≤a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，无递增区间，a＞0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）f（x）＜1﹣2ax即alnx﹣（2a+1）x﹣1+2ax＜0恒成立，故a＜恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令t（x）＝lnx﹣﹣1，∵y＝lnx和y＝﹣在（1，+∞）递增，∴t（x）在（1，+∞）上单调递增，且t（3）＝ln3﹣＜0，t（4）＝ln4﹣＞0，故存在x0∈（3，4），使得t（x0）＝0，此时lnx0＝+1，x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）min＝g