教师资格考试《高中数学学科知识》专项试题

教师资格考试《高中数学学科知识》专项试题2

解析几何解答题

X2V2

1、椭圆G：=+4=1(4>力>0)的两个焦点为Fl、h，短轴两端点B】、B2,已知

b~

后、Fz、Bi、B2四点共圆，且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为5亚.

(1)求此时椭圆G的方程；

(2)设斜率为k(k*0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点，问£、F两点能

否关于过点P(0,立)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.

3

2、已知双曲线1一丁二1的左、右顶点分别为4、%,动直线/：)=依+机与圆.d+y2=i相切，且

与双曲线左、右两支的交点分别为小人,%),6(工2，必)・

(I)求2的取值范围，并求吃-百的最小值；

(口)记直线RA的斜率为乙，直线的斜率为心，那么，4•内是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线C:y2="的焦点为F,点K(-1,0)为直线/与抛物线C准线的交点，直线/与抛物线C

相交于A、8两点，点A关于入•轴的对称点为D.

(1)求抛物线。的方程。

(2)证明：点厂在直线笈。上；

——8

(3)设必•户8=—，求的面积。

9

4、已知椭圆的中心在坐标原点。，焦点在工轴上，离心率为L,点尸(2,3)、A、B在该椭圆上,

2

线段A8的中点/在直线OP上，且A、O、3三点不共线.

(D求桶圆的方程及直线AB的斜率।

(II)求面积的最大值.

5、设椭圆£+工=1(〃>/>>0)的焦点分别为耳(-1,0)、鸟(1,0),直线/・x=a2

a2b-

交x轴于点A,且丽=2底.

(I)试求椭圆的方程；

(H)过耳、鸟分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于。、E、M、N四点(如图所示)，若

27

四边形OMEN的面积为亍，求。£的直线方程.

6、已知抛物线P：x2=2py(p>0).

<I)若抛物线上点A/(加,2)到焦点A的距离为3・

(i)求抛物线P的方程；

(ii)设抛物线尸的准线与v轴的交点为£,过E作抛物线P的切线，求此切线方程；

(H)设过焦点尸的动直线/交抛物线于A,B两点,连接40,B。并延长分别交抛物线的准线于

C,O两点，求证：以。为直径的圆过焦点?

7、在平面直角坐标系xQy中，设点P(x,T),以线段PM为直径的圆经过原点0.

(I)求动点尸的轨迹W的方程；

(II)过点£(0,-4)的直线/与轨迹W交于两点A8,点A关于y轴的对称点为4,试判断直线A'B

是否恒过一定点，并证明你的结论.

8、已知椭圆M:「■+*■=1(。>力>0)的离心率为半，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的

三角形周长为6+45历.

(I)求椭圆"的方程；

(II)设直线/与椭圆M交于两点，且以A8为直径的圆过椭圆的右顶点C,

求A44。面积的最大值.

9、过抛物线C：y2=2〃x(〃>0)上一点M6,p)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A、B两

点。

(1)求证：直线AB的斜率为定值；

(2)已知A,8两点均在抛物线C：y=2/?x(y<0)±,若AM43的面积的最大值为6,求抛物线的

方程，

10、已知椭圆「+当=1(。>方>0)的左焦点尸(—c,0)是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的

a~b~

左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线/交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为

仁,42,

(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线/_Lx轴时，求勺：网的值；

(2)求勺：%的值。

11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆W+4=l(a>b>0)的离心率为立，其焦点在圆“2+必=1

a-b-2

上.

⑴求椭圆的方程；

(2)设48,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角。，使

OM=cosOOA.+sinOOB.

⑴求证：直线0A与。8的斜率之积为定值;

(ii)求OA2+OB2.

12、己知圆M:(x+J5y+y2=型的圆心为知,圆N：(x-J5)2+y2=_L的圆心为乂，一动圆与圆

1616

M内切,与圆N外切。

(I)求动圆圆心P的轨迹方程；

(ID(I)中轨迹上是否存在一点0,使得NMQN为钝角？若存在，求出。点横坐标的取值范围；

若不存在，说明理由.

13、已知点尸是椭圆=三+丁=1(。>0)的右焦点，点M(m,O)、N(0,〃)分别是R轴、y轴上

1+a

的动点，且满足丽•标=0.若点p满足丽=2丽+丽.

(I)求点P的轨迹。的方程；

(H)设过点尸任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线Q4、08与直线x=-。分别交于点

S、T(O为坐标原点)，试判断A•行是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明埋由.

14、在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(X-I)2+/=16-^^A(-1,0),P为圆B上的动点，线段PA

的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)曲线C与大轴正半轴交点记为Q,过原点0且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M,N,

连结QM,QN,分别交直线为常数，且XW2)于点E,F,设E,F的纵坐标分别为

如必，求的值(用/表示)。

答案：

1、解：(1)根据椭圆的几何性质，线段&F2与线段8记2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆

的圆心.........1分

故该椭圆中。=伍=缶,即椭圆方程可为一+2/=2从………3分

设H(x,y)为椭圆上一点，则

IHNI2=x2+(y-3)2=-(y++262+18,其中一6AyWb......4分

若0<Z?<3,则》=一匕时」9|2有最大值方2+6/7+9.........5分

由从+68+9=50得力=一3±5五(舍去)(或b2+3b+9<27,故无解)......6分

若b23,当旷=一胡,|MV12有最大值2b2+18.........7分

由2从+18=50得从=16「.所求椭圆方程为—+^-=1.........8分

3216

心,y._

T-一1

3216

（1）设七区，y）,F®，力），Q（xo，%），则由两式相减得

十式-

1

.3216

x0+2ky0=0......③又直线PQJ_直线m/.直线PQ方程为y=-x+—

k3

i

将点Q（/，打）代入上式得，%=一；玉）+:一……④11分

k3

由③④得Q（苧女,一日）

12分

而Q点必在椭圆内部，—+工<1f

3216

由此得k2<—,又k00,「.一乂^<k<0或0<k<，故当

222

人（一啥0）5。*）

时，£、F两点关于点P、。的直线对称14分

2、解：（I）•・・/与圆相切，「.1:.nr=l+k.......①

v—jzy+rfj

由・),，得(1—)x2—2mkx—(tn~+1)=0,

X--y=\

1-F。0

A=4m1k2+4(1-it2)(m2+1)=4(m2+1-it2)=8>0,

…月/n2+<l°

k~<1,/.—1<k<\,故k的取值范围为(―1,1).

,_2mk22

=：XX=yj(x]+x2)-4x^2=12汽=2.,v0<A:<1...当F=o

由于玉+W|k22~\

11—k9~IK

时，与一斗取最小值2&.6分

（II）由已知可得A，&的坐标分别为（—1,0）,（1,0），

(Ax1+m)(kx+ni)

>2，♦♦K♦k]—2

12

%)+rx2-i(Xj+1)(^2-1)(Xj+DUj-l)

〃"+1.2tnk2

_k2xx+mk(x+x)+nr_"-mk•——+m

1212二一1

xx+(x-x^)-\m2+\20,

l22------------------I

F-lF-1

，n2k2+k2-2m2k2+m2k2-nrk2-nr

/+i_2&—公+i-疝一公+2-2&'

由①，得nr-k2=l=T厂=一(3+2近)为定值.

f12分

3-2V2

3、解：（1）y2=4x

设A（M，y）,B（x2,y2）,。（3,一乂），/的方程为工=团》-1（加工0）.

（2）x=my-\代人y2=4x并整理得y2-4my+4=0,

从而M+必=4九yly2=4.

直线5。的方程为y-y,=»2L.（X-S）,

工2一%

y-y=——•(x—甚)令y=0,彳融=坚=1.

即2

y2f44

所以点产。,0)在直线8。上

2

(3)由①知，X1+x2=(my]-1)+(my2-1)=47n-2

UULLI

%%=(吩-1)(加％-1)=1•因为E4=(xT,y),FB=(x2-\,y2),

UUUU

2

FA-FB=(xl-1)(^2-1)+y^y2=x(x2—(x,+X2)+14-4=8-4A«

Q4

故8-4/W2=-,解得m=±-

93

所以/的方程为3x+4y+3=0,3x—4y+3=0

又由①知凶+%=4加=与故SA=g|K目+）,2|=g・2•学=当

X2V2

4、解：（I）设椭圆的方程为*•+%=1（。＞人＞0）,

x/7-F1

II=—

则《a2，得/=16,b1=12.

b4v9=1,

22

所以椭圆的方程为工+工=1.

3分

1612

设直线AB的方程为y=6+，（依题意可知直线的斜率存在）,

22

%-—1

设4（西，,），8（工2，%），则由，1612，得

y=kx+t

(3+4左2)/+8攵笈+4/-48=0,A>0b2<12+I6k2

v7，由，得zn

8Ar/

X+X=------------T

123+4公

4产-48，设丁5,为)

xx.=---------

J3+公

4kt春易知"。

由0T与0P斜率相等可得&二3,即左

Xo22

X2y21

所以椭圆的方程为—+L=1,直线AB的斜率为一-.6分

16122

(II)设直线AB的方程为》=一;x+f,即x+2y—2f=0,

1

y=—x+A

2

由，22

xy.

一+—=1.

11612

得冗2一戊+产-12=0,

A=？-4（r2-12）>0,-4<r<4.8分

j12|AB|="（1+/）[（斗+/）2-你%]=聆（48-3产）=与46一产.

点P到直线AB的距离为d=3留

于是的面积为

|8-2r|孚.46一二=gj（4-f）3.（i2+3z）

10分

设/«）=（4T）3（i2+3r）,/⑺=-12«-4）2«+2）,其中-4vfv4.

在区间（一2,4）内，/'（0<0,/⑺是减函数；在区间（-4,-2）内，/V）>0,/⑺是增函数.所以

/⑺的最大值为f（-2）=64.于是人办/勺最大值为18........12分

5、解：（I）由题意，|记|=2c=2,1.A（/,0）-------1分

・.・丽=2AMJ玛为4再的中点-------2分

/.a2=3,62=2

即：椭圆方程为［+==1.3分

32

从4r

（口）当直线DE与1轴垂直时，|。£|=2幺=；,此时|MN|=2〃=2百,

aV3

四边形DMEN的面积sJ卜।MN|=4不符合题意故舍掉;------

4分

2

同理当MV与无轴垂直时，也有四边形DMEN的面积§=।"E"MW=4不符合题意故舍掉;

2

-5分

当直线。石，MV均与x轴小垂直时，设D&'：y=k（x+1）,

代入消去y得：（2+3Z2）工2+622%+0k2-6）=0.6分

-6k2

X,+X=-----7,

22+3公

。（西，%）,E*2，%），则“

3%2-6

“也二赤，

设7分

U「I、I।In72146•2+1

所以|西一々1=4。1+巧）-4xtx2=-3.2+2—8分

4百伏2+1）

所以|DE|=Jl+i|再—占|二9分

2+3左2

4>/3[（-1）2+1]4白（4+1）

IMN|=-------5—=——与—

2+3（」y2+4

kk1

同理-------11分

\DE\\MN\146（公+1）460+1）24（女-+/+2）

3=---------------------=---------------------------------------=---------------------------

222+3k2+W6（公+1）+13

k2k2

所以四边形的面枳

由S=—=k1=2=k=±>/2，------12分

7

所以直线lDE:\[2x—y+\[2=0或/小：yllx+y+V2=0

或lDE:\[lx-2y+收=0或％£.:V2x+2y+夜=0-----13分

6、解：(I)(i)由抛物线定义可知，抛物线上点M(m,2)到焦点下的距离与到准线距离相等,

即M(w,2)到y=--|的距离为3；

:.一？+2=3,解得〃=2.

・•・抛物线尸的方程为/=4)，.4分

(ii)抛物线焦点厂(0/)，抛物线准线与)，轴交点为E(0,-1),

显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为左，切线方程为了二依-1.

2A

由,消)，得/2-4履+4=0,6分

y=kx-\

△二16尸一16=0,解得攵=±1.7分

・•・切线方程为y=±x—l.8分

(H)直线/的斜率显然存在，设/：y=kx+-^,

2

设46,yJ,B(x29y2),

x2=2py

22

由4p消y得x-2pkx-p=0.且△>().

y=kx+—

I2

2

?.%+x?=2pk,x}-x2=-p；

:4(X],y),直线04：y=­x,

与联立可得。(一翌同理得

y=—K,-4),10分

22y22y22

v焦点尸(0,K),

2

・•・京=(一磐丽=(一磐

,—p)，，-p),12分

2y2必

.・.京.而=（一地,_p）.（一七,_p）=生毁+〃2=分』/

2%〃2%〃2y2乃4yM

44

,n2P,2P,„2n

----2―2^P-----+尸----7十〃一U

4工9玉％-p-

2P2P

・•・以CO为直径的圆过焦点户.14分

7、解：(1)由题意可得OP_LOM,2分

所以丽•两=0,即(x,y)(x,T)=04分

即f_4)，=0,即动点尸的轨迹W的方程为f=4y5分

(2)设直线/的方程为y二丘-4,4(西,凹),5(工2，%)，则4'(一看，乂)・

y=kx-4,

由《，消)，整理得/一4日+16=0,6分

x"=4y

则A=16公一64>0,即|图>2.7分

X+*2=4%,%］工2=16.9分

x2+x,

y=――-（x-x,）+y2

12分

即产号马+4

所以，直线48恒过定点(0,4).13分

8、解：(I)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4声,

所以2a+2c，=6+4衣，1分

又椭圆的离心率为T,即上二，,所以c=^一a，

2分

3。33

所以〃=3,c=2y/2.4分

所以b=l,椭圆"的方程为土+F=15分

9.

(Hi方法一：不妨设BC的方程y=〃(x-3),(〃>()),则AC的方程为y=-工(/-3).

n

y=n（x-3\

22得（，+〃2）/-6“2工+9〃2-1=0

由・x6分

~9+y~

81n2-927n2-3

设B（xy）,因为—,所以乙=---i---，7分

2929〃~+19〃~+1

同理可得为8分

所以由⑪%言必三露

T10分

2(n+-〃)

S^BC=^\BC\\AC\=分

~~~J6412

(n+—)+一

n9

设"〃+422,

<-13分

n~8

Q3

当且仅当f=?时取等号，所以AA3C面积的最大值为之14分

38

方法二：不妨设直线48的方程X=6+机.

x=ky+m,

2

由《x2消去x得(/+9*2+2kmy+/n-9=0,6分

.e=i,

设A(XI，M),B(x2,y2)t

2kmm2-9

①分

则有y+y2=-公+9'y'y2=k2+9'7

因为以AB为直径的圆过点C,所以CACB=O.

由C4=(J^-3,y1),C5=(x2-3,>2)»

得(工[一3)*2—3)+y%=0・8分

将X=如+m,x2=ky2+m代入上式，

得（k2+Dy%+k（m-3）（4+必）+（〃z-3y=0.

12

将①代入上式，解得机=上或切=3（舍）.10分

5

所以m=一（此时直线48经过定点与椭圆有两个交点），

所以与^=；1℃||3一%|

13r----------—9/25(^2+9)-144

W(ya=[25(人9尸12分

设"力”义

图/+Z

则SMBC

25

2513

所以当f=-----G（0，,］时，S^c取得最大值，14分

288

22

解：⑴不妨设力)

9、4*,%),5(3,

2P2P

k)’2一)'|

MA=一输ny+必=-2p,k22

ABA_2L

2P2P

5分

（2）AB的直线方程为：y・y1=一（工一3-）,即x+y-y-3-=0

2P2P

2

\ip-2pyx-y；\

点M到AB的距离d=7分

2叵p

1阴=码%2r=应券-券=^11凹+力|也一凹|=2正加+凶|.....9分

又由乂+%=-2〃且y,%W°，y£[-2p,0],令p+y=/,.」£

SMMS=T.2&归+y>一川=J|4pLH.............................."分

2272P2"

设％)=|勺/-4为偶函数,故只需考虑问0,p],

所以7•⑺=4/j«y=4/一力2>0J⑺在[0,p]上递增,

I3

332

当，=，时，/(r)mx=3p/.(5^)^=--3P=-p

2P2

1p2=6=〃=2。故所求抛物线的方程为/=4x...........................13分

10、（I）解：由题意椭圆的离心率e=£=L,2a=4,所以a=2,c=l力二6,

a2

fv2

故椭圆方程为三+乙=1,3分

43

则直线/:尤=一1,4（一2,0）,8（2,0）,

3333

故C(-l,-),D(-l,--)或C(-l,--),D(-l,-),

2222

33

,~23,21

当点。在不轴上方时，k.=-----=—，口=---=—，

'-1+22--1-22

所以《：网=3,

当点。在X轴下方时，同理可求得人：&=3,

综上，2I：%2=3为所求............6分

(口)解：因为6=！，所以a=2c,b=>/3cf

2

椭圆方程为3/+4/=12/,A(-2c,0),5(2c,0),直线l:x=my-c,

设。(和凹),£)(%2，%)，

3r2+4V2=12c2

由《y'消工得，(4+362)y一6mcy—9M=0,

x=my-c

6mc-\[X6mc+石6mc

y,+y=-------------丁+--------T=--------7,

122(4+3疗)2(4+3疗)4+3/n2

V

_6/wc—\/A6WC+_9c2

X•必-2(4+3加2)•2(4+3/)--4+3/'

所以...........8分

/、.8c

Xj+x2=w(^+J2)-2C=-—-

3m+4

2,、24c2-12〃汽2

x,-x2=/n-yIy2-/Mc(y1+}s)+c=-2—,

3m+4

故①

由2=%(x「2c),及9/(要春)=丝七必经由,……9分

k2y(x2+2c)44

2

k；(X-2cy(2c-x,)(2c-x2)4c-2c6+x2)+xlx2

222

k；j1(x2+2c)(2c+%)(2c+9)4c+2cG+x2)+X1X2

.16c24c2-12/n2c2

,24c-2+--——+-------------------“2

h_____3〃厂+43m~+4_36c_

I?一二?16?4c2-12/n2c2-~4^~'

3疗十43m2+4

将①代入上式得,...io分

注意到y♦必<°，百一2c,<0,/+2c>0,得&=%"~—>0,......114

上2y,(/+2c)

所以勺：&=3为所求............12分

11、解：(1)依题意，得c=l.于是，。=夜，b=l...................2分

所以所求椭圆的方程为1+丁=1....................................4分

(2)(i)设A的，力)，B(X2，yz),则£+y：=l①，£+y；=l②.

「、r------.—.,,fx=xcos0+x.sin0,八

又设M(x,y),m因OM=cos8Q4+sineO3,故《'2......7分

y=y}cos。+%sin。.

因M在椭圆上，故♦cos]s>"+(凶cosJ+必仍？=1.

22

整理得(尚"+y；)cos20+(葭+只/府。+2(^^+丁防)cosOsin0=\.

将①②代入上式，并注意cosOsin。工0,得土殳+y力=0・

2

所以，为定值....................10分

\x22

间(y=(一号尸=■彳=。一y：)。一£)=1一(y；+£)+y；£，故犬+£=1.

又号+y：）+（彳■+£）=2,故x：+x；=2.

所以，O42+O82=x：+y；+E+£=3...............................16分

12、解：（I）设动圆P的半径为r,则|PA/|=身一〃PN|=r+!

44

两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|

由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为2道，实轴长为4的椭圆

22

其方程为0+工=1..............6分

41

（II）假设存在，设。（x,y）.则因为NMQN为钝角，所以西•丽<0

QM=（-V3-x,-y）,QN=-x,-y）,QM-QN=%2+y2-3<0

22

又因为。点在椭圆上，所以上+工=1

41

2Q

联立两式得：f+1一x二一3<0化简得：x2<-,

43

解得：13、解：（I）•・•椭圆上万+），2=1（。>0）右焦点尸的坐标为.....（1分）

1+67-

/.NF=（。,一〃）.,:MN=（-m,n）,

/.由MN-NF=0,得〃2+am=0...............（2分）

设点尸的坐标为（x,y）,由.丽=2丽+丽，有（阳,0）=2（0,〃）+（-工,一丁），

m=-x,

«y代入〃2+am=0,得y"=40r...........（4分）

71=—.

2

（H）解法一：设直线AB的方程为x="+〃，A（』[y）、8（五，力），

4。4。

则/办：y=—x，loB-y=—x-..............（5分）

y%

_4a22

由厂二万"，得5（-。,一乜），同理得T（—。,一生）.........（7分）