人教版数学9年级上册全册教学课件（2022年12月修订）

人教版数学九年级上册全册教学课件21.1一元二次方程九年级上册RJ初中数学3．了解一元二次方程的根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根．1．理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程．2．会将一元二次方程化为一般形式，知道各项的名称．学习目标判断下列式子是不是一元一次方程：一元一次方程1.只含有一个未知数;2.未知数的次数都是1;3.等号两边都是整式.知识回顾设雕像下部高x

m，可得方程：解：雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：问题1

在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，要设计一座2m高的人体雕像，那么雕像的下部应设计为多高？ACB2xx2=2(2−x)，即.课堂导入整理得.x2+2x−4=0①由方程①可得雕像的下部应设计的高度.问题2

如图，有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？3600

100

50

xx(100-2x)xx(50-2x)？

？

？

？

解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100−2x)cm，宽为(50−2x)cm．根据方盒的底面积为3600cm2，得:(100−2x)(50−2x)=3600．整理，得4x2−300x+1400=0．化简，得x2−75x+350=0．②

由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．50

x3600

100

xx(100-2x)x(50-2x)问题3要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解:全部比赛的场数为4×7=28．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共有场.

化简，得x²−

x=56．③由方程③可以得出参赛队数.1.这些方程的等号两边都是整式；2.方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．③x2−x=56②x2−75x+350=0①x2+2x−4=0观察由上面的问题得到的方程有什么特点？像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．知识点1新知探究知识点2新知探究一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c

=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．为什么要规定a≠0呢？b,c呢？a=0，二次项为0，就不是二次了，b，c可以取任意数.注意：指出方程各项的系数时要带上前面的符号．跟踪训练新知探究例1

判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.符合一元二次方程的概念.含有两个未知数，不是一元.不是整式方程.a的取值不确定，若a=0，则不是一元二次方程.(1)(2)(3)(4)

例2

若方程(m+2)x|m|−3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则(

)A．m≠±2 B．m＝2

C．m＝−2 D．m＝±2B解：一元二次方程的概念m+2≠0未知数的最高次数是2二次项系数不为0m=2|m|=2化一般式的步骤：去分母→去括号→移项（等号右边0）→合并同类项→确定a,b,c(注意带前面的符号).例3把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．a=1,b=-3,c=-4.a=2,b=-3,c=-9.a=2,b=2,c=-25.知识点3新知探究使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根．跟踪训练新知探究例4下列哪些数是一元二次方程x2-4x+3＝0的解？-1，0，1，3．1.已知关于x的方程(a2-1)x2+(a+1)x=2.(1)当a取何值时，此方程为一元一次方程？(2)当a取何值时，此方程为一元二次方程？随堂练习解:将原方程化成一般式为：(a2-1)x2+(a+1)x-2=0(1)要使原方程为一元一次方程,则需解得a=1.(2)要使原方程为一元二次方程,则需a2-1≠0，即a≠±1.

2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)一个圆的面积是6.28cm2，求半径；(2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，求较长的直角边.解：(1)设圆的半径为xcm，根据题意，得πx2=6.28，化为一般形式为πx2-6.28=0．

3.若2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根，则m-n的值为

．解：

∵2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根，

∴(2n)2-2m×2n+2n=0，∴2n(2n-2m+1)=0，∵n≠0，∴2n-2m+1=0，

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只含有一个未知数未知数的最高次数是2是整式方程一元二次方程的一般形式一元二次方程的解（根）一元二次方程的概念课堂小结1.（2020•枣庄中考）已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a=

.

解:把x=0代入(a-1)x2-2x+a2-1=0,得a2-1=0，解得a=±1.∵(a-1)x2-2x+a2-1＝0是关于x的一元二次方程，∴a-1≠0，∴a=-1．对接中考-12.如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意可列方程为(

)A．10×6-4×6x=32 B．(10-2x)(6-2x)=32C．(10-x)(6-x)=32 D．10×6-4x2=32B谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

解一元二次方程九年级上册RJ初中数学21.2.1

配方法知识回顾求出或表示出下列各数的平方根．121；(2)0.81；(3)0；(4)3；(5).

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根为0，负数没有平方根.1．掌握形如x2=p(p≥0)型方程的解法．2．掌握形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)型方程的解法．学习目标课堂导入问题

一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？等量关系：10个正方体的表面积之和=1500解:设盒子的棱长为xdm,则这个盒子的表面积为6x2

dm2，根据一桶油漆可刷的面积,列出方程:可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5

dm．整理，得x2=25.10×6x2=1500.①根据平方根的意义,得x=±5,即x1=5，x2=−5．注意：用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义．知识点1新知探究探究1一般地，对于方程x2=p,(I)

(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0.

(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0.所以方程(I)无实数根.方程左边x2≥0，右边p的取值不确定，可能是正数、0或负数，因此要分类讨论.当二次项系数为1，等号右边非负时,可以用直接开平方解方程.例1解下列方程：（2）36x2-1=0．（1）2x2=8；解：二次项系数化为1，得x2=4.开平方，得x=±2.即x1=2，x2=-2.解：移项,得36x2=1.二次项系数化为1，得x2=.开平方，得x=±.即.跟踪训练新知探究由方程(x+3)2=5,可得知识点2新知探究探究2解方程：(x+3)2=5.解：由方程x2=25,

得

x=±5.由此想到：

x+3

=±,于是,方程(x+3)2=5的两根为：x1

=-3+,x

2

=-3-.即x+3

=，x+3

=-，一元二次方程降次转化思想一元一次方程整体思想1.如何解形式为

(x+m)2=n(其中m，n

是常数)的一元二次方程呢？

（1）n<0,原方程无实根；（2）n≥0,原方程的解为分类讨论的思想

2.如何解形式为

(mx+n)2=p(其中m≠0，p≥0)的一元二次方程呢？

(mx+n)2=p整体思想，直接开平方降次，化二次为一次解一元一次方程直接开平方法适用于x2=a(a≥0)形式的一元二次方程的求解．这里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式．只要经过变形可以转化为x2=a(a≥0)形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解．mx+n=±例2解下列方程：（1）(x+5)2=25；解：(1)直接开平方，得

x+5=±5,即x+5=5或x+5=-5.所以x1=0,x2=-10.（2）4(x-3)2-32=0．跟踪训练新知探究（2）4(x-3)2-32=0．解：所以,.移项，得4(x-3)2=32.二次项系数化为1，得(x-3)2=8.直接开平方，得x-3=.即或.一移二化三开四解五写用直接开平方解一元二次方程方程的步骤（1）2x2=8；（2）9x2-5=3；（3）(x+6)2-9=0；（4）3(x-1)2-6=0；（5）9x2+5=1．x=±2.

x1=-3，x2=-9.无实数根.

解下列方程：随堂练习用直接开平方法解方程

x2=a时，一定要确保a≥0，否则无实数根.思考：如何解一元二次方程x2-4x+4=5.解：所以,.整理，得(x-2)2=5.直接开平方，得x-2=.即或.当等号的左边不是一个完全平方形式时，我们要先把左边写成完全平方的形式，再用直接开平方解方程.课堂小结1．直接开平方法解一元二次方程的步骤：2．两种数学思想：整体思想、转化思想．一移二化三开四解五写移项，使等号左边是含有未知数的完全平方形式，右边是常数化左边完全平方形式的系数为1在等号右边是非负数的情况下，两边开方解两个一元一次方程写出方程的两个解对接中考1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为()A．

x2+9=0 B．-2x2=0 C．x2-3=0 D．(x-2)2=0选项A中，由x2+9=0得x2=-9，故方程无实数根，故选A．解：A2.若关于x

的方程(x-2)2=a-5有解，则a

的取值范围为

．解：由题意可得a-5≥0

，所以a≥5．注意：当a≥0时,方程x2=a有解，当a<0时，方程无实数根.若方程中含有参数，则一定要分类讨论.a≥53.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别是m-1和2m+4,则的值为

.由直接开方法可知m-1与2m+4互为相反数，解：4由题意可知ax2=b有两个根，所以m-1+

2m+4=0，所以m=-1，所以m-1=-2，2m+4=2，

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。解一元二次方程21.2.1配方法九年级上册RJ初中数学用直接开平方法解下列方程：(1)9x2=9；

(2)(3x+2)2−49=0；

(3)81(2x−5)2−16=0．知识回顾先化成(x+p)2=m(m≥0)的形式，再直接开平方.1．理解一元二次方程配方的方法．2．掌握用配方法解一元二次方程．学习目标3．配方法的应用．读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x−3．整理，得x2−11x+30=0.列方程，得x2=10(x−3)+x.课堂导入这个方程怎么解呢二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方．x2＋2bx＋b2＝(x＋b)2x2－2bx＋b2＝(x－b)2完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2知识点新知探究根据以上公式完成填空：

(1)x2–4x+____=(x–____)2(2)x2+12x+____=(x+____)2(3)y2–8y+____=(y–____)2

42366164解方程

x2

+6x+4=0x2

+6x

+9=–4+9(x

+

3)2=

5

解：移:移项确保等号左边不含常数项.配:在二次项系数为1的前提下，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方.写:左边写成完全平方形式.

解:在等号右边非负的情况下，直接开平方解方程.x2

+6x=–4归纳总结：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．配方法的依据是完全平方公式.用配方法解一元二次方程的基本思路：一般式：ax2+bx+c=0化为(x

+

n)2=

p的形式化为两个一元一次方程求解配方降次一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成

(x＋n)2＝p

(Ⅱ)的形式，那么就有：

(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根

x1＝x2＝－n；(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根．大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？问题解决整理,得x2−11x+30=0,解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x−3．列方程,得x2=10(x−3)+x，(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)：解得x1=5,x2=6.当x=5时,周瑜的年龄为25岁,不到而立之年,不符合题意,舍去；当x=6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意.所以周瑜去世时的年龄为36岁．配方,得

，解：(1)移项，得x2－8x＝－1．

例1解下列方程：(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(3)3x2－6x＋4＝0．跟踪训练新知探究配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15．

(2)2x2＋1＝3x；解：(2)移项，得2x2-3x=-1.二次项系数化为1，得.配方，得直接开平方,得解得

即.

解：(3)移项，得

3x2－6x＝－4，

(3)3x2－6x＋4＝0．注意：在(x+n)2=p中，只有当p≥0时，才能直接开平方，p<0时，直接下结论方程无实数根.

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数,上式都不成立,即原方程无实数根．

用配方法解一元二次方程的一般步骤：一般步骤方法一移移项将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方四开开平方求根利用平方根的意义直接开平方

解下列方程：

(1)x2－x－＝0；(2)x(x＋4)＝8x＋12．随堂练习

随堂练习解：(2)去括号，得x2+4x=8x+12，移项、合并同类项，得x2－4x＝12，配方，得x2－4x＋4＝12＋4，即(x－2)2＝16，由此可得x－2＝±4，所以x1＝6，x2＝－2．解下列方程：

(1)x2－x－＝0；(2)x(x＋4)＝8x＋12．

1．

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法．

2．

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

一移→

二化→

三配→

四开．

课堂小结

1.已知x2-10x+y2-16y+89=0，求的值.课堂拓展解：由已知x2-10x+y2-16y+89=0，得x2-10x+25+y2-16y+64=0，所以(x-5)2+(y-8)2=0，由完全平方的非负性可得x-5=0且y-8=0，所以x=5，y=8.方程中二次项有两个，考虑将方程左边按字母分组，分别配方后，根据非负数的性质求x和y的值.

2.用配方法证明多项式：-2x2+6x-5的值恒小于0.证明：-2x2+6x-5=-2(x2-3x)-5所以-2x2+6x-5的值恒小于0.二次多项式的配方：一提:提出二次项系数

二配:括号内先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方.三写:写成a(x+n)2+p的形式，注意符号.

1.一元二次方程配方后可化为()A．B．C．D．B对接中考2.若将一元二次方程x2－8x－9＝0化成(x+n)2=d

的形式，则n=

，d=

．-425x2－8x－9＝0，

x2－8x＝9，

移项，得配方x2－8x+42=9+42，所以（x-4）2=25，即n=-4，d=25．解：3.已知方程x2-6x+q＝0配方后是(x-p)2=7，那么方程x2+6x+q=0配方后是()A．(x-p)2=5 B．(x+p)2=5C．(x-p)2=7 D．(x+p)2=7D谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。21.2.2公式法九年级上册RJ初中数学解一元二次方程1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移→

二化→

三配→

四开→

五解

知识回顾2.用配方法解下列方程：4x2-6x-1=0.解:移项，得4x2-6x=1,二次项系数化为1，得配方，得即,1.会用一元二次方程根的判别式判断根的情况．2.能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围．学习目标你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?解：移项，得ax2+bx=-c．

二次项系数化为1，得配方，得即

课堂导入这里可以直接开平方吗？为什么？因为a≠0,所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况：方程有两个不相等的实数根．

(1)

这里用到了这里用到了,与前面的±运算后，结果还是±.方程有两个相等的实数根．(2)

因为a≠0,所以4a2＞0.

式子b2－4ac的值有以下三种情况：

方程无实数根．(3)

由上可知,只有当b2-4ac≥0时,方程才有实数根.即

b2-4ac的值决定一元二次方程根的情况.一般地,式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2−4ac．知识点新知探究一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根.上面结论反过来也成立.即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当一元二次方程没有实数根时，Δ<0.解:(1)a=1,b=-4,c=-5,Δ＝16+20=36>0.有两个不相等的实数根例1不解方程，判断下列一元二次方程根的情况.(1)x2-4x-5=0;(2)2x2+3x+5=0;(3)4x2=4x-1(2)a=2,b=3,c=5,Δ＝9-40=-31<0.无实数根(3)化一般式得4x2-4x+1=0；a=4,b=-4,c=1,Δ＝16-16=0.有两个相等实数根新知探究跟踪训练一化：化一般式，确保二次项系数为正；二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；三算：算b2-4ac的值，判断符号；四判：判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：例2若关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则k

的取值范围为

．

解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴

k≠0且Δ＞0，即(-4)2-4×k×2＞0，解得k＜2且k≠0，∴k的取值范围为k＜2且k≠0．1.一元二次方程x2−5x＋7＝0的根的情况是()AA．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个实数根解：∵

Δ=(-5)2-4×1×7=-3<0，∴此方程没有实数根.随堂练习2.若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是()DA．

a＜1B．

a＞1C．a≤1D．

a≥1解：方程整理，得x2－4x＋5-a=0,∵关于x的一元二次方程有实数根，∴Δ=16-4×1×(5-a)≥0,解得a≥1，∴a的取值范围为a≥1．Δ≥03.关于x

的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为

．

解：因为a=m2，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根，

又因为二次项系数不为0，

4.（例2变式）若关于x的方程kx2−4x+2=0有实数根，则k

的取值范围为

．解：分两种情况讨论：（1）若方程为一元一次方程，则k=0，方程化为−4x+2=0.（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，即(-4)2-4×k×2≥0且k≠0，

解得k≤2且k≠0，综上所述,k的取值范围为k≤2．k≤2解得

一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac．课堂小结当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根.对接中考1.（2020•荆州中考）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a+b)(a﹣b)﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝(4+3)(4﹣3)-1=7-1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根C解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴(x+k)(x﹣k)-1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵

Δ＝(﹣1)2﹣4(﹣k2﹣1)＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．2.已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状.解：方程整理，得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，∵方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，∴Δ=(-2a)2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，即a2+b2=c2，∴此三角形为直角三角形．谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。21.2.2公式法九年级上册RJ初中数学解一元二次方程解一元二次方程的方法：1．直接开平方法；2．配方法．知识回顾2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．学习目标请用配方法解下列方程：课堂导入方程（1）用配方法比较简单，方程（2）用配方法比较复杂，对于方程（2）有没有更好的方法呢？

解：(1)x2-4x=-3，

x2-4x+22=-3+22,(x-2)2=1,x-2=±1,x1=3,x2=1.

用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0).

知识点1新知探究1.化1:把二次项系数化为12.移项:把常数项移到方程的右边3.配方:方程两边都加上一次项系数的一半的平方4.变形:方程左边分解因式，右边通分

当b2-4ac≥0时，

5.开方:方程两边开平方6.求解:解一元一次方程7.定解:写出原方程的解用公式法解一元二次方程的前提：1.必须化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)．2.b2−4ac≥0．综上可知，当b2－4ac≥0时，方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为叫做一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

的形式，这个式子用公式法解一元二次方程的步骤：1.整理方程：将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，找到公式中的a，b，c，要注意a，b，c

的符号．2.计算根的判别式：将a，b，c

的值代入Δ=b2-4ac计算，并判断Δ的符号．知识点2新知探究3.求根：当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，即当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即当Δ=b2-4ac<0时，方程无实数根.只有判别式非负时,才能代入求根公式.例用公式法解方程：

跟踪训练新知探究解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7．Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，故方程有两个不相等的实数根

1.确定系数2.计算Δ3.代入4.定根

例用公式法解方程：(1)x2-4x-7=0注意符号例用公式法解方程：

例用公式法解方程：注意：确定a，b，c的值时，要先将一元二次方程化为一般形式．(3)5x2-3x=x+1;

解：(4)原方程化为x2－8x＋17＝0．a＝1，b＝－8，c＝17．Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0．故方程无实数根．例用公式法解方程：(4)x2+17=8x当∆<0时，直接下结论无实根．1.一元二次方程3x2=4-2x

的根是

．解：原方程化为3x2+2x-4=0，Δ＝

b2-4ac=4-4×3×(-4)=52＞0，

随堂练习

a=3,b=2,c=-42.已知

α

是一元二次方程

x2-x-1=0

较大的根，则下列对

α

的值估计正确的是()A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1B

公式法求解一元二次方程的步骤：一元二次方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式a=？b=？c=？求Δ＝b2－4acΔ≥0？无实数根套公式求解课堂小结否是

A．2x2+4x+1=0B．2x2-4x+1=0C．2x2-4x-1=0D．2x2+4x-1=0A对接中考

2.当a<0时，方程x|x|+|x|-x-a=0的解为

．

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。21.2.3因式分解法九年级上册RJ初中数学解一元二次方程（一）因式分解的方法1.提公因式法:一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.公式法:利用平方差公式

利用完全平方公式分解因式.知识回顾3.十字相乘法:利用x²+(p+q)x+pq=

(x+p)(x+q)分解因式.(二)解一元二次方程的方法1.直接开平方法：形如

的方程，用直接开平方法.2.配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式Δ=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，利用求根公式

x=

求方程的根.会用因式分解法解一元二次方程．学习目标

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x－4.9x2＝0.①课堂导入用配方法或公式法解方程①都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗？x(10-4.9x)=0，观察方程10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？10x

-

4.9x2=

0,

x

=

0或10

-

4.9x

=

0，知识点新知探究a·b=0a=0或b=0右边为0左边可以因式分解解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？

可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．理论依据:ab=0a=0或b=0.降次结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0.解法一：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得

x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.

例1解方程：x(x－2)＋x－2＝0.整体思想:公因式x-2易错点:这里提取公因式x-2后，还剩下1，不是0.解法二：整理，得x2-x-2=0

因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得

x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.

解法一用到了整体思想，解法二用到了十字相乘法新知探究跟踪训练例2解方程：平方差公式解：移项、合并同类项，得4x2－1＝0.因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，

用因式分解法解一元二次方程的步骤：1.移项：将方程的右边化为0；2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x-1)=x，

若约去x，则会导致丢掉x=0这个根.常见类型因式分解方程的解x2+bx=0x(x+b)=0x1=0，x2=-bx2-a2=0(x-a)(x+a)=0x1=-a，x2=ax2±2ax+a2=0(x±a)2=0x1=x2=∓ax2+(a+b)x+ab=0(a，b为常数)(x+a)(x+b)=0x1=-a，x2=-b常见的可以用因式分解法求解的方程的类型解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，于是得x＝0，或x＋1＝0，即x1＝0，x2＝－1.随堂练习用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0;(2)(2x-3)2=(3x-2)2;(3)3x2-6x=-3;(2)(2x-3)2=(3x-2)2;(2)解法一：移项，得(2x-3)2-(3x-2)2

=0.

因式分解，得[(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]＝0.即(5x-5)(-x-1)=0，

所以5x-5＝0，或-x-1＝0，

x1＝1，x2＝-1.

整体思想(2)(2x-3)2=(3x-2)2;(2)解法二：整理，得x2-1=0，因式分解，得(x-1)(x+1)=0，

所以x-1＝0，或x+1＝0，

x1＝1，x2＝－1.

解：(3)移项、化简，得x2-2x+1=0，因式分解，得(x-1)2=0，于是得x-1=0，即x1=x2=1.(3)3x2-6x=-3;因式分解法概念步骤右化零左分解两因式各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0.原理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).课堂小结简记1.解方程：2(x-3)=3x(x-3).对接中考解：移项，得2(x-3)-3x(x-3)=0，即(x-3)(2-3x)=0，所以x-3=0或2-3x=0，

2.用因式分解法解下列方程：(1)(x-5)(x-6)=x-5； (2)16(x-3)2-25(x-2)2=0.解：(1)移项，得(x-5)(x-6)-(x-5)=0，因式分解，得(x-5)(x-6-1)=0，所以x-5=0或x-6-1=0，所以x1=5，x2=7.2.用因式分解法解下列方程：(1)(x-5)(x-6)=x-5； (2)16(x-3)2-25(x-2)2=0.解：(2)整理方程，得[4(x-3)]2-[5(x-2)]2=0，因式分解，得[4(x-3)+5(x-2)][4(x-3)-5(x-2)]=0，即(9x-22)(x+2)=0，所以9x-22=0或x+2=0，

3.由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+

)(x+

)；24解:(2)因为x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)×1=(x-4)(x+1)=0，所以x-4=0或x+1=0，所以x1=4，x2=-1.(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。21.2.3因式分解法九年级上册RJ初中数学解一元二次方程解一元二次方程的方法：直接开平方法配方法公式法因式分解法知识回顾会选择适当的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解一元二次方程．学习目标配方法：分别用配方法、公式法和因式分解法解方程

10x-4.9x2=0

.课堂导入

解：10x-4.9x2=0化为一般式为4.9x2-10x=0.公式法：分别用配方法、公式法和因式分解法解方程

10x-4.9x2=0

.课堂导入∵a=4.9，b=-10，c=0.∴

b2-4ac=(-10)2-4×4.9×0=100.

解：10x-4.9x2=0,x(10-4.9x)=0,

x=0或10-4.9x=0,因式分解法：分别用配方法、公式法和因式分解法解方程

10x-4.9x2=0

.课堂导入

一元二次方程解法的比较方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的定义(ax+b)2=n(a≠0，n≥0)型方程开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程因式分解法若ab=0，则a=0或b=0能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程分解因式求解迅速、准确，但适用范围小配方法完全平方公式所有一元二次方程配方解法烦琐，当二次项系数为1时用此法比较简单公式法配方所有一元二次方程代入求根公式计算量大，易出现符号错误知识点新知探究例用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2=1；(3)x2-12x=4；(4)3x2=4x+1.

解：(1)化简，得(3x-5)(x+5)=0.即3x-5=0或x+5=0.新知探究跟踪训练(1)式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.

(2)(5x+1)2=1；解：(2)开平方，得5x+1=±1.方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.

解：(3)配方，得

x2-12x+62=4+62，即(x-6)2=40.

(3)x2-12x=4;二次项的系数为1，用配方法解题较快.

解：(4)化为一般形式为3x2-4x-1=0.∵Δ=b2-4ac=28>0，(4)3x2=4x+1.二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.

解一元二次方程的方法的选择技巧若一元二次方程可化为(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法.①

x2-3x+1=0；

②3x2-1=0；

③-3t2+t=0；

④x2-4x=2；

⑤2x2-x=0；

⑥5(m+2)2=8；⑦

3y2-y-1=0；

⑧2x2+4x-1=0；⑨(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法

；适合运用因式分解法

；适合运用公式法

；适合运用配方法

.1.填空：⑥①②③④⑤⑦⑧⑨随堂练习2.用适当的方法解下列方程：(1)x2-2x-8=0；(2)2x2-7x+6=0；(3)(x-1)2-2x+2=0.解：(1)移项，得

x2-2x=8，配方，得(x-1)2=9，所以x-1=±3，所以x1=4，x2=-2.解：(2)因为a=2，b=-7，c=6，所以b2-4ac=1>0，2.用适当的方法解下列方程：(2)2x2-7x+6=0；

解:(3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0，因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0，所以x-1=0或x-3=0，所以x1=1，x2=3.2.用适当的方法解下列方程：(3)(x-1)2-2x+2=0.易错点：添括号，括号前是负号，各项要变号.解一元二次方程解法根的判别式直接开平方法配方法公式法因式分解法求根公式前提：Δ≥0课堂小结对接中考1.(2020·大兴安岭中考)解方程：x2﹣5x+6＝0解：因式分解，得(x﹣2)(x﹣3)＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．2.（2020•荆州中考）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：【提示】可以用“换元法”解方程．解：设

则有x2+2x＝t2，原方程可化为：t2+4t﹣5＝0.【续解】原方程可化为：t2+4t﹣5＝0.【续解】因式分解，得(t+5)(t-1)＝0，则t+5＝0或t-1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，因为t≥0,所以t=1，所以即x2+2x-1=0，配方，得(x+1)2=2，经检验，方程的解为解得谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系九年级上册RJ初中数学解一元二次方程1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).2.利用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况.对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时，方程无实数根.

知识回顾1.了解一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.学习目标课堂导入一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为：两个根的和、积与a,b,c有怎样的关系呢？

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：知识点新知探究根与系数的关系特别地，若方程可以化为x2＋px＋q＝0的形式，则有x1＋x2＝－p，x1x2＝q.

注意：满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.例1不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2－6x－15＝0;(2)3x2＋7x－9＝0;(3)5x－1＝4x2.跟踪训练新知探究解:(1)x1+x2=-(-6)=6，

x1x2=-15.注意公式自身的符号及系数的符号.

例1不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(3)5x-1＝4x2.跟踪训练新知探究(3)化一般式，得4x2-5x+1＝0，用根与系数的关系前，一定要化成一般式.

拓展：与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2有关的几个代数式的变形

求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入.

解：∵a2-6a+4=0和b2-6b+4=0两个等式的形式相同，且a≠b，∴a，b

可以看成是方程x2-6x+4=0的两个根，∴a+b=6，ab=4，A

解：设方程的两根分别为x1，x2，例3

已知关于x的一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和为，求m的值.

当m=-11时,方程为2x2+11x+23=0,Δ=121-4×2×23=-63<0，方程无实数根，不合题意，应舍去；当m=3时,方程为2x2-3x-5=0，Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49>0，方程有两个不相等的实数根.综上所述，m

的值为3.求解此类问题时，必须将求出的字母的值代回原方程进行检验，看是否满足判别式Δ>0，否则可能会多解.1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.(1)x2－3x＝15；

(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；

(4)2x2－x＋2＝3x＋1.解：(1)方程化为x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.

随堂练习解：(3)方程化为x2－x－1＝0，x1＋x2＝－(－1)＝1，x1x2＝－1.1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.(1)x2－3x＝15；

(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；

(4)2x2－x＋2＝3x＋1.(4)方程化为2x2－4x＋1＝0，

2.已知关于x