青岛版初二数学课件

初二数学青岛版

（一）、二次根式及其性质

一周强化

一、一周知识概述

1、二次根式

一般地，我们把形如布（。之0）的式子叫做二次根式，其中“为整式或分式，。叫做

被开方式.

2、二次根式有意义的条件

二次根式段有意义的条件是。K）,即被开方式是非负数.

3、二次根式的性质

（l）-7a>0（仑0）；

（2）（石）=a（a>0）.

逆用a=（（a>0）.

⑶1-&（a<0）.

4、积的算术平方根的性质

而=向指（aNO,b>0）

即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

5、商的算术平方根的性质

la夜

玉存（a沙,b>0）

商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

6、最简二次根式

如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因

式，这样的二次根式称为最简二次根式.

二、重难点知识归纳

1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，

且被开方数必须是非负数.

2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式正中被开方数非负（a>0），算术平方

根非负«>0）.

3、利用（或）2=©a三0）得到a=（夜）2（』三0）成立，可以把任意一个非负数或式写成一

个数或式的平方的形式.如2=（遮,.

4、注意逆用二次根式的性质，即出•拜师心0，心0）,存

利用这两个性质可以对二次根式进行化简.

5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式.最

简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方式中不含分母；（2）被开方式中不含能开得尽

方的因数或因式.

三、典型例题讲解

例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图.

b-I0uI

化简：+取++_1）2_-1）2.

分析:

待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的

痂，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定

各个数的正负性.

解：

由数轴上点的位置可知a>b,0<a<l,b<—1,

a>0,b<0,a—b>0,b-l<0,a—1<0

必+亚+依_5)2+J©_1)2_J(a-1)2

=历++&-讨+_&-a)2

=a+(-Z>)+(a-U)+(1-6)

=3a-3b.

总结：

（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大

小；

（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性.

例2、化简下列二次根式:

⑴呵；(2)|7132-U2；

(3)-j2/y3；(4)J16<?+3*；

分析:

（1）〜（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能

开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）〜（8）题

都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的

算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化

简.

^(1)7288=7144x2=7144x72=1272;

(2)32-112=104x2=#16x3=2品

(3)-j2?y3=~^36x2y2>2y=-6xy回;

(4)加^+3a2=也2(164+3)=蹴6a+3)

⑸京后唠邛;

⑹-榜=-月=-楞=^^=-遍；

⑺四二懵二扇工匹

⑻耳=呼娟

Vy(i)Y/

总结：

(i)当被开方数中不含有分母，则用而=6,高积的算术平方根性质进行化简;

(2)当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算

术平方根.

例3、若X为实数，化简下列各式

⑴J.2+2x+1

(2)-4x+4+2Jl+2x+1

分析：

由于X为实数，要确定J(x+1>中的x+1和J(x-2)2中的X—2的正负号，必须

将实数划分为几个区域来讨论.

解:

(1)&+2x+l=J(x+l)2=|x+]]

当x+lK),HPx>—1Lbf,lx+ll=x+l

当x+lvO,即xv—1时,lx+ll=—(x+1)=—x—1

-1o2

2

(2)-4%+4+2jl+2x+x'=J(，-2)2^^(1+x)=|x—21+211+xl

令x—2=0,则x=2,

令x+l=O,则x=—l,x=2,x=-l称为零点值

把x=2,x=-l这两点标在数轴上(如上图)

这时数轴被分成三段：x>2,-l<x<2,x<—1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号.

1)当它2时

lx—21+211+xl=(x—2)+2(1+x)=3x；

2)当一l'x<2时，

lx-2l+2ll+xl=-(x-2)+2(l+x)=x+4；

3)当x<—1时，

lx-21+211+xl=-(x-2)-2(l+x)=-3x

说明：

解这类题的大致步骤：①找出零点值(使绝对值等于零的x的值)；②在数轴上标出

这些点，将整个数轴分成若干区间；③按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达

到化简目的.

例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式

^3x+5y-2-m+^2x+3y-m=^x-199+y^\99-x-y,试确定m的值.

分析：

•；x—199+y与199—x—y互为相反数，且x—199+yK),199—x—yK)同时成立，

.-.x-199+y=0,即x+y=199,又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程

组，从而求出m的值.

解：

由二次根式有意义的条件知

p-199+y>0

卜99-入-衿0,...x+y=i99

将其代入已知等式得

y/3x+5y-2-m+J2x+3y-m=0

又根据算术平方根为非负实数有

y/3x+5y-2-m.Q,^2x+3y-m>0

3x+5y-2-加=0①

<2x+3y-m=0②

x+y=199③

②x2—①得x+y—m+2=O,结合③得

m=x+y+2=199+2=201.

总结：

当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数

同时为零.

中考解析

例1、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：+

-ab,

____।_____।.3-」----1..».j---------1---------»

-101

解析：

,11,,

-1<（2<———<b<1,

由数轴上实数a、b的位置可知2,2a-b<0,

所以

^a\-\b\+\a-b\

=-a-b一@一切

=-a-b-a+b

=-2a.

例2、（绵阳市）已知厄^是正整数，则实数n的最大值为（）

A.12B.11C.8D.3

解析：

版不是正整数，12—n是一个整数的平方数，当n增大时，12—n减小，所以当

n=l1时，12—n=l,所以n的最大值为11.

答案：B

例3、（荆门市）若炉"一/行=6+丁）2,则x—y的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

解析:

本题考查二次根式的意义，

由题意可知x—1K）且1—xK）,

，x=l,八-1,

，x—y=2,故选C.

答案:C

课外拓展

例1、已知J2a-3+小=4,化简J。*-2“+1-J，2-助+16

解析:

由J2a—3+8=4知42a—3=A—b

f2a-3>0（二次根式的意义：被开方数是非负数）

得.,

.4-b>0（二次根式的性质；算术平方根是非负数）

-a>3

得：f-2（在此具体条件下，可对代数式化简）

b<4

解：Y2a-3+8=4,即J2d-3=4-8

'2a-3>0

V

4—b>0

&>3

解之得：J3-2

.b<4

原式-4尸=|a-l|-|i-4|=(a-l)-[-(i-4)]=a+b-5

a+b--1-4y/b—2=34c-3—-c-5

例2、已知2,求a+b+c的值.

分析:

已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式如何才能确定未知量

的值呢？由二次根式的基本性质考虑配方.

解：

原等式变形为

Qa—I)?—2-y/a—1+Qb-2y—4y/b—2+—(&-3)2-3&-3+—=0

22,

(y/a—1—I)2+(yJb—2—2)2+—3c—3—3)2=0

配方得2

则yja—1—1=0,y/b—2—2=0,-Jc-3—3=0

得a=2,b=6,c=12,

故a+b+c=2O.

(-)二次根式的加减法

一周强化

一、一周知识概述

1、同类二次根式

儿个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这儿个二次根式就叫做同

类二次根式.同类二次根式与整式中的同类项类似.

2、合并同类二次根式

合并同类二次根式与合并同类项相似.将同类二次根式的系数相加减，根指数与被

开方数不变.

3、二次根式的加减法

二次根式加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把同类二次根式分别

合并.合并方法为系数相加减，根式不变.

注意：二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并.

4、二次根式的加、减运算的依据

二次根式的加、减运算实质上是运用实数的加法交换律、结合律，以及乘法对于加

法的分配律.

二、重难点知识

二次根式的加减法运算实质上是运用实数的运算律，在进行二次根式的加减法时，

注意先把各个二次根式化简为最简二次根式，再把同类二次根式合并.

三、典型例题讲解

例1、下列二次根式中与是同类二次根式的是（）

A、屈B、屈

C、而D、师

分析：

本题主要是考查化简二次根式的能力和同类二次根式的概念的理解及判断能力，解

此题，首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式，哪个

被开方数是3.

解：

.严=历=3"后=旧=翳噜，

闻是最简二次根式，不能再化简.

7300=V3xl00=1073

故师与-5正是同类二次根式

答案：D

例2、计算：

(1)"$*2小&".

分析：

本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把同类二次根

式进行合并.

解：

(1产*+舍

=—--^2+—M/S-——>/2--Jh

234

53

而

石

3-一-4

=+——-^^3~,L石+5、后

234

=(4+2)存(5-

上石+坦石

43.

例3、计算：

(1)(^-27025)-(^I1+750+|V72)

⑵淘-亚)-4

1-2a.).

(3)2<7A&2-(-\^7

6

分析：

先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算.

^:(1)(A/8-2V0?25)-(Jli+V50+-V72)

v83

=>^-27^25-JlJ-^-|V72

=2y[2—1—^^2—5y/2—gx6->/2

=(2---5-4)72-l=-—^-l;

44

(2)(病-+海)

=4』-1指-g石-葭君

=(4-济-学书.

(3)2川3成2-(2也7a3-

6

=2川3苏-,J2G+

=2ab^/3a-程+abyj3a

=(2ab-?+|aby/3a.

总结：

解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注

意符号的处置.

例4、已知x,y为整数，且正+6=J耐，求x+y的值.

分析：

若&+$=指（区友出为非负数），则亚述,正是同类二次根式，这是个常用的

性质，由此可知出，下，疝旃=2师是同类二次根式，所以设

&=a疝！"=2?而1（a力为非负整数），再由已知可求得x,y,从而可求出x+y的值.

解:

因为正+J2004,

所以正，赤,灰5的是同类二次根式,

又因为亚而=2闹，

可设五=a闻^^=》闻T,

则a/57+占道正=2-750?

所以a+b=2.

由题意可知，a,b均为非负整数，

时广01，

所以当3=1〔丫=501，所以x+y=i002.

,：=。时产

当3=2"=2004,所以x+y=2004.

a=2,$fx=2004,

<时

当出=0ly=0,所以x+y=2004.

所以，x+y的值为1002或2004.

总结：

几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几

个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同.

中考解析

例1、（贵阳市）计算：也+瓜-2屈=.

分析:

本题主要考查二次根式的加减运算，应先将各项化为最简二次根式，再合并其中的

同类二次根式.

解：

,^2+y/3—2^18=V2+2V2-6,^2=-3y/2

例2、（上海市）在下列二次根式中，与右是同类二次根式的是（）

A.而B.C.星D."

解析：

要判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先把各个二次根式化成最简二次根

式后再看被开方式是否相同.因为血。是最简二次根式，疹8=1,

荷'=|a|而，所以与石是同类二次根式的是值.

答案:C

课外拓展

换元法是数学中一种重要的解题方法，应用非常广泛.在二次根式的化简中，对有些题

目，若能根据其结构特点，巧妙地应用换元法，可使解题变得十分简捷.

-^7+345--41-3^5.

例1化简：22

-77+375--77-3-75

解：设22=a（a>0）,

则力+3、6-力-36=2a

两边平方，得

7+3右—2/+3、/■仍-3、5+7.3石=4a2

整理，得4a2=10.

*/a>0,a=2.

底

工原式=2.

%+2+J.?—4n+2-V«2-4

例2、化简：加+2一八'-4+加+2+-4

解：

设n+2+八-4=a,

n+2-厩~~=b,

贝I」a+b=2n+4,ab=4n+8.

aJ(a+3)2-2ab

原式a=ab

(2%+4)22w+4

4%+8—2=2—2=n.

(三)、二次根式的乘除法

一周强化

—■、一周知识概述

I、二次根式的乘法法则

6.扬=嫡便0,b>0)

即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

注意：①此法则可推广到多个二次根式的情况：好"而忑•◎=、丽⑶

b,c,d都是非负数)；

②如果根号前有系数，就把各个系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数；

③二次根式运算的结果，应该尽量化简，如最终结果不要写成历；

④被开方数相乘的时候，往往不求出乘积，而是考虑因数分解或因式分解，以便进

一步的化简.如君.、后直接得到厅三，而不要先写成后；

⑤二次根式相乘也要有一定的灵活性，如果而，而不是最简二次根式，也可以先

把它们化简成最简二次根式，然后再相乘，反而简便些.如

历x回=3后x4后=12、后

2、二次根式的除法法则

y/afa

⑤.(a>0,b>0)

即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

注意：①如果根号前有系数，就把各个系数相除，仍旧作为二次根号前的系数;

②这种方法的局限性比较大，它只适用于被除式与除式的被开方数恰好能整除的情

Tn

.当被除式与除式的被开方数不能整除时，如、回我

11

们把它化成Y3没有什么意义，这时就要采用分母有理化的方法来进行.因此二次根式

的除法运算，通常是采用化去分母中根号的方法来进行.

③二次根式相除，最后的结果必须化成最简二次根式.

3、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减,

有括号的先算括号里的（或先去掉括号）.

注意：①在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同

的二次根式的和可以看作“多项式”；

②有理数（或整式）中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍

然适用；

③二次根式的运算结果必须是最简二次根式.

二、重难点知识

1、注意逆用二次根式的乘除法则，即而,4=嫡3》。/妾。），-&0）°’,°）,

利用这两个性质可以对二次根式进行化简.

2、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式.最简二次

根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数

或因式.

3、二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方开方，再乘除，最后加减,

有括号的先算括号里的（或先去掉括号）.在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单

项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；实数运算中的运算律（分配律、

结合律、交换律）、运算法则及所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等），在

二次根式的运算中仍然适用.

三、典型例题讲解

例1、计算

(1)后X、呵

⑵(血+信后(、口-布+历

分析：

逆向利用积的算术平方根的性质，友』弱(a>0,应0)得到石柩=、痴

(aK),b>0)这就是二次根式的乘法法则.有理数的运算律、乘法公式对于二次根式同

样适用.

解：

(D754x^/W2=754x102=732x62xl7=18-717

⑵(72+73-75)(72-73+,/5)=(72)2-(73-^)2

=2-(4)2+27^后-(质2=2-3-5+2、肪=2厉-6

例2、计算

分析:

利用二次根式除法法则进行，被开方数相除时，用除以一个数（非零）等于乘以这

个数的倒数，约分再化简.

解:

⑴原式=1栏伍=2

=粤="=2

⑵原式J。”

=-J—-=-V18=-3、历

⑶原式V354

小结:

当除式是分数或分式时，可转化为乘法计算.运算的结果一定要最简.即：①被开

方数不能有开得尽方的因数或因式；②被开方数中不能含有分母.

例3、有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为石：1,现用直径为

3历cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

解：设矩形房梁的截面宽为x(cm),则长为招xcm,依题意，

得:(布X)2+x?=(3")2,

3

4x2=9x15,x=2(cm),

135

上xx=x2=4(cm2).

例4、计算下列各题

分析:

这是二次根式乘除的混合运算，与有理数的混合运算一样，按先后从左到右顺序进

行.

解：

⑴原式/MB/

（万+2）（V10x8一

=尚国

--a2b24ab

2a

例5、计算

⑴（加+出-4）（"-/-⑹

⑵（2/+加7（而-2曲7

1

分析:

（1）可类比多项式乘法进行计算；（2）逆用幕的运算法则，能用乘法公式则宜用

乘法公式计算；（3）是二次根式的除法，可按分式的基本性质计算.

解：

⑴(&+琳-夺-4-4)

=[(虎-加)+/][(应-4)-布]

=(0_我2_(扬2

=7--3=4-2y/10

(2)(2^+4)7(而-26)7=[(2/+711)(717.2状)]，

=[(^H)2-(2V3)2]7=(H-12)7=-1

f乖-1乖'、乐。或4-V2

⑶"TF飞一丁?-苏7r27=『

(&-1)•应4-&

或苗=父/二F

点拨:

二次根式的乘法尽量使用乘法公式，使计算简便，除法中的除式不只一项的，宜用

分数（式）的基本性质，分子、分母同时乘以一个因式，使分母中的根号化去.

例6、观察下列各式及其验证过程:

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验

证;

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且叱2）表示的等式,

并证明它成立.

思路:

(1)我们从两个特例入手，可以发现式子的结构特点：根号前面的数字因数和被

开方数的分子相同，而分母等于分子的平方减1,于是易猜想出「石的变形结果，并

得到一般规律；

(2)由题设及(1)的验证结果，可猜想对任意自然数n(n>2)都有:

(1)本题的结论没有明确给了，需要我们去寻求和发现，合理运用猜想，就能较

快地找到结论或结果，解这类题目，通常先从特殊入手，分析归纳得到一般的结果；

(2)要学会类比思想，找出规律性的东西，这是现在中考中的创新题型；

(3)在本题的规律"V/T中等式右边中切忌写成“盟『-I.

中考解析

例I、(新疆乌鲁木齐市)计算:

解:

——y/3+卜2y/3

原式

卷后2&号

y/2X,[

例2、（山东青岛）计算：④=.

解析：

&乂乖

本题考查二次根式的乘法和除法运算，根据运算顺序先计算而

A/2X-（/6忑!y/2xy/61011

---=——=----=-----=2---=——―1=2-1=1

出布，所以^

答案：1

例3、（烟台市）观察下列各式:…请你

将发现的规律用含自然数n（n>l）的等式表示出来

分析:

观察第1个等式等号左边被开方数中的整数部分与其序数相同,

分数部分的分母比其序数大2,等号右边根号外的因数比它的序数大1,被开方数的分

*'第3个等式

数部分的分母比它的序数大2；同样观察第2个等式

由此可以得出第n个等式应该是

+-------=+1)J--------

V»+2\n+2(n>l).

1

+----

用含自然数n(n>l)的等式表示出来为Y"+2

点评:

此类问题的解题思路是从已知的式子出发，通过观察、分析、归纳、猜想出规律,

然后再对所得的结论进行论证.

答案:

课外拓展

1、有理化因式

(1)有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有

二次根式，我们就称这两个代数式互为有理化因式.

(2)求有理化因式的方法

①如果含有二次根式的代数式是单项式，即开方如酒、石的式子，它的有理化因式

就是忑(、后是最简二次根式).

②如果含有二次根式的代数式是二项式，那么它的有理化因式也是二项式，其中有

一项与原二项式中的一项完全相同，另一项与原二项式中的另一项只差一个符号，即它

们相乘恰好满足平方差公式.

(3)一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：①小万与、石；②而+而与

4a--Jb.③a+扬与a-忑;④加石+附柩与加而一%柩(其中、石、、区都是最

简二次根式).

2、分母有理化

当被开方式中含有分母时，要把分母中的根号化去,这个运算过程叫分母有理化.如

分母含及时，分子分母同乘以石：分母为志士柩形式，分子分母同乘以指千

以便运用平方差公式，化去分母中的根号.

1111

例1、化简、"+贬Vs+楞A/3+4^、函+J100

分析：

当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1,就可

将原式变为不含分母的二次根式.

解：

、泛-1-V2—V3J100—J99

------1----;---1------1---1---------

=7ioo-i

=10-1

=9

注意：这种解题方法是一种常用的技巧，应掌握.

例2、化简：

1--4

(1)2+V3-1+V35

3^2273+33」

(;72^73-V3T7+73^72-

解.⑴1-1__4_(1-今(2-我4(我-1)

:㈠2+01+#~(2+V3)(2-^)~(V3+l)(V3-l)

厂厂4厂

=(1-73)(2-A/3)--(V3-1)

=2-0-2赤+3-2日+2

=7-573.

小、3应2、月+3372

（73^2-+73^

3贬（2」+3）（2-西3贬

-晚一相一（2+、份）（2一5）一短一也

=-（4^3-6+6-3V

总结：

在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的,

又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如（?+2）（^-2）,结果为一1,

继续运算易出现符号上的差错，而把行+2变为2+S,这样（2+4）（2-4）则为］,

继续运算可避免错误.

（四）、全等形与相似形

一周强化

一、一周知识概述

1、全等形与全等三角形及相关概念

（1）能够完全重合的平面图形叫做全等形.

（2）能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

（3）当两个全等的三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合

的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.

（4）全等三角形的表示方法：如下图中的AABC与4DEF全等，记作：^ABC丝

△DEF.

AD

2、相似图形

形状相同的平面图形叫做相似形.

如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来

的.由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图

中所描绘的各个部分）肯定是相同的.

3、全等形与相似形的关系

相似的图形具有“相同形状”包含三层意思：①至少有两个图形；②图形的形状完全

一样；③图形的大小可相同，也可不同.形状和大小相同的两个图形是全等图形.全等形

一定是相似形，而相似形不一定是全等形.

4、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等.

二、典型例题讲解

例1、对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；

③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同、面积也相同.其中能得到这

两个图形全等的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

分析：只有④才能判断两个图形的形状和大小都相同.

答案：A

点拨：全等图形一定要考虑形状和大小都完全相同，二者缺一不可.

例2、下列各组图形中，是相似图形的是（）

A.两个等腰三角形B.两个矩形

C.两个正六边形D.两个等腰梯形

分析：

判断两个多边形是否是相似形，要看它们的形状是否相同，不能只看这两个多边形

所叫的名称相同，而要根据形状相同图形的特点判断，而题中能满足条件的只有C项.本

题易错解：A或B或D

答案:C

例3、如下图，△ABCgZXCDA,找出对应边和对应角.

分析：

由对应边、对应角的概念，先找出对应顶点，再由对应顶点确定对应边和对应角.

解：

因为AABC与4CDA重合，互相重合的顶点是A和C,B和D,C和A；所以对

应顶点是A和C,B和D,C和A；对应边为AB和CD,AC和CA,BC和DA；对应

角为NCAB和/ACD,ZABC和/CDA,ZACB和NCAD.

例4、已知AABC之△EFG,且NB=68。，ZG-ZE=56°,求△EFG各内角的度数.

解：因为aABC丝△EFG,

所以/B=/F=68。（全等三角形的对应角相等）.

‘NG++N歹=180。（三角形的内角和为180。）

</尸=68。,

依题意有［"々=56。，

解得NE=28°,NG=84。，ZF=68°.

点拨：

已知两三角形全等，求相关的角，运用“全等三角形的对应角相等“这一性质是关键.

例5、如图，Z^ABE和△ADC是aABC分别沿着AB、AC边翻折180。形成的.若N1

:Z2:Z3=28：5：3,贝ij/a的度数为.

解：

因为Nl：Z2:Z3=28：5：3,

又Nl+N2+N3=180°,

所以/1=140。，N2=25°,Z3=15°.

因为4ABE和4ADC是4ABC翻折180。而形成的,

所以4ABE丝△ABC,AADC^AABC,

所以/ABE=/2=25°,ZACD=Z3=15°.

所以/EBC=2N2=50。，ZDCB=2Z3=3O°.

又Na为ABCF的外角，

所以Za=ZEBC+ZDCB=50°+30°=80°.

点拨:

这里主要用到“全等三角形的对应角相等”及“三角形的外角等于不相邻两个内角

和“这两个相关的性质.

例6、如下图，A在线段DE上，AAEC^ABDA.

(1)若NAEC=90。，则/BAC也等于90。吗？为什么？

(2)若EC=1,EA:AD=3：1,求ED的长度.

解：

(1)NBAC=90。.理由如下：

因为△AEC94BDA,

所以N1=N2.

又因为NCAD=N2+N3=N1+NE,

所以N3=NE.

又因为NE=90。，所以N3=90。，

所以AC±AB.

(2)因为AEC^^BDA,

所以EC=AD.

又因为EC=1,所以AD=1.

又因为EA:AD=3：I,

所以ED=4AD=4.

点拨：本题主要用到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

中考解析

例1、（黑龙江省）如图，在aABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADBgA

EDB^AEDC,则NC的度数为（）.

A.15°B.20°C.25°D.30°

解：

因为aEDB四△EDC,

所以/DEB=/DEC=90。，且/DBE=/C.

又因为△ADBg/XEDB,

所以NA=NDEB=90。，且NABD=NEBD=NC.

又NABD+ZEBD+ZC=180°-NA=90°,

所以/C=30。.故选D.

剖析：由于这里是求NC的度数，所以我们反复利用三个全等三角形的对应角的关系.

例2、（威海）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角

形与镜面合同三角形.假设4ABC和△AIBCI是全等（合同）三角形，点A与点A1对应,

点B与点Bi对应点C与点G对应.当沿周界A—B—C-A及AI—BI—G—Ai环绕时,

若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1）;若运动方向相反，则称它们

是镜面合同三角形（如下图2）.

图1图2

两个真正合同三角形,都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合.而两个镜面合同

三角形要重合，则必须将其中的一个翻转180。.（如下图）下列各组合同三角形中，是

镜面合同三角形的是（）

分析：显然将A、C、D中的两个三角形中的一个翻转180。后不能与另一个重合.

解：应选B.

课外拓展

1

例、如下图1,在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=2AB.

阅读下面的材料:

如图2,把AABC沿直线BC平行移动线段BC的长度可以变到4ECD的位置.

如图3,以BC所在的直线为轴把4ABC旋转180。可以变到4DBC的位置.

如图4,以点A为中心，把aABC旋转180。可以变到AAED的位置.

像这样，其中一个三角形是另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法变成的，这种

只改变图形的位置，不改变图形大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.

回答下列问题：

①在图1中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种变换方法，使4ABE变到△

ADF的位置；

②指出图1中线段BE与DF之间的关系，并说明理由.

解：

①4ABE绕点A逆时针旋转90。到4ADF的位置，所以4ABE丝AADF.

②BE=DF且BE_LDF.理由如下：

延长BE交DF于G,

因为4ABE丝AADF,

所以N1=NF且BE=DF.

又因为正方形ABCD中，NEAB=90。,

所以/2+/1=90。，

所以N2+NF=90。，

所以NBGF=180°—90°=90°,

所以BELDF.

（五）、怎样判定三角形全等

一周强化

一、一周知识概述

1、判定三角形全等的方法

判定方法一：如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其

夹边对应相等，那么这两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.

推论：如果一个三角形的两个角及其中一个角的对边分别与另一个三角形的两个角

及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.简记为“角角边”或“AAS”.

判定方法二：如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其

夹角对应相等，那么这两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS”.

判定方法三：如果一个三角形的三条分别与另一个三角形的三条边对应相等，那么

这两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”.

2、找对应元素的常用方法

（1）从运动角度看

①翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素.

②旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素.

③平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.

（2）根据位置元素来推理

①全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.

②全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.

③两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边.

④两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角.

⑤两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角.

⑥两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短

的边（或最小的角）是对应边（或角）.

复杂的几何图形，实际上常常可以看作简单图形的组合，我们要把简单图形从复杂

图形中分离出来，确定对应的概念，加深对概念的理解，把复杂的儿何问题转化成简单

问题，这就是数学中的转化思想的体现.

3、熟悉全等三角形的基本图形

全等三角形的基本图形大致有如下几种图形

（1）平移形：如图，它们是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，对应边的相

等关系一般由同一直线的线段和（差）而证得.

（2）对称形：如图，它们的特点是对应相等的边或角重合，可沿某条直线对折，直线

两旁的部分能完全重合.

（3）旋转形：如图，它们的特点是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般

有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和（差）中.

掌握上述几种类型对解决有关问题大有益处，它会帮助我们在具体证题时找到证题

的途径和方法.

二、重难点知识

1、三角形全等的条件的选用

选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体情况利题设条件确定，其基本思路

见下表：

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SASAASASA

两角对应相等ASAAAS

两边对应相等SASSSS

2、三角形全等与条件的关系

条件能否全等

量的类型位置类型例图

个数给出判定方法

一边

一个ZW

不分不一定全等

条件一角

两边4公不一定全等

不分

不一定全等

2个两角AAx

但形状相同

条件

一边及其对角八八

一边、一角不一定会等

一边及其邻角

3个三边不分44SSS

条件两边、•角两边及夹角SAS

两边及其中

4△不一定全等

一边的对角

两角及夹边ASA

一边、两角两角及其中

AAS

一角的对边

不一定全等

三角不分八八

但形状相同

3、全等三角形中的辅助线

对于比较复杂的计算和证明问题，已知条件和结论之间的关系不明确，为了揭示图

中隐含的性质，或是把分散的元素适当集中，或者把复杂的图形细分，或者为发挥特殊

点线的作用，我们经常要利用添加辅助线来构造全等三角形从而证明我们所需要的结

论.

常用辅助线作法有（1）倍长中线法；（2）截长补短法；（3）分割构造全等三角形

法.

三、典型例题讲解

例1、如图，AE是/BAC的平分线，AB=AC.

(1)若D是AE上任意一点，求证：ZXABD丝AACD.

(2)若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？试证明你的猜想.

(1)证明：因为AE平分NBAC,所以Nl=/2,

1SAABD^HAACD中,

AB=AC,Z1=Z2,AD=AD

由“SAS”，所以4ABD丝AACD.

(2)解：(1)中结论仍然成立.

理由如下：因为AE平分NBAC,Z3+Z1=Z4+Z2=18O°,

所以N3=/4.

在4ABDfllAACD中,

AD^AD,N3=/4,AB=AC,

由“SAS”,所以AABD丝4ACD.

例2、4ABC中，ZACB=90°,AC=BC,过C的一条直线CEJ_AE于E,BDJ_CE的

延长线于D,求证：AE=BD+DE.

分析：

从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破U.此时可迅速调整思

维角度，可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”，由此可发现4ACE与4CBD好像

(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么，此时已水落石出.

证明：

因为/ACB=90。，（已知）

所以/2+/3=/ACB=90。.

因为AELCE,BD±CE,（已知）

所以Nl+N2=90。.（直角三角形两锐角互余）

所以/1=/3,（同角的余角相等）