高级微观经济学A集合与映射上海对外经贸大学李辉文fall教学提纲

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数学训练的重要性在于它可以使各种关系的表达和经济学的推理变得更加简捷、严谨和清晰。——

阿尔弗里德.马歇尔高级微观经济学数理基础知识22024/9/26参考文献1、罗纳德·肖恩著：《动态经济学》，中国人民大学出版社。2、蒋中一著：《数理经济学的基本方法》，商务印书馆。3、蒋中一著：《动态最优化基础》，商务印书馆。4、迪克西特著：《经济理论中的最优化方法》，上海三联书店。2024/9/263

本部分内容来自杰里和瑞尼所著的《高级微观经济理论》的数学附录。A1集合与映射42024/9/261逻辑要素定理是由其他命题演绎出的一个命题。定理给长篇论述所提出的假设和重要结论提供了一个紧凑而精确的表达式，并且有助于立即确认所提出的结论的适用范围及其相应限制。定理必须被证明，证明由构成定理中的命题的可靠性组成，而进行构造的方法必须与逻辑规则相一致。62024/9/26命题的形式命题：逆命题：反命题：逆否命题：当一个命题成立时，其逆否命题也是成立的。72024/9/261.2定理与证明在给定前提为真的情况下，定理的证明就是确立其结论的可靠性。证明方法：直接证明：由前提A得到结论B。否证性证明：A成立则B成立，等价于B不成立则A不成立。反证法：通过假设A是真的，B不是真的，推导出一种逻辑的矛盾。注意：用例子“论证”不是证明。82024/9/262集合论的要素2.1表达式与基本概念集合论的语言与方法渗透于整个微观经济理论中。一个集合是元素的总体，是指具有某种特定性质的具体或抽象的对象汇集成的总体。集合可用元素列举法或元素描述法来定义。如果两个集合正好包含了相同的元素，那么，这两个集合是相等的。例：S=T。如果S包含于U，那么，S的补集SC是不属于S但包含在U中的所有元素的集合。92024/9/26集合差表示为S\T或S-T，指包含在S中但不包含在T中的所有元素。可以将U中的S集的补集视为集合差：SC=U\S=U-S。集合的基本运算是交（和、且）与并（或者）。多个集合的表示方法：直接写出：{S1,S2,S3,...}更普遍的表示方法是：{Si}i∈I，其中，I为指标集，I≡{1,2,3,…}。多个集合的并集表示为∪i∈ISi，交集为∩i∈ISi。102024/9/26两个集合S与T的乘积是以(s,t)形式表示的有序对的集合。S×T≡{(s,t)︱s∈S,t∈T}一个常用的集合的乘积是笛卡尔平面，由实数集形成的乘积。实数集定义为：R≡{x︱-∞<x<∞}R×R={(x1,x2)︱x1∈R,x2∈R}集合内的任何点可以表示为笛卡尔平面内的点。该集合也被称为两维欧几里德空间，表示成R2。一般，任何n维向量x≡(x1,x2,…,xn)可被视为n维欧几里德空间或n维空间的一个点。表示为：Rn≡R×R×…×R≡{(x1,…,xn)︱xi∈R,i=1,…,n}R+n是Rn中非负的象限，它所含的向量x≥0。区分符号≥,>和>>。x≥0表示每个分量都不小于0，x>0表示至少有一个分量严格大于0，x>>0表示每个分量都严格大于0。112024/9/262.2凸集凸集是微观经济理论中每个领域内的基本构造材料。在理论分析中，凸性常被假设，以保证分析在数学上是易处理的，并且结论是清楚的和运行良好的。定义Rn上的凸集对于所有x1∈S，x2∈S，如果下式成立，则SRn是一个凸集。tx1+(1-t)x2∈S对于所有t，0≤t≤1，该式成立。解释：集合内的任意两个点的所有加权平均数也是同一集合的点，那么，该集合是凸的。在定义中所采用的加权平均数被称为凸组合。凸组合在一定意义上是“介于”x1与x2之间的一个点。122024/9/26凸集的例子考虑两点：x1=8∈R，x2=2∈R。对于介于0与1之间的任意t，凸组合：z=tx1+(1-t)x2=x2+t(x1-x2)。若将x2视为起点，则z位于x2与x1之间的距离的t倍处。即总会位点x1与x2之间，或与其重合。点x1与x2的所有凸组合是它们之间的线段，包括端点。x2=2x1=8考虑两维空间的凸组合，即x1=(x11,x21)与x2=(x12,x22)。凸组合为：z=tx1+(1-t)x2=(tx11+(1-t)x12,tx21+(1-t)x22)x1x2x12x22x11x21tx11+(1-t)x12tx21+(1-t)x22zx2x1R中的凸组合R2中的一些凸组合由于z的每个坐标是各自横坐标与纵坐标之间距离的t倍，故点z位于连接x1与x2的弦的距离的t倍。向量x1与x2的所有凸组合的集合是一切处于连接x1与x2的弦上的一切点的集合，且含端点。结论：如果一个集合包含了集合中每对点的所有凸组合，它才是凸的。简单地，当且仅当集合内任两点的连线完全处在集合内，集合是凸的。凸集运行良好。没有洞和断点。132024/9/26函数是一种将一个集合内的每一个元素与另一个集合内的单个且惟一的元素联系起来的一种关系。函数f是一种从一个集合D（定义域）到另一个集合R（值域）的映射。函数表示为f:D→R。f的象是值域的子集。例S={y︱y=f(x)，对于一些x∈D}属于R。正弦函数y=sin(x)的象是区间[1，－1]的子集。点集S的逆象定义为f-1(S)={x︱x∈D，f(x)∈S}。142024/9/263拓扑学基础3.1度量空间拓扑学是研究集合与映射的基本性质的学科。本节利用基本的拓扑学知识建立一些有关集合，并分析从一个集合到另一个集合的连续函数。首先分析度量和度量空间。度量：对距离的测量。度量空间：若S是一个集合，d是定义在S上的度量，那么，称（S，d）为度量空间。例1：实线R与度量距离的适宜函数是一个度量空间。实线上距离函数或度量函数是绝对值函数。任意两点的距离为：d(x1,x2)=︱x1-x2︱练习：计算笛卡尔平面R2的度量函数。152024/9/26选择R2上的任意两点x1=(x11,x21)和x2=(x12,x22)，构造一个直角三角形。根据毕达哥拉斯定理，两点的距离为：

x1x2x11x12x21x22x1x2X12-x11X22-x21d(x1,x2)实线和平面中的距离公式是Rn中距离公式的两个特例。一般地，Rn中任意两点的距离为：可用d(x1,x2)≡‖x1-x2‖来表示距离。这个公式被称为欧几里德度量或欧几里德范数。利用这个公式来度量距离的Rn空间被称为欧几里德空间。162024/9/263.2开球与闭球定义开球与闭球以x0为中心，以ε>0（一个实数）为半径的开球是Rn上点的子集：Bε(x0)≡｛x∈Rn︱d(x0,x)<ε｝以x0为中心，以ε>0（一个实数）为半径的闭球是Rn上点的子集：Bε*(x0)≡｛x∈Rn︱d(x0,x)≤ε｝172024/9/26在实线上，以x0为中心，以ε为半径的开球正好是开区间Bε(x0)=(x0-ε,x0+ε)。闭球是闭区间Bε*(x0)=[x0-ε,x0+ε]。在R2上，一个开球是一个以x0为中心，以ε为半径的圆盘，闭球是由圆盘内与圆环上的点组成。x0x0εεR2上的开球Bε(x0)R2上的闭球Bε*(x0)182024/9/26实线上的开区间就是开集。开区间(a,b)包括了a与b之间的每个点，但是不包括a与b自身。我们可以选择区间内的任何点x，无论它如何接近a或b，总会存在一些小而正的ε，使得开球（开区间）Bε(x)=(x-ε,x+ε)完全包含在(a,b)区间内。同理，开圆盘和开球体也是开集。更为一般地，任何开球都是开集。εx0S=Bε(x0)ε’定理Rn上的开集1.空集Φ是一个开集。2.整个空间Rn是一个开集。3.开集的并集是一个开集。4.任何有限个开集的交集是一个开集。3.3开集与闭集192024/9/26定义Rn上的闭集如果S的补集SC是个开集，那么，S是一个闭集。例子：闭区间[a,b]的补集{x︱x∈R,-∞<x<a或b<x<+∞}是个开集，因此，[a,b]是一个闭集。如果以x为中心，以ε为半径的每个球，包含了S内的点以及不在S内的点，那么，x点被称为一个边界点。如果以x为中心，以ε为半径的每个球完全包含在S内，那么，x点被称为S的内部点。如果集合除了内点外不包含任何元素，那么集合是开集。如果集合包含了所有内部点及边界点，那么集合是闭集。202024/9/26定理Rn上的闭集1.空集Φ是一个闭集。2.Rn上的整个空间是闭集3.闭集的任何有限集合的并集是一个闭集。4.闭集的交集是一个闭集。定义有界集如果Rn上的一个集合S完全包含在一些半径为ε的球内（开球或闭球），则称S是有界的。例如，开球Bε(x0)是一个有界集，因为它整个都包含在以x0为中心，半径为ε+1的球内。定义（海涅－鲍瑞尔）紧集如果一个集合S是闭而有界的，那么S在Rn上被称为紧集。212024/9/26设S是任何非空的实数集。任何实数l（无论l是否属于S），对于所有x∈S，总有l≤x，那么，l是集合S的下界。例子：S={4,6,8}，4是S的下界，2也是下界。实数集有许多个下界。下界中的最大数被称为S的最大下界（g.l.b），或下确界。任何实数u（无论u是否属于S），对于所有x∈S，总有x≤u，那么，u是集合S的上界。上界中的最小数被称为最小上界（l.u.b），或上确界。一个实数集S如果有下界，那么，该集合从下有界。有上界则称从上有界。例子：区间（-∞，4）是从上而非从下有界。定理实数子集的上界与下界1.设S是R内的一个有界开集，并设a与b分别是S的最大下界与最小上界，那么，a和b不属于S。2.设S是R内的一个有界闭集，并设a与b分别是S的最大下界与最小上界，那么，a∈S和b∈S。222024/9/263.4连续性在分析函数时，需要了解函数的连续性。连续性意味着定义域内的一个微小运动并不引致值域内的大跳跃。

【定义】实数上函数的连续性如果对于所有的ε>0，总会存在一个δ>0，使得d(x,x0)<δ蕴含着d(f(x),f(x0))<ε，那么，函数f:R→R是在点x0处连续。如果函数在其定义域的每个点上连续，那么，该函数被称为一个连续函数。或者表述为：如果对于所有ε>0，总会存在一个δ>0，使得与x0的距离小于δ的任何点由f映射到与f(x0)的距离小于ε的值域内的一些点上，那么f(x)在x0处连续。232024/9/26可以用集合来表示函数的连续性。将由Bδ(x0)内的点映射进值域内的点集表示为f(Bδ(x0))。同理，把与f(x0)的距离小于ε的值域内的点集表示成以f(x0)为中心，以ε为半径的开球Bε(f(x0))。称Bδ(x0)内的每个点由f映射到与f(x0)的距离不大于ε的一些点，等价于称f(Bδ(x0))内的每个点属于集合Bε(f(x0))，即：x0

Bδ(x0)f(Bδ(x0))f(x0)Bε(f(x0))定义柯西连续性设D是Rm的一个子集，并且设f:D→Rn。如果对于每个ε>0，存在一个δ>0，使得下式成立，那么，f在x0点连续。如果f在每个点x∈D上连续，那么它是一个连续函数。242024/9/26【定理】

连续性与其逆象设D是Rm的一个子集，如下的条件是等价的。1.f:D→Rn是连续的。2.对于Rn内的每个开球B，f-1(B)在D内也是开的。3.对于Rn内的每个开集S，f-1(S)在D内也是开的。【定理】紧集的连续的象是一个紧集设D是一个Rm的一个子集，并且设f:D→Rn是一个连续函数。如果S是D内的一个紧集，那么，其象f(S)在Rn内是紧的。252024/9/263.5一些存在性定理【定理】威尔斯拉斯（Weierstrass）极值存在性定理设f:S→R是一个连续实值映射。S是Rn的一个非空的紧子集，那么，存在一个向量x1∈S与一个向量x2∈S，使得：f(x1)≤f(x)≤f(x2)对所有x∈S都成立。262024/9/26考虑一类特殊的函数，即从Rn的一个子集映射回Rn的同一个子集的函数。方程组将（x1,…,xn）∈Rn映射进点（y1,…,yn）∈Rn中。在特殊情形下，yi=xi，方程组的解为（x1*,…,xn*）∈Rn。方程组的解向量x*被称为映射f:Rn→Rn的一个不动点。即该点是一个不受由定义域向值域映射所扰动的点，映射只是将该点映射回自身中。272024/9/26设是Rn的一个非空的紧且凸的集合，f:S→S是一个连续映射，那么，在S中至少存在一个f的不动点。即至少存在一个x*∈S使得x*=f(x*)。布劳威定理只是说明了不动点的存在性，但没有说明不动点的唯一性。ababx*f(x*)例子：f是从一个闭区间[a,b]到同一区间的连续映射。布劳威定理保证f的图像将在[a,b]×[a,b]的平方区域内至少穿过45°线一次。布劳威不动点定理f(x)xf(x)xg(x)x*g(x)=x-f(x)由于a≤f(x)≤b，所以a-f(x)≤0，b-f(x)≥0。肯定存在一点，使得g(x*)=0，即x*=f(x*)。282024/9/264实值函数【定义】

实值函数如果D是任何集合，并且R是实数集的子集，那么，f:D→R是一个实值函数。简言之，实值函数是指将定义域（可能是Rn空间）内的元素映射到实线上。例如，经济学中的效用、生产和成本函数等都属于实值函数。Y=F(K,L)292024/9/264.1函数的单调性【定义】

递增、严格递增与强递增函数设f:D→R，D是Rn的一个子集。如果每当x0≥x1时，总有f(x0)≥f(x1)，那么，f是递增的。如果每当x0>>x1时，总有f(x0)>f(x1)，那么，f是严格递增的。如果每当x0≠x1，且x0≥x1时，总有f(x0)>f(x1)，那么，f是强递增的。x0≥x1意味着向量x=(x1,x2,…xn)的一个或多个分量增加。x0>>x1表示向量x的所有分量都增加。递减、严格递减与强递减函数的定义正好与上述定义相反。302024/9/264.2相关集合【定义】

水平集当且仅当L(y0)={x︱x∈D,f(x)=y0}时，这里y0∈R，那么，L(y0)是一个实值函数f:D→R的水平集。简言之，一个水平集是一个函数的定义域内所有元素的集合，该函数把集合内的所有元素映射进值域内的同一个数或同一“水平”上。如无差异曲线、等产量线等。水平集允许我们在两维平面中研究三变量的函数。312024/9/26定义相对于某一点的水平集如果L(x0)={x︱x∈D,f(x)=f(x0)}，那么，L(x0)是一个相对于x0的水平集。定义上优集与下劣集1.S(y0)={x︱x∈D,f(x)≥y0}被称为相对于水平y0的上优集（thesuperiorset)。2.I(y0)={x︱x∈D,f(x)≤y0}被称为相对于水平y0的下劣集（theinferiorset)。如果不等式严格成立，则称为严格上优集和严格下劣集。S(y0)I(y0)L(y0)递增函数S(y0)I(y0)L(y0)递减函数水平集、上优集与下劣集x1x1x2x2322024/9/264.3凹函数在分析凹函数时，经济学中注重分析那些定义域是凸集的实值函数。假设：f:D→R是一个实值函数，假设D是Rn中的凸集。即对于D中的任意两点x1和x2，其凸组合xt=tx1+(1-t)x2∈D，t∈[0,1]。【定义】

凹函数如果对于所有x1,x2∈D，存在如下关系时，f:D→R是一个凹函数：f(xt)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)t∈[0,1]简言之，如果f在两点的凸组合处的取值不小于f在这两点处函数值的凸组合，则函数是凹的。332024/9/26凹函数的图示在图像上任取两点(x1,y1)和(x2,y2),并且画出连结这两点的弦。这两点凸组合的坐标分别为：xt=tx1+(1-t)x2yt=tf(x1)+(1-t)f(x2)凹函数意味着：f(xt)≥yt=tf(x1)+(1-t)f(x2)对于所有x1≠x2,且t∈(0,1),若上述不等式严格成立，则为严格凹函数。这排除了图像上的平坦部分。f(x)x1X

y

x2y1=f(x1)f(xt)xty2=f(x2)yt判断凹函数的简单法则函数图像上任意两点的连线位于图像上或其下方时，函数是凹的。342024/9/26【定理】一个凹函数的图像上及其下方的点总会形成一个凸集设A={(x,y)︱x∈D,f(x)≥y}是f:D→R的图像上及其下方的点的集合，D是Rn上的凸集，则：f是一个凹函数等价于A是一个凸集352024/9/264.4拟凹函数【定义】

拟凹函数f:D→R是拟凹的，当且仅当对于所有属于D的x1与x2，有：f(xt)≥min[f(x1),f(x2)]对于所有t∈[0,1]x1x2L(x2)L(x1)L(xt)x1x2xt函数是拟凹且递增的x1x2L(x1)L(x2)L(xt)x2x1xt函数是拟凹且递减的拟凹函数的水平集【定理】

拟凹性与上优集拟凹函数等价于上优集是凸集。362024/9/26【定义】严格拟凹函数当且仅当对于D内所有x1≠x2,以及对于所有t∈(0,1)，f(xt)>min[f(x1),f(x2)]，函数f:D→R是严格拟凹的。x1xtx2L(x1)=L(x2)=L(xt)x1x2x1x2xtx1x2拟凹性与水平