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文档简介

§6．2体积一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积旋转体的体积元素、旋转体的体积一、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体．旋转体都可以看作是由连续曲线y

f(x)、直线x

a、a

b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体．Oxbayy

f(x)aOxbyy

f(x)设过区间[a，b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)，旋转体的体积为

dV

[f(x)]2dx，于是体积元素为

DV

[f(x)]2dx，当平面左右平移dx后，体积的增量近似为V(x)dxf(x)xhrxyO所求圆锥体的体积为解过原点O及点P(h，r)的直线方程为．V

()2dx[x3

h

r2．例1连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x

h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体．计算这圆锥体的体积．及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．旋转体(旋转椭球体)的体积．体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdV

y2dx，例2计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆V

y2dx

(a2

x2)dx

[a2x

x3

a

b2．ab例3计算由摆线x

a(t

sint)，y

a(1

cost)的一拱，直线y

0所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积．解所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为V

y

6

3a3．pa2pa2axyO

x22(y)dy

x12(y)dy

a2(t

sint)2·a

sint

d

t

a2(t

sint)2·a

sint

d

t二、平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为[a，b]，xy

Obadx则体积元素为A(x)dx，立体的体积为面与立体相截，已知截面面积为A(x)，V

A(x)dx．A(x)过点x且垂直于x轴的平x例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角

．计算这平面截圆柱所得立体的体积．解取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心且垂直于x轴的直线为y轴．那么底圆的方程为x2

y2

R2．于是所求的立体体积为)ayx

O)aR-Rx2

y2

R2截面积为A(x)

(R2

x2)tana，V

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