2021届湖南省高三数学模拟试题黑卷解析版

2021届湖南省高三数学模拟试题（黑卷）一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用补集的定义可得集合.【详解】由已知条件可得.故选：A.2．（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数的乘法法则计算．【详解】.故选：D．3．韦伯-费希纳定律是表明心理量和物理量之间关系的定律，其中心理量和物理量之间满足关系式(其中表示心理量，是常数，表示物理量，是积分常数)，表示的含义是心理量和物理量的对数值成正比，通过研究表明，当，.若，则的值大约为(参考数据：)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题干给出的关系式与数据，可求出心理量和物理量之间所满足的完整关系式子，即可求出当时，的大约取值.【详解】已知，当时;将数据代入关系式：，可得；所以，心理量和物理量之间满足的关系式子为：；当时，代入关系式可得.故选：D.4．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.【详解】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，由AC-BC=AB得，约为米.故选：B5．已知向量，满足，，若与共线，则（）A．2 B．4 C． D．22【答案】A【分析】先根据向量共线求解出的值，然后根据向量的模长以及数量积采用先平方再开根号的方法求解出的大小.【详解】因为与共线，所以，.又，，所以.故选：A.6．某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车、、、、、，为了让顾客选出自己心仪的电动汽车，把它们按顺序排成一排，必须安排在前两个位置，、不相邻，则不同的排法有（）A．144种 B．156种 C．160种 D．178种【答案】B【分析】本题可分为安排在第一个位置、安排在第二个位置两种情况进行讨论，然后将安排在第二个位置分为第一个位置安排或、第一个位置不安排或两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】若安排在第一个位置，然后排列、、，有种，、用插空法进行排列，则这种情况共有种排法；若安排在第二个位置，第一个位置安排或，再安排其它，则有种排法；若安排在第二个位置，第一个位置不安排或，从、、中选一个安排在第一个位置，再排其他两个，最后用插空法排列、，有种排法，综上所述，共有种排法，故选：B.7．已知长方体中，，，是上任意一点(不是端点)，是的中点，则异面直线与所成角的正切值的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据∥可以得到与所成角即为与所成角，从而得到，进一步求出的最小值，最终求出答案.【详解】如图所示，取中点，连接，，∵是中点，且为正方形，∴∥∥则与所成角即为与所成角，设角度为又∵AB⊥平面∴⊥平面又∵平面,∴∴∵==3为定值，∴要使最小，则最小，当最小时,需⊥∵∠=∠∴△∽△∴又∵∴此时∴异面直线与所成角的正切值的最小值为.故选：D.【点睛】求异面直线的夹角：1.求异面直线的夹角的一般步骤是:“作—证—算—答”;2.通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角(或直角)即为所求的角；3.同时作两条异面直线的平行线,并使它们相交所成的锐角(或直角)即为所求的角；4.向量法:用向量的夹角公式求解.8．已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函数零点即方程的解，（），取对数得，此方程有两个解，引入函数，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【详解】显然，有两个零点，即方程，在上有两个解，两边取对数得到，令，，在单调递增，在单调递减，又当时，，当时，，因为有两个零点，则，解得.所以正数的取值范围是.故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题关键是进行转化，函数零点转化为方程的解，对方程变形后，引入新函数，再转化为利用导数确定函数的性质，结合零点存在定理求解．二、多选题9．某次音乐节，评委给支乐队的评分（十分制）如下图，下列说法正确的是（）A．支乐队评分的极差为B．支乐队中评分不低于分的有支C．支乐队评分的平均数约为D．第支到第支乐队的评分逐渐降低【答案】ABC【分析】根据折线统计图逐项分析可得合适的选项.【详解】对于A选项，由折线统计图可知，支乐队评分的极差为，A选项正确；对于B选项，由折线统计图可知，支乐队中评分不低于分的有支，B选项正确；对于C选项，支乐队评分的平均数为，C选项正确；对于D选项，由折线统计图可知，从第支到第支乐队评分上升，D选项错误.故选：ABC.10．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，.则（）A．B．的图象关于直线对称C．的单调递减区间为D．的解集为【答案】BCD【分析】由给定条件求出函数的解析式，满足选项A，B，C，D的条件时进行各自处理即可得解.【详解】依题意，函数的周期T有，即，则，A错误；，而，则，，对于B选项：时，，2为最大值，即的图象关于直线对称，B正确；对于C选项：由得，即的单调递减区间为，C正确；对于D选项：，得，即的解集为，D正确.故选：BCD11．若，则（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】A．根据已知条件先分析函数的单调性，然后比较出的大小；B．取，进行判断即可；C．取，进行判断即可；D．根据指数函数的单调性以及的大小关系进行判断.【详解】A．设，因为可化为，则，根据指数函数的性质，可得单调递增，单调递减，因此在上单调递增，所以，故正确；B．由A项得，当，时，，，此时，故错误；C．由A项得，当，时，，故错误；D．因为在上是减函数，由，可得，即，故正确；故选：AD.12．已知双曲线，圆.（）A．圆的圆心在双曲线上B．若双曲线的焦距为4，则C．双曲线的顶点与圆的圆心构成的三角形的面积为D．若圆与轴和双曲线的渐近线均相切，则离心率【答案】BD【分析】对于A，将圆心代入双曲线方程进行验证即可；对于B，，根据不等式可以证明；对于C，写出三角形三个顶点坐标，按照三角形面积公式求解；对于D，直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，从而求得参数a，b，c，从而求得离心率.【详解】圆的圆心为，代入双曲线方程得，因不能判断与1的关系，从而不能判断圆的圆心是否在双曲线上，故A错误；若双曲线的焦距为4，则，，由基本不等式的性质知，故B正确；双曲线的顶点为与构成的三角形面积为，故C错误；圆的圆心为，半径为，若与轴相切，则，此时圆在第一象限，则与双曲线的渐近线相切，即，解得，则，离心率，故D正确；故选：BD【点睛】关键点点睛：熟练应用双曲线及圆的性质，化简条件，得到参数的值，从而求解问题.三、填空题13．已知等差数列，，，则___________.【答案】【分析】求出等差数列的公差，利用可得出关于的等式，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，则，可得，，可得，解得.故答案为：.14．已知随机变量，则___________.【答案】【分析】由二项分布的概率公式有，结合已知求，进而求即可.【详解】由题意知：，易知，∴.故答案为：.15．已知直线(斜率大于)的倾斜角的正弦值为，在轴上的截距为，直线与抛物线交于两点.若，则___________.【答案】4【分析】先求出直线的斜率，联立直线与抛物线C的方程，借助弦长公式即可得解.【详解】依题意，直线的倾斜角为45º，斜率k=1，直线的方程为：y=x+2，由得，设，则，从而有，即，而p>0，解得p=4.故答案为：4【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离；直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离.四、双空题16．中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】【分析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，根据已知条件可得出，根据柱体的体积公式可得，利用导数可求得的最大值及其对应的的值，即为所求.【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为.则由题意可得，所以.由，得.故容器的容积，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.，令，解得（舍）或.显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得最大值，此时，.故答案为：；.五、解答题17．已知的内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）根据正弦定理，，因为，所以，因此有，因为，所以；（2）由余弦定理可知：，解得，（舍去），因此的面积为.18．已知数列的前项和为，满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）求使得成立的的最大值.【答案】（1）；（2）最大值6.【分析】（1）本题可根据得出，然后通过求出，最后根据等比数列的定义即可求出结果；（2）本题首先可通过分组求和法得出，然后通过求解即可得出结果.【详解】（1），即，，因为，，所以，，则数列是以为首项、为公比的等比数列，，.（2）因为，所以，因为，所以，，因为，所以解得，使得成立的的最大值为.19．经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上处的直径)越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.下面给出了某林场在研究树高与胸径之间的关系时收集的某种树的数据.编号胸径树高编号胸径树高（1）根据表格绘制树高与胸径之间关系的散点图；（2）分析树高与胸径之间的相关关系，并求关于的线性回归方程；（3）预测当树的胸径为时，树的高度约为多少.(精确)附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；参考数据：，.【答案】(1)作图见解析；(2)树高与胸径之间正相关，；(3)27.47cm【分析】(1)画直角坐标系，横轴为胸径，纵轴为树高，把12个以胸径为横坐标，树高为纵坐标的点在坐标系内描出即可得解；(2)观察散点图可得树高，胸径的相关性，再求出x，y的平均数，利用最小二乘法即可得回归直线方程；(3)回归直线方程中x取50.6即可得树高的预测值.【详解】(1)作出散点图如下：(2)由散点图可看出，当胸径x由小变大时，树高y也由小变大，从而y与x之间是正相关关系，，，从而，，从而关于的线性回归方程是；(3)当x=50.6时，即当树的胸径为时，树的高度约为cm.【点睛】易错点睛：根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20．在长方体中，已知，为的中点.（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.【答案】（1）存在，证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面判定定理证得平面和平面，然后利用面面平行的判定定理证得结论.；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标及空间向量，设，利用共线求得点坐标，然后设与平面所成角为，利用结合空间向量数量积求得结果..【详解】解：（1）存在，当点为线段的中点时，平面平面.证明：在长方体中，，.又因为平面，平面，所以平面.又为的中点，为的中点，所以，且.故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面平面.（2）在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，，所以，，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，，所以，因为，设，则，所以，则.设与平面所成角为，则，即.故与平面所成角的余弦值为.21．在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.（1）求的值；（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）根据同构方程的定义，以及关于的方程和关于的方程可化为同构方程知，；在单调递增，所以方程的解只有一个得，则可得；（2）将所要证明的转化为证明利用换元法将双变量化为单变量，故等价于证，通过证明和来达到证明原式的目的.【详解】（1）对两边取自然对数，得(1),对两边取自然对数，得即，因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以，解得，设，则,所以在单调递增，所以方程的解只有一个,所以，所以，故.（2）由（1）知：所以要证，即证明等价于令，则只要证明即可，由知，，故等价于证设则，即在单调递增，故，即.设则，即在单调递增，故，即。由上可知成立，则.【点睛】深刻理解题中同构方程的含义进行计算，会将问题进行转化，利用减少变量个数