高等数学上第四讲学习资料

高等数学（上）第四讲第一章第二节数列的极限（1）教学内容数列、数列极限的概念数列极限的几何解释数列极限的有界性定理备注教学要求理解数列、数列极限的概念，理解数列极限的“”定义。掌握利用数列极限的“”定义。证明简单数列的极限教学重点数列极限的“”定义。利用数列极限的定义。证明简单数列的极限教学难点数列极限的“”定义。第二节数列的极限有很多实际问题的精确值，仅仅通过有限次的而必须通过分析一个由此产生了例如一、极限思想算术运算是求不出来的，无限变化过程的变化趋势才能求得，极限概念和极限方法。(1)我国晋朝时代数学家刘徽——割圆术依次求出圆内接正六边形，正十二边形，正二十四边形就接近于对应圆的面积.正边形的面积：……正多边形的面积An利用圆内接正多边形的面积推算圆的面积当正多边形的边数越来越大……(2)1x观察数列1.从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1。2x1x2x3x4xn如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?三、数列的极限常数1就是数列{xn}当n趋向于无穷大时的极限？？(4)

就是说:无论你给一个多么小的正数

,当n充分大时,

要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”

只须说明“当n越来越大时,|xn

1|会越来越接近于0”.而要说明“|xn1|越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,|xn1|能够小于任意给定由于

是任意的,从而就说明了|xn

1|会越来越接近于0.的,无论多么小的正数

”|xn

1|比

还小,(5)事实上,,给,很小,,只须n>1000即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有要也即在这个又给,则从第10001项开始,以后各项都有(6)一般,任给

>0,不论多么小,只须.因此,从第项开始,以后各项都有.因

是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使存在一个整正数N(7)定义:设{xn}是一个数列,a是一个确定的常数,若

>0,则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限,记作这时,也称{xn}的极限存在,否则,称{xn}的极限不存在,或称{xn}是发散的.

正整数N,使得当n>N时,

都有|xn

a|<

,或称{xn}收敛于a,对任意的总存在(8)注1.定义中的

是预先给定的,任意小的正数；注2.一般说来,N随给定的

变化而变化,给不同的

确定的N也不同；注3.定义中“当n>N时,有|xn

a|<

”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有|xn

a

|<

,

至于以前的项是否满足此式不必考虑.(9)四、几何解释:x2x1a-

xN+5axN+1a+

x3x)(xN由于|xn

a

|<

xn以a为极限,

就是对任何以a为中心,以任意小的总能找到一个N,而只有有限项落在U(a,

)外部.a<xn<a

xn(a

,a+

)=U(a,

).正数

为半径的

邻域,从第N+1项开始,以后各项都落在邻域U(a,

)内,(10)证明数列极限的步骤：

>0,由|xn

a|<

,解出n>N(ε)取N=N(ε)关键在于找出N(11)若

>0,正整数N,使得当n>N时,都有|xn

a|<

,则设数列{xn}的一般项求出N,使当n>N时,xn与其极限之差的绝对值小于正数

,当

0.001时,求出数N.解

.

.

要使|x

n

0|<

,

则

n>N,有|xn

0|<

.当

0.001时,

习题1—18—1、例1.(12)

>0例2证若

>0,正整数N,使得当n>N时,都有|xn

a|<

,则要使只须即

>0,当n>N时,有所以

证明取习题1—19—2、例3、根据数列极限的定义证明:2、3、

>0,要使只须即当n>N时,有

证明取所以结束例2.

证明证:

>0要使则当n>N时,有(3)若

>0,正整数N,使得当n>N时,都有|xn

a|<

,则例4.设q是满足|q|<1的常数,证明证.若q=0,结论显然成立.

>0.设0<

|q|<1.现在,xn=qn,a=0.因|xn

a|=|qn0|=|qn|=|q

|n,要使|

xn