5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时周期性与奇偶性 课件-2023

第5章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时

周期性与奇偶性正弦函数、余弦函数的周期一回顾与引入

上一节课，我们已经学习了正余弦曲线的画法和形状，你还能想起它们的位置和形状吗？

接下来，我们就应该研究正余弦函数的性质了.所谓性质就是研究对象在变化过程中保持不变性的那些特征

从前面的学习中，我们知道，三角函数首先是具有”周而复始”的变化规律，这就是我们接下来要研究的性质：周期性问题1

正弦函数、余弦函数的图象的特点可以从哪些方面进行验证？提示

正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，对任意的k∈Z都成立.1.函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个

，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函数f(x)就叫做周期函数.

叫做这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.非零常数Tf(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数经典应用21

思考1：正弦就是单位圆上点的纵坐标，当这个点做圆周运动时，其纵坐标(正弦)就呈现周性的变化，由此你能猜出正弦函数的周期吗？探究新知（一）sinx=n

当P点转一周，即角

x变化2π时，sinx的值重复出现.因此，函数y=sinx的周期为2π

思考2：你能从y=sinx图象的角度和代数的角度对上述猜想进行解释吗？从图象上看，每隔2π，y=sinx的图象重复.由诱导公式知，sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z

思考3：2π是y=sinx的周期，那么4π，6π，-2π，-4π等呢?都是.事实上，y=sinx有无数个周期.3.正弦函数是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.4.余弦函数是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.周期函数周期函数2π2π注意点：(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立.(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期.(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可.(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.正弦函数y=sin

x和余弦函数y=cos

x都是周期函数；2kπ

(k∈Z且

k≠0)

都是它们的周期，最小正周期2π.正余弦函数的周期性解：(1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.解:解:拓展1：y＝|cosx|，x∈R.y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.求三角函数周期的方法(1)定义法：利用周期函数的定义求解.(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.跟踪训练1求下列三角函数的最小正周期：(1)y＝|sinx|；(2)y＝cosπx；由f(x)＝|sinx|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，得y＝|sinx|的最小正周期为π(或通过图象判断).二正弦函数、余弦函数的奇偶性问题2

继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？提示

正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称.正弦函数是

，余弦函数是

.奇函数偶函数例2判断下列函数的奇偶性：因为∀x∈R，都有－x∈R，(2)f(x)＝|sinx|＋cosx；函数f(x)＝|sinx|＋cosx的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以函数f(x)＝|sinx|＋cosx是偶函数.因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)，判断函数奇偶性的方法(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系.(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sinxcosx；函数的定义域为R，关于原点对称.∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，∴f(x)＝sinxcosx为奇函数.∴函数的定义域为{x