全称量词与存在量词课件 -2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.1全称量词与存在量词

在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；（2）对任意实数x，都有x2≥0；（3）存在有理数x，使x2－2＝0;（4）有些人没有环境保护意识.

对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识.下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3.(2)2x+1是整数.(3)对所有的x∈R，x>3.(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数.提示：语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题.探究点1全称量词（1）与(3)区别是对所有的x∈R，x>3.（2）与(4)区别是对任意一个x∈Z，2x+1是整数.

短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等【提升总结】强调的是全体全称量词命题举例：全称量词命题符号记法：命题：①对任意的n∈Z，2n+1是奇数；

②所有的正方形都是矩形。全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。【解析】（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题.（2）真命题.

例1判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。（3）是无理数，但=2是有理数.所以为假命题.举反例否定

要判定全称量词命题

“

x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.判断全称量词命题真假1.下列全称量词命题中真命题的个数为(

)①末位是0的整数，可以被2整除．②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．③平行四边形对角相等．A．1

B．2

C．3

D．0C【即时训练】2.判断下列全称量词命题的真假：（1）任何实数都有算术平方根；（2）【解析】（1）-4没有算术平方根，所以为假命题；

（2）真命题。命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。这是全称量词命题吗?提示：不是。思考：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3.(2)x能被2和3整除.(3)存在一个x∈R，使2x+1=3.(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.提示：语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题.探究点2存在量词（1）与(3)区别是存在一个x∈R，使2x+1=3；（2）与(4)区别是至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等

强调的是有些存在量词命题举例：存在量词命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为：读作“存在M中元素x，使p(x)成立”。“x∈M,p(x)”【解析】（1）对于x∈R，+2x+3=+2＞0恒成立，所以+2x+3=0无解，所以为假命题.（2）真命题.例2判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（2）有些整数只有两个正因数。判断存在量词命题真假要判定存在量词命题“x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则存在量词命题是假命题.1.在下列存在量词命题中假命题的个数是(

)①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A．0

B．1

C．2

D．3A【即时训练】2.判断下列存在量词命题的真假：（1）∃x∈R，x2≤0（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）1.下列命题中是存在量词命题的是(

)A、∀x∈R，x2≥0B、∃x∈R，x2≤0C、平行四边形的对边不平行D、矩形的任一组对边都不相等BB3．下列命题中是真命题的是(

)A、∃x∈R，x2＋1<0B、∃x∈Z,3x＋1是整数C、∀x∈R，|x|>3D、∀x∈Q，x2∈Z

B4．给出下列命题：①对任意实数x，均有x2＋2>x；②不存在实数x，使x2＋2x＋3<0；其中所有正确命题的序号为________．①②5．用符号“∀”与“∃”表示下列命题，并判断真假．(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.【解析】(1)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．当m＝－1时，方程无实根，是假命题．(2)∃x∈R，使x2＋x＋4≤0.x2＋x+4=+＞0恒成立，所以为假命题.全称量词与存在量词全称量词命题存在量词命题全称量词存在量词全称量词命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,符号简记为：x∈M,p(x),读作：对任意x属于M，有p(x)成立,含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”，符号简记为：x∈M,p(x),读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。命题全称命题存在量词命题①所有的x∈M，p(x)成立②对一切x∈M，p(x)成立③对每一个x∈M，p(x)成立④任选一个x∈M，p(x)成立⑤凡x∈M，都有p(x)成立①存在x∈M，使p(x)成立②至少有一个x∈M，使p(x)成立③对有些x∈M，使p(x)成立④对某个x∈M，使p(x)成立⑤有一个x∈M，使p(x)成立表述方法同一全称量词命题、存在量词命题，由于自然语言的不同，

可能有不同的表述方法：

x∈M,p(x),1.5.2含有一个量词的命题的否定

问题1

今天是星期天。你能否定这句话吗？俗称说反话

一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。一真一假问题2你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）

x∈R,x2－2x＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）

x∈R,x2＋1＜0.

前三个命题都是全称量词命题，即具有“

x∈M，p（x）”的形式；后三个命题都是存在量词命题，即“

x∈M，p（x）”的形式.它们命题的否定又是怎么样的呢？探究点1全称量词命题的否定写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）

x∈R,x2－2x＋1≥0.上述命题的否定可写成:（1）存在一个矩形不是平行四边形；（2）存在一个素数不是奇数；（3）

x∈R，x2-2x+1<0.

一般地,对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题p:x∈M，p（x），

它的否定﹁p:x∈M,﹁p（x）.结论：例1写出下列全称量词命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.【解题关键】含有量词命题的否定要注意量词的变化。【解析】（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；（3）﹁p：

x∈Z，x2的个位数字等于3.思考：存在量词命题如何否定？写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）

x∈R,x2＋1＜0.探究点2存在量词命题的否定上述命题的否定可写成:（1）所有实数的绝对值都不是正数；（2）每一个平行四边形都不是菱形；（3）

x∈R，x2+1≥0.命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定为（）A.存在一个三角形，内角和等于180oB.所有三角形，内角和都等于180oC.所有三角形，内角和都不等于180oD.很多三角形，内角和不等于180oB【即时训练】

一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题p：

x∈M，p（x），它的否命题﹁p:

x∈M,﹁p（x）.结论：例2写出下列存在量词命题的否定：（1）p：

x∈R，x2＋2x＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.【解析】（1）﹁p：

x∈R，x2＋2x＋2＞0；（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形；（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.【变式练习】【解题指南】根据量词的否定判断.D2.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（）A.所有自然数的平方都不是正数B.有的自然数的平方是正数C.至少有一个自然数的平方是正数D.至少有一个自然数的平方不是正数D4.(1)命题“乌鸦都是黑色的”的否定为:______________________________.(2)命题“有的实数没有立方根”的否定为:___命题.（填“真”“假”），

至少有一个乌鸦不是黑色的真含有一个量词的命题的否定全称量词命题存在量词命题全称量词命题