4.2.2两角和与差的正弦正切公式及其应用课件高一下学期数学北师大版

第四章三角恒等变换2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.能够推导出两角和与差的正弦、正切公式.2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题.基础落实·必备知识全过关α,β∈R=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.从而可得两角和与差的正弦公式,记作Sα±β.sin(α+β)=

.(Sα+β)

sin(α-β)=

.(Sα-β)

sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ名师点睛1.两角和与差的正弦公式的结构特征2.两角和与差的正弦公式的记忆技巧两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正,符号相同”.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立.(

)(2)对于任意角α,β,总有sin(α+β)=sinα-sinβ成立.(

)(3)存在角α,β,使得sin(α+β)=sinα-sinβ

成立.(

)××√√2.[人教A版教材习题改编]sin72°cos18°+cos72°sin18°=

.

1知识点二

两角和与差的正切公式

角α,β,α+β的终边不能在y轴上分子、分母同除以cosαcosβ(当cosα·cosβ≠0时),得到两角和与差的正切公式,记作Tα+β,同理可得Tα-β.tan(α+β)=

.(Tα+β)

tan(α-β)=

.(Tα-β)

名师点睛1.在两角和与差的正切公式中,α,β,α+β,α-β均不等于kπ+(k∈Z).2.公式的结构特征及符号特征如下:(1)公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan

α与tan

β的和或差,分母为1与tan

αtan

β

的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.(

)√×√2.在△ABC中,已知tanB,tanC是关于x的一元二次方程mx2-x+m+=0的两个实根,则A=

.

重难探究·能力素养全提升探究点一利用两角和与差的正弦、正切公式化简与求值【例1】

化简下列各式:(1)sin20°cos40°+cos20°sin40°;(3)tan23°+tan37°+tan23°tan37°;(4)(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)·(1+tan24°).(4)因为(1+tan

21°)(1+tan

24°)=1+tan

21°+tan

24°+tan

21°tan

24°=1+tan(21°+24°)(1-tan

21°tan

24°)+tan

21°tan

24°=1+(1-tan

21°tan

24°)tan

45°+tan

21°tan

24°=1+1-tan

21°tan

24°+tan

21°tan

24°=2.同理可得(1+tan

22°)(1+tan

23°)=2,所以原式=2×2=4.规律方法

1.公式的巧妙运用:一是正用,如本题中的(2);二是逆用;三是变用,变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sin

αsin

β=cos

αcos

β,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos

β+sin(α+β)sin

β=cos[(α+β)-β]=cos

α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会变式训练1化简下列各式:(1)sin15°+sin75°;(4)sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ].解

(1)sin

15°+sin

75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin

45°cos

30°-cos

45°sin

30°+sin

45°cos

30°+cos

45°sin

30°=2sin

45°cos

30°=.探究点二两角和与差的正弦、正切公式的综合应用角度1.给值求值问题

(1)求sin(α+β)的值;(2)求cos(α-β)的值;(3)求tanα的值.规律方法

给值求值的解题策略在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.D0角度2.给值求角问题

规律方法

根据三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定.一般地,若θ∈(0,π),则通常求cos

θ;若θ∈

,则通常求sin

θ,否则容易导致增解.变式训练3已知tan(α-β)=-7,cosα=-,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求α+β的值.本节要点归纳1.知识清单:(1)两角和与差的正弦、正切公式的推导;(2)给角求值、给值求值、给值求角;(3)公式的正用、逆用、变形用.2.方法归纳:构造法、转化法.3.常见误区:(1)公式中加减符号易记错;(2)求值或求角时忽视角的范围.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[2023重庆渝中期中]sin80°sin20°+cos20°sin10°=(

)B解析

sin

80°sin

20°+cos

20°sin

10°=sin

20°cos

10°+cos

20°sin

10°=sin(20°+10°)=sin

30°=.故选B.1234567891011121314151617A1234567891011121314151617C12345678910111213141516174.[2023宁夏三模]已知sinα=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tanβ的值为(

)C1234567891011121314151617ABC12345678910111213141516171234567891011121314151617B∴tan

α+tan

β=tan

αtan

β-1,∴(1-tan

α)(1-tan

β)=1-(tan

α+tan

β)+tan

αtan

β=1-(tan

αtan

β-1)+tan

α·tan

β=2.1234567891011121314151617-112345678910111213141516178.已知tanα=2,tanβ=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则

=

,α-β=

.

-7-45°12345678910111213141516179.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α).解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin

2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin

[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.1234567891011121314151617B级关键能力提升练D123456789101112131415161711.在平面直角坐标系中,角α,β∈R,且以Ox为始边,则“sin(α-β)=sinα-sinβ”是“角α,β以Ox为终边”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件B123456789101112131415161712.(多选)若tanx1,tanx2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根,则下列结论正确的是(

)A.tanx1+tanx2=-kB.tan(x1+x2)=-kBC12345678910111213141516171234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111