5.3.2函数的极值与最大（小）值第三课时（课件）高二数学课件（人教A版2019选择性）

函数的极值与最大（小）值（第三课时）f

(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x2注意:(1)

f

(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f

(x0)=0且x0两侧单调性不同

，

x0才是极值点.

(3)求极值点，可以先求f

(x0)=0的点，再列表判断单调性.结论：极值点处，f

(x)=01、导数与极值的关系若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值；若f’(x０)左右同号，则f(x０)无极值复习回顾2.求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f,(x)（3）求方程f,(x)=0的根（4）用方程f,(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f,(x)在方程f,(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况复习回顾

函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。探究问题1：开区间上的最值问题oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值探究新知xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6你能找出函数在[a,b]上的极大值、极小值吗?那最大值和最小值呢？结论：一般地，如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。探究问题2：闭区间上的最值问题思考：（1）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位

置取最值？答：在极值位置处。（2）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，

那么这个极值点是否是最值点？如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。例如函数y=f(x)图像如下：xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值探究一（闭区间上的最值问题）x3xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.注意1)函数的最值概念是全局性的2)函数的最大值(最小值)唯一3)函数的最大值大于等于最小值4)函数的最值可在端点处取得追问1：函数最值与极值有什么关系？联系：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值。区别：1、函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的。2、函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个。3、极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值。追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值（最值有可能在区间端点处取得）。

微辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)闭区间上的函数一定有最值．(

)(2)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得．(

)(3)若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值．(

)

×√√[练习]

求下列函数的最值．(1)求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]的最值；1.求出所有导数为0的点；2.计算端点值；3.比较确定最值探究新知[例题][大本例3]

已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

[解析]

由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：探究新知由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.探究新知探究新知探究新知练习已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．练习．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.探究新知探究新知探究新知探究新知题型三求含参数的函数的最值[例]

已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解析

(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，由(1)知函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，由(1)知函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.题型三求含参数的函数的最值[例]

已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[解析]

由题意知f(x)在(0,1)内有极值点．因为f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，令f′(x)＝0，可得a＝x2.又因为x∈(0,1)，所以0＜a＜