11.1.2构成空间几何体的基本元素课件高一数学人教B版

第十一章立体几何初步构成空间几何体的基本元素人教B版

数学

必修第四册课程标准1.理解平面的抽象特征,并会表示平面.2.理解构成几何体的基本元素,并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.3.初步了解简单几何体中点、线、面的位置关系.4.逐步掌握立体几何中的三种语言——文字语言、符号语言、图形语言以及这三种语言之间的相互转化.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1空间中的点、线、面长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也简称为“体”),包围着几何体的是“

”,面与面相交给人“

”的形象,线与线相交给人“

”的形象.这就是说,可以将

看作构成空间几何体的基本元素.

另外,点运动的轨迹可以是

,线运动的轨迹可以是

,面运动的轨迹可以是

.

面

线点点、线、面线面

体过关自诊[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出经过顶点D的棱和面.解经过顶点D的棱有DA,DC,DD1,经过顶点D的面有面ABCD、面ADD1A1、面CDD1C1.知识点2空间中点与直线、直线与直线的位置关系1.空间中点与直线的位置关系

2.空间中直线与直线的位置关系

异面直线

名师点睛不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图所示,

虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)没有公共点的两条直线是平行直线.(

)(2)既不平行又不相交的两条直线是异面直线.(

)×√2.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是(

)

A.共面

B.平行C.异面

D.平行或异面D解析

若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.3.[2023山东潍坊模拟]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1异面的棱有(

)A.8条

B.6条

C.4条

D.2条C解析

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1异面的棱有BC,CD,C1D1,B1C1,共4条.故选C.知识点3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1.直线在平面内如图,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面α内,这称为_______________

(或

),记作

.

直线l在平面α内

平面α过直线ll⊂α2.直线在平面外直线m上至少有一个点不在平面α内,这称为

,记作

;图中的m与α有且只有一个公共点(称为

),一般简写为

.

直线m在平面α外

m⊄α直线m与平面α相交

m∩α=B3.直线与平面平行一般地,如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则l∩α≠⌀与l∩α=⌀有且只有一种情况成立.而且,当l∩α≠⌀时,要么l⊂α,要么l与α只有一个公共点;当l∩α=⌀时,称

,记作l∥α.

4.平面与平面相交如图,平面α与β有公共点,这称为

,记作α∩β≠⌀.更进一步可以看出,一个点是α与β的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作α∩β=k.直线l与平面α平行

平面α与平面β相交

5.平面与平面平行如果α与β是空间中的两个平面,则α∩β≠⌀与α∩β=⌀有且只有一种情况成立.而且,当α∩β≠⌀时,α与β的公共点组成一条直线;当α∩β=⌀时,称

,记作α∥β.

6.直线与平面的位置关系列表比较位置关系公共点符号表示图形表示直线a在平面α内无数个公共点a⊂α直线a与平面α相交1个公共点a∩α=A平面α与平面β平行

位置关系公共点符号表示图形表示直线a与平面α平行无公共点a∥α7.两个平面的位置关系列表比较

位置关系图形表示符号表示公共点个数两平面平行α∥β无公共点两平面相交α∩β=l有无数个公共点,这些点在一条直线上名师点睛1.一般地,直线a在平面α内时,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内,切勿画出边框外;直线a与平面α相交时,应画成直线a与平面α只有一个公共点,被平面α遮住的部分画成虚线或不画;直线a与平面α平行时,应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行,并画在表示平面α的平行四边形外.2.画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,两个平行四边形上下放置.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(

)(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.(

)(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(

)××√2.“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?3.直线与平面的位置关系有哪几种?提示不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行.提示有三种,分别是直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AA1D1D平行的直线有哪些?提示有B1C1,B1B,CC1,BC,共四条直线.知识点4直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义(1)文字语言:一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内的任意一条过点A的直线m,都有l⊥m,则称_______________________

(或

,

),记作l⊥α.

其中,点A称为

.

(2)图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3)符号语言:任意m⊂α,都有l⊥m⇒l⊥α.直线l与平面α垂直

l是平面α的一条垂线

α是直线l的一个垂面

垂足

2.投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间的距离的定义给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的

(也称为

),线段AB为平面α的

,AB的长为

.

特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条

;当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这

.

射影

投影垂线段点A到平面α的距离

直线到这个平面的距离

两平行平面之间的距离

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)垂直于同一直线的两直线平行.(

)(2)垂直于同一平面的两直线平行.(

)×√2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AA1=1,AB=2,AD=3,则(1)与AA1垂直的平面有

;

(2)点B到平面CC1D1D的距离为

;

(3)平面BCC1B1到平面ADD1A1的距离为

.面ABCD,平面A1B1C1D132重难探究·能力素养全提升探究点一文字、图形、符号三种语言的转化【例1】

[2023辽宁高一期中]如图,用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系:(1)点C与平面β:

;

(2)点A与平面α:

;

(3)直线AB与平面α:

;

(4)直线CD与平面α:

;

(5)平面α与平面β:

.

点C不在平面β内,所以C∉β

点A不在平面α内,所以A∉α

直线AB与平面α相交于点B,所以AB∩α=B

直线CD在平面α内,所以CD⊂α

平面α与平面β相交,且交线为BD,所以α∩β=BD规律方法

学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为

.

(2)根据右图,填入相应的符号:A

平面ABC,A

平面BCD,BD

平面ABC,平面ABC∩平面ACD=

.

(3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,B∉MN,C∈β,C∉MN.M∈a,a⊂α,M∈α∈

∉∉AC解

如图所示.探究点二长方体中点、线、面的位置关系【例2】

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,写出:(1)所有与直线DD1平行的直线;(2)所有与直线BC平行的平面,并用合适的符号表示;(3)六个面与直线AB的位置关系,并用合适的符号表示;(4)与平面ABCD平行的平面,并用合适的符号表示;(5)平面BCC1B1与平面CDD1C1的位置关系,并用合适的符号表示.解(1)与直线DD1平行的直线有直线AA1,BB1,CC1.(2)BC∥平面ADD1A1,BC∥平面A1B1C1D1.(3)AB⊂平面ABCD,AB⊂平面ABB1A1,AB∥平面A1B1C1D1,AB∥平面CDD1C1,AB⊥平面ADD1A1,AB⊥平面BCC1B1.(4)平面A1B1C1D1∥平面ABCD.(5)平面BCC1B1与平面CDD1C1相交,即平面BCC1B1∩平面CDD1C1=CC1.规律方法

解决此类问题的关键是识图,联系点、线、面的位置关系的定义,根据图形识别直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.变式训练2

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是

;

平行

异面(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是

;

解析

因为直线A1B⊂平面A1B1BA,B1∈平面A1B1BA,且B1∉直线A1B,直线CB1⊄平面A1B1BA,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.(3)直线B1C与正方体各面所在平面的位置关系.解B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是:B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D,B1C与平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.探究点三空间中的距离【例3】

(1)[2023辽宁沈阳高一阶段练习]有如下命题,其中假命题是(

)A.若直线a⊂α,且α∥β,则直线a与平面β的距离等于平面α,β间的距离B.若平面α∥平面β,点A∈α,则点A到平面β的距离等于平面α,β间的距离C.两条平行直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离D.两条异面直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离C解析

对于A,若直线a⊂α,且α∥β,则直线a与平面β的距离等于平面α,β间的距离,故A正确;对于B,若平面α∥平面β,A∈α,则点A到平面β的距离等于平面α,β间的距离,故B正确;对于C,当两条平行直线所在的平面与两个平行平面垂直时,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离,当两条平行直线所在的平面与两个平行平面不垂直时,则这两条直线间的距离不等于这两个平行平面间的距离,故C错误;对于D,两条异面直线分别在两个平行平面内,则异面直线间的距离等于这两个平行平面间的距离,异面直线间距离往往转化为平行平面间的距离,故D正确.故选C.(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,BC=2,BB1=3,则点B到上底面A1B1C1D1的距离为(

)D解析

∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1的长度为点B到平面A1B1C1D1的距离,故点B到底面A1B1C1D1的距离为3.故选D.规律方法

求点到平面的距离,首先要找出过该点的平面的垂线,并结合长方体点线面的关系求解.变式训练3[2023天津高一课时练习]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,AB,AD的长分别为3,4,5.求直线CC1到平面ADD1A1的距离.解因为CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD1A1,DD1⊂平面ADD1A1,所以CC1∥平面ADD1A1,所以直线CC1到平面ADD1A1的距离即为点C到平面ADD1A1的距离.又CD⊥平面ADD1A1,所以直线CC1到平面ADD1A1的距离为4.成果验收·课堂达标检测1234567891.[探究点二·2023宁夏高一单元测试]在长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4D解析

如图,在长方体中,侧棱与底面ABCD均垂直,所以长方体侧面与底面ABCD垂直.即平面A1ABB1、平面BCC1B1、平面CDD1C1、平面DAA1D1均与平面ABCD垂直.故选D.1234567892.[探究点二]两平面α,β平行,a⊂α,下列四个结论:①直线a与平面β内的所有直线平行;②直线a与平面β内无数条直线平行;③直线a与平面β内任何一条直线都不垂直;④直线a与平面β没有公共点.其中正确的个数是(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

由题知,α∥β,且a⊂α,则直线a不是与平面β内的所有直线平行,而是与平面β内的无数条直线平行,故①错误,②正确;直线a与平面β内无数条直线垂直,故③错误;根据定义,直线a与平面β没有公共点,故④正确.1234567893.[探究点二]以下四个结论:①若a⊂α,b⊂β,则a,b为异面直线;②若a⊂α,b⊄α,则a,b为异面直线;③没有公共点的两条直线是平行直线;④两条不平行的直线一定相交.其中正确的个数是(

)A.0 B.1

C.2

D.3A1234567894.[探究点二]如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面(

)A.平行

B.相交C.平行或相交

D.以上都不可能C解析

由题意,如图所示,直线a∥直线b,a⊂平面α,b⊂平面β,易知两平面可能平行或相交,故选C.1234567895.(多选题)[探究点二]给出的下列四个命题中,其中假命题是(

)A.平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面不一定平行B.平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行C.平面α内一个三角形的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行D.若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交BC123456789解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于A,在平面A1D1DA中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题A为真命题;对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故命题B为假命题;对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AA1,DD1,BB1,CC1的中点E,F,G,H.A1,B,C到平面EFHG的距离相等,而△A1BC与平面EFHG相交,故命题C为假命题;对于D,不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故命题D为真命题.1234567896.[探究点二·2023山东高一练习]若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(

)A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面D1234567897.[探究点二、三·2023山西高一课时练习]在如图所示