2.6.2双曲线的几何性质课件高二上学期数学人教B版选择性

第二章平面解析几何双曲线的几何性质人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.了解双曲线的简单几何性质(对称性、顶点、实轴长和虚轴长等);2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程;3.双曲线几何性质的简单应用.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点双曲线的几何性质标准方程

=1(a>0,b>0)

=1(a>0,b>0)图形性质范围

y∈R

x∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段

,长:

;

虚轴:线段

,长:

;

半实轴长:

,半虚轴长:

渐近线y=±

xy=±x离心率e=,e∈(1,+∞),其中c=a,b,c间的关系c2=

(c>a>0,c>b>0)

x≤-a或x≥ay≤-a或y≥aA1A2

2aB1B22baba2+b2名师点睛1.双曲线与椭圆的六个不同点:曲线名称双曲线椭圆曲线形状两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c22.等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.(

)√×√2.双曲线

=1的渐近线方程为(

)A.3x±4y=0 B.4x±3y=0C.

x±2y=0 D.9x±16y=0A3.[北师大版教材例题]求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长.5.一条直线与双曲线的一条渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?解

双曲线的离心率e=反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.4.双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?解

1个.重难探究·能力素养全提升探究点一双曲线的几何性质角度1.由双曲线方程研究其几何性质【例1】

求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.规律方法

由双曲线的方程求几何性质的一般步骤

变式训练1[北师大版教材习题]求下列双曲线的实轴和虚轴的长、焦点坐标、虚轴端点坐标、离心率和渐近线方程:(1)6x2-10y2+60=0;(2)20x2-25y2=500.角度2.由双曲线的几何性质求标准方程【例2】

根据以下条件,求双曲线的标准方程.规律方法

1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.当已知条件中告诉离心率e,通常用e2=1+进行转化.变式训练2[人教A版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,实轴长是10,虚轴长是8;(2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长是8;(3)离心率e=,经过点M(-5,3).探究点二双曲线的渐近线角度1.共渐近线的双曲线的设法【例3】

[北师大版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)渐近线方程为y=±2x,实轴长为2且焦点在x轴上;规律方法

1.根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近线方程.变式训练3(1)[北师大版教材习题改编]双曲线4x2-9y2=k的渐近线方程为

.

2x±3y=0(2)[人教A版教材习题改编]对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),求双曲线的标准方程.角度2.双曲线焦点到渐近线的距离【例4】

[北师大版教材习题]求双曲线

=1的焦点到其渐近线的距离.解

由已知可得双曲线的一个焦点为F(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0,焦点到渐近线的距离为

=3.C探究点三双曲线的离心率问题AA解析

因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|.因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a.因为B为双曲线左支上一点,所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a.由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4acos

120°,得c2=7a2,则e2=7.规律方法

求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率的值或取值范围的方法②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.(2)求解时,若用到特殊几何图形,则可运用几何性质使问题简化.变式训练5(1)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(

)CD成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练1234567891011121314151617A1234567891011121314151617A1234567891011121314151617C1234567891011121314151617AB12345678910111213141516175.[探究点一(角度1)](多选题)已知双曲线C:

=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,P为C上一点,则(

)A.双曲线C的实轴长为2B.双曲线C的一条渐近线方程为y=xC.|PF1|-|PF2|=2D.双曲线C的焦距为4ABD1234567891011121314151617412345678910111213141516177.[探究点一(角度1)]已知F1,F2为双曲线C:

=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为

.

8解析

由双曲线的对称性以及|PQ|=|F1F2|可知,四边形PF1QF2为矩形,所以解得|PF1||PF2|=8,所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=8.12345678910111213141516178.[探究点一(角度2)]求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.解

(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为123456789101112131415161712345678910111213141516179.[探究点二(角度1)]过双曲线C:

=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.1234567891011121314151617B级关键能力提升练10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(

)B1234567891011121314151617D1234567891011121314151617BD1234567891011121314151617C解析

若以MN为直径的圆经过右焦点F2,1234567891011121314151617由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,123456789101112131415161714.(多选题)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是(

)B.互为共轭的双曲线渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的离心率为e1,e2,则e1e2≥2D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上CD123456789101112131415161715.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆交y轴正半轴于点P,线段PF1交双曲线的渐近线于点A,若点A恰好为线段PF1的中点(O为坐标原点),则∠AOF1的大小为

,双曲线的离心率为

.

123456789101112131415161716.求适合下列条件